ΚΥΛΙΣΗ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Η εργασία μου αυτή αποτελεί συνέχεια ενός θέματος που δημοσιεύθηκε πριν λίγες μέρες στο δίκτυο Yλικονετ και αφορούσε  παραλλαγή μιας πολύ αξιόλογης εργασίας του Φυσικού Γιάννη Κυριακόπουλου. Δεν είχα πρόθεση να αναρτήσω την νέα μου εργασία αν δεν έπεφτε στο μάτι μου ένα περίεργο σχόλιο του Φυσικού Στέργιου Ναστόπουλου που κατά κάποιο τρόπο τον ξένιζε η έννοια της εξαναγκασμένης ταλάντωσης στην περίπτωση μιας κύλισης. Η προσπάθεια μου τίθεται στην οποαδή ποτε κριτική των συναδέλφων του δικτύου.

P.M. fysikos 

Τροχός μάζας m και ακτίνας R, εφάπτεται ενός οριζόντιου δοκαριού μάζας Μ με το οποίο παρουσιάζει αρκετά μεγάλο συντελεστή οριακής τριβής, ο οποίος επιτρέπει την κύλιση χωρίς ολίσθηση του τροχού πάνω στο δοκάρι. Το δοκάρι βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο και συνδέεται με το ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται ώστε το ελατήριο να είναι οριζόντιο (σχ.  ) Κάποια στιγμή που θεωρείται ως αρχή του χρόνου εξασκείται στο δοκάρι οριζόντια δύναμη F που μεταβάλλεται με τον χρόνο t σύμφωνα με την σχέση:

F=F₀συνωt∙i

όπου F₀, ω θετικές και σταθερές ποσότητες και i το μοναδιαίο διάνυσμα του οριζόντιου άξονα Ox. Να μελετηθεί η κίνηση του δοκαριού και του τροχού στο σύστημα αναφοράς του δαπέδου.

Να δεχθείτε ότι την στιγμή t=0 το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και ότι τόσο ο τροχός όσο και το δοκάρι είναι ακίνητα. Δίνεται ακόμη η ροπή αδράνειας Ι_C=mR²/2 του τροχού ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόμενο από το κέντρο του C και η επιτάχυνση g της βαρύτητας.

Απάντηση:

Μια απροσδόκητη κύλιση.

Η εργασία μου αυτή στηρίχθηκε σε μια εξαιρετική ανάρτηση του Φυσικού Γιάννη Κυριακόπουλου που φέρει τον τίτλο:

                           Tαλάντωση σε ταλαντευόμενο υπόβαθρο

Στην εργασία του αυτή ο Γιάννης Κυριακόπουλος αναλύει με  περισσή σαφήνεια και με λιτή διατύπωση  το δύσκολο φαινόμενο της κύλισης ενός κυλίνδρου πάνω σε ένα δοκάρι που ταλαντεύεται με την βοήθεια  ελατηρίου, δίνοντας τις εξισώσεις κίνησης  τόσο του δοκαριού όσο και του κυλίνδρου. Σκέφθηκα να αντικαταστήσω το ελατήριο με την δράση μιας οριζόντιας δύναμης αρμονικού χαρακτήρα και αν οι υπολογισμοί μου είναι σωστοί, κατέληξα σε απροσδόκητα συμπεράσματα τόσο για το δοκάρι όσο και για την κύλιση του δίσκου που βρίσκεται πάνω σ΄αυτό. Ελπίζω μελλοντικά να ασχοληθώ με την περίπτωση που το δοκάρι δέχεται τόσο ην δράση του ελατηρίου όσο και την δράση της ημιτονικής δύναμης, αν δε με προλάβει ο Γιάννης. Νομίζω, χωρίς να είμαι βέβαιος, ότι το θέμα αυτό έχει σχέση με την εξαναγκασμένη ταλάντω ση χωρίς απόσβεση.

P.M. fysikos

Απάντηση:

Μελέτη της κίνησης σώματος στο άκρο ελατηρίου

H συνέχεια από εδώ ή και  εδώ.

Tο μαγνητικό πεδίο εντός της ύλης

 

  

Mαγνητική διαπερατότητα υλικού

Θεωρούμε επίμηκες σωληνοειδές, του οποίου οι σπείρες διαρρέονται με ηλεκτρικό ρεύμα ορισμένης έντασης Ι. Tότε στο εσωτερικό του σωληνοειδούς υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο Β₀, που μπορεί να μετρηθεί από την ένδειξη του βαλιστικού γαλβανομέτρου (G), όταν διακοπεί το ρεύμα στο σωληνοειδές. Έστω τώρα ότι στο εσωτερικό του σωληνοειδούς τοποθετείται σιδερένιος πυρήνας (σχ. 2) και διακόπτεται πάλι το ηλεκτρικό ρεύμα σ’ αυτό. Tότε θα διαπιστώσουμε μεγαλύτερη ένδειξη του γαλβανομέτρου, γεγονός που σημαίνει ότι με την εισαγωγή του σιδη ροπυρήνα στο σωληοειδές αυξάνεται το πεδίο, μολονότι το ρεύμα παρέμεινε αμετάβλητο. Eάν Β είναι το πεδίο μετά την εισαγωγή του σιδηροπυρήνα, τότε το πηλίκο

 

                   Σχήμα 1                                   Σχήμα 2

B/Bο ορίζεται ως σχετική μαγνητική διαπερατότητα μ του υλικού του σιδηροπυρήνα, δηλαδή ισχύει:

Η συνέχεια σε pdf ή και από εδώ.

Μια παραλλαγή του θέματος Γ των εξετάσεων του 2013

Ένα σώμα μάζας m είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου αμελητέας μάζας και σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο (σχ. 2) Το σώμα βρίσκεται πάνω σε τραχύ οριζόντιο έδαφος με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής μ το δε ελατήριο βρίσκεται στην φυσική του κατάσταση. Κάποια στιγμή που θεωρείται ως αρχή μέτρησης του χρόνου το σώμα δέχεται απότομη ώθηση βραχείας διάρκειας που του προσδίνει οριζόντια ταχύτητα v₀ με αποτέλεσμα το ελατήριο να συσπειρώνεται και τελικά το σώμα ηρε μεί χωρίς όμως να αλλάξει φορά κίνησης.

i) Να δείξετε την σχέση:

όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

ii) Nα βρείτε τον χρόνο κίνησης του σώματος.

Απάντηση

Αλληλεπίδραση τροχαλίας με το σχοινί της.

Η μικρή αυτή εργασία είχε ως αφετηρία την εξαιρετική ανάρτηση του Φυσικού Διονύση Μαργαρη που φέρει τον τίτλο:

Ποια ροπή επιταχύνει την τροχαλία;

Στην ανάρτηση αυτή περιγράφεται με ακραία σαφήνεια η αλληλεπίδραση μιας τροχαλίας με το τμήμα του σχοινιού που περιβάλλει το αυλάκι της στην περίπτωση που το σχοινί είναι αβαρές και δεν ολισθαίνει πάνω στο αυλάκι. Επειδή με ενθουσίασε ο όμορφος τρόπος με τον οποίο ο Διονύσης  αναπτύσσει το θέμα, θέλησα να τον τιμή σω προσφέροντας στο δίκτυο δύο παραδείγματα που σχετίζονται άμεσα με το περιεχόμενο της εργασίας του αυτής. Tα παραδείγματα αυτά χρονολογούνται από το αρχέγονο παρελθόν, δηλαδή με απασχόλησαν ως φοιτητή, αλλά η εργασία του Διονύση τα κατέστησε επίκαιρα.

P.M. fysikos

Ένα αβαρές σχοινί περιβάλλει το αυλάκι μιας σταθερής τροχαλίας, η οποία μπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Eάν φ0 είναι η γωνία υπό την οποία φαίνεται εκ του κέντρου της τροχαλίας το τμήμα του σχοινιού που είναι σ’ επαφή με την τροχαλία και μ ο συντελεστής οριακής τριβής ανάμεσα στο σχοινί και την τροχαλία, να δείξετε ότι για να ισορροπεί η τροχαλία πρέπει τα μέτρα των τάσεων F₁ και F₂  του σχοινιού να ικανοποιούν την σχέση:

Η συνέχεια  σε pdf. ή και από εδώ.

Μια άσκηση ταλάντωσης στερεού που μπορεί και να ανατραπεί

Δύο ακριβώς όμοιοι κύλινδροι μπορούν να στρέφονται περί τους γεωμετρικούς τους άξονες, οι οποίοι είναι σταθεροί, βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και απέχουν μεταξύ τους απόσταση α. Ένα ξύλινο δοκάρι σταθερής διατομής σε όλο το μήκος του, τοποθετείται πάνω στους κυλίνδρους κάθετα στους άξονες περιστροφής τους, ώστε το κέντρο του να ισαπέχει από τις ευθείες επαφής του με τις επιφάνειες των κυλίνδρων.

i) Mε κατάλληλο μηχανισμό θέτουμε τους κυλίνδρους σε περιστροφική κίνηση με αντίθετες φορές περιστροφής, όπως φαίνεται στο σχή μα (1). Να εξετάσετε την κίνηση του δοκαριού, αν την στιγμή t=0 το κέντρο του βρίσκεται σε απόσταση x₀ από το μέσο Ο της διακέντρου Ο₁Ο₂ και έχει μηδενική ταχύτητα.

ii) Τι είδους κίνηση θα εκτελέσει το δοκάρι αν οι δύο κύλινδροι στρέφονται ομόρροπα κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού (σχ. 2);

Δίνονται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ μεταξύ του δοκαριού και η επιτάχυσνη g της βαρύτητας.

Απάντηση:

Μια διαφορετική άσκηση στο στερεό σώμα

Μια νέα ανάρτηση από τον φίλο Πάνο Μουστάκα:

Μελετώντας πριν μερικές ημέρες την εξαιρετική εργασία του Φυσικού Γιάννη Κυριακόπουλου

“Αδρανειακές δυνάμεις επί στερεών σωμάτων’’

σκέφθηκα ότι, ενεργώντας ως μη αδρανειακός παρατηρητής, μπορώ να αναδείξω ποσοτικά, δηλαδή χωρίς να χρησιμοποιήσω αναλυτική φυσική σκέψη, την εμφάνιση ροπής πακτώσεως σε στερεό σώμα που έχει εισχωρήσει σε κάποιο άλλο στερεό, ετσι ώστε να είναι απαγορευμένη κάθε σχετική κίνηση του ενός ως προς το άλλο. Για τον σκοπό αυτόν διάλεξα ένα παράδειγμα πακτωμένης ράβδου εντός μιας βαρειάς πλάκας που ολισθαίνει προς τα κάτω επί κεκλιμένου επιπέδου, όπου προσπαθώ να αποδείξω ότι η αντίδραση που δέχεται η ράβδος από την πλάκα στην περιοχή της πακτώσεως δεν εκφράζεται με μια δύναμη, αλλά εμπλέκεται και μηχανική ροπή επί της ράβδου, η λεγόμενη ροπή πακτώσεως. Η προσπάθειά μου ολοκληρώνεται με μια σύντομη περιγ ραφή του φαινομένου της πακτώσεως στερεού, όπου με φυσική πλέον σκέψη περιγ ράφω γιατί η αντίδραση επί του στερεού λόγω της πακτώσεώς έχει δυικό χαρακτήρα, δηλαδή εκδηλώνεται με την εμφάνιση δύναμης και ροπής. Όλα τα παραπάνω περιέ χονται στο άρχείο pdf που φέρει τον τίτλο:

Μια διαφορετική άσκηση στο στερεό σώμα

P.M. fysikos

Ένα περίεργο πεδίο βαρύτητας

Αρχείο pdf:  Ένα περίεργο πεδίο βαρύτητας

Ασταθής ισορροπία σώματος με διαστάσεις

Η άσκηση αυτή προσφέρεται στον συνάδελφό μου Θρασύμβουλο Μαχαίρα ως αντίδωρο για το υστερόγραφο της απάντησής του.

«Μια τελευταία πληροφορία»

P.M. Φυσικός

συνέχεια

Μια άσκηση άσχετη με το τεθέν ερώτημα.

Η άσκηση συγκροτήθηκε στην διάρκεια των όσων ειπώθηκαν και γράφτη καν στο δύκτιο, σχετικά με το ερώτημα του Φυσικού Διονύση Μαργαρη 

«Πόση είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση των σημείων επαφής ενός τροχού αυτοκινήτου, το οποίο κινείται ευθύγγραμμα και ομαλά σε οριζόντιο έδαφος»

Περιέχει υπό μορφή κώδικα την εξής πολύ σπουδαία αρχαιο-ΕΛΛΗΝΙΚΗ φράση:

Ώδινεν όρος και έτεκεν μυν

που σημαίνει

πολύς θόρυβος για το τίποτα

P.M. Φυσικός

Συνέχεια

Γενική κίνηση στερεού.

Με την εργασία αυτή αναλύεται η γενική κίνηση ενός στερεού σώματος από κινηματική άποψη, δηλαδή εξετάζεται μόνο η Γεωμετρία της κίνησης αυτής χωρίς να ενδιαφέρουν τα αίτια που την προκαλούν. 

Μέσα από της γραμμές της ανάλυσης αυτής δίνεται απάντηση κατά δύο τουλάχιστον τρόπους στο ερώτημα που τέθηκε: «Πόση είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση των σημείων επαφής ενός τροχού αυτοκινήτου με το οριζόντιο οδόστρω μα, όταν το αυτοκίνητο κινείται ισοταχώς», τόσο στο σύστημα αναφοράς του εδάφους όσο και στο σύστημα αναφοράς του αυτοκινήτου.

P.M. Φυσικός

Συνέχεια.

Εξαναγκασμένη Ηλεκτρική ταλάντωση χωρίς απόσβεση

Η εργασία αυτή εργασία παρουσιάζει μεγάλη ομοιότητα με την αντίστοιχη περίπτωση της εξαναγκασμένης μηχανικής ταλάντωσης χωρίς απόσβεση και διαφοροποιείται μόνο εκείνης ως προς τις αρχικές συνθήκες, οπότε παρου σιάζονται ενδιαφέροντα φαινόμενα που έχουν κυρίως θεωρητικό χαρακτήρα.

P.M. Φυσικός

Θωρούμε σύστημα αποτελούμενο από ιδανικό πηνίο συντελεστού αυτεπαγω γής L, το οποίο συνδέεται σε σειρά με αφόρτιστο ιδανικό πυκνωτή χωρητι κότητας C. Μέσω ενός διακόπτη Δ οι άκρες του συστήματος συνδέονται με τους πόλους γεννήτριας, η οποία παρέχει αρμονικά εναλλασσόμενη τάση της μορφής U=V0συνωt. Η γεννήτρια επιβάλλει στο πηνίο του κυκλώματος ρεύμα μεταβλητής έντασης, με αποτέλεσμα να μεταβάλλεται το ηλεκτρικό φορτίο του  πυκνωτή και η τάση στις άκρες του. Kαθώς εξελίσσεται η κυκλοφορία του ρεύματος μεταβάλλεται η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου και η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, η δε γεννήτρια που διεγείρει το κύκλωμα συμμετέχει στην παραπάνω διαδικασία ανταλ λάσοντας ενέργεια με το σύστημα L-C. 

Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας κάθε στιγμή ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του συστήματος L-C είναι ίσος με τον ρυθμό ανταλλαγής ηλεκτρικής ενέργειας της γεννήτριας με το σύστημα (ηλεκτρική ισχύς της γεννήτριας).

Η συνέχεια σε pdf.

Παρεμβολή γυάλινου πλακιδίου στη διάδοση ΗΜΚ.

H άσκηση αυτή βρίσκεται στις προτεινόμενες προς λύση ασκήσεις του βιβλίου Φυσικής των ΑLONSO-FIN και καταδεικνύει την επίδραση ενός διηλεκτρικού υλικού στο ηλεκτρομαγνητικό κύμα, κατα την διέλευσή του μέσα από το υλικό αυτό.

P.M. Φυσικός

Μια γυάλινη πλάκα πάχους d παρεμβάλλεται μεταξύ μιας μονοχρωματικής φωτεινής πηγής Φ και ενός παρατηρητή Π, ώστε οι έδρες της να είναι κάθετες στην ευθεία ΦΠ.

i)  Nα δείξετε ότι η επίδρασή της πλάκας στο φωτεινό κύμα που φθάνει στον παρατηρητή είναι η προσθήκη μιας διαφοράς φάσεως που ικανοποιεί τη σχέση:

      όπου n ο δείκτης διαθλάσεως της πλάκας για την ακτινοβολία που εκπέμπει η πηγή και λ₀ το μήκος κύματος αυτής στον αέρα.

ii) Εάν η εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του ηλεκτρο μαγνητικού  κύματος που αντιστοιχεί στο φως της πηγής έχει στην θέση αυτής την μορφή Ε=Ε₀ημωt, όπου Ε₀ είναι το πλάτος της έντασης, να γραφεί η εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του φωτεινού κύματος στην θέση του παρατηρητή, θεωρώντας ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων την πηγή. Να αμεληθεί η ανάκλαση και η απορρόφηση του φωτός από την γυάλινη πλάκα.

iii) Eάν η διαφορά φάσεως Δφ είναι μικρή, είτε διότι το πάχος της πλάκας είναι πολύ μικρό είτε διότι ο δείκτης διαθλάσεως αυτής είναι πολύ μικρός, να δείξετε ότι το φωτεινό κύμα που φθάνει στον παρατηρητή μπορεί να θεωρηθεί πως προκύπτει από την συμβολή του αρχικού κύματος, πλάτους Ε₀ όταν δεν υπάρχει η πλάκα και ενός κύματος πλάτους 2πΕ₀d(n-1)/λ₀ που παρουσιάζει μετατόπιση φάσεως –π/2 ως προς το αρχικό. Δίνεται η απόσταση ΦΠ=L.

Απάντηση:

Επίδραση γυάλινου πλακιδίου στη διάδοση ΗΜΚ

Στην άσκηση αυτή φαίνεται πως επιδρά η παρεμβολή ενός γυάλινου πλα κιδίου στην φάση και το πλάτος ενός Η.Μ. κυματος, όταν προσσπίπτει κάθετα στις δύο απέναντι έδρες του.

Ρ.Μ. Φυσικός

Ένα γυάλινο πλακίδιο πάχους d, παρεμβάλλεται κάθετα προς την διεύθυνση διαδόσεως ενός μονοχρωματικού Η.Μ. κύματος περιόδου Τ. Το πλάτος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στο προσπί πτον κύμα είναι Ε₀ και ο δείκτης διαθλάσεως του πλακιδίου για το θεωρούμενο Η.Μ. κύμα είναι n, ενώ το πλακίδιο δεν απορροφά ενέργεια κατά την διέλευση του κύματος μέσα από αυτό.

i) Εάν ισχύει d=3C₀T/n, όπου C₀ η ταχύτητα διαδόσεως του κύμα τος στο κενό, να σχεδιάσετε ένα στιγμιότυπο του ηλεκτρικού πεδί ου στο προσπίπτον κύμα, στο ανακλώμενο κύμα, στο κύμα που διαδίδεται εντός του πλακιδίου και στο κύμα που εξέρχεται από το πλακίδιο, κατά μια χρονική στιγμή t, που το Η.Μ. κύμα έχει διαπε ράσει το πλακίδιο και η φάση του κύματος στα σημεία της έδρας προσπτώσεως είναι περιττό πολαπλάσιο του π.

ii) Λαμβάνοντας ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων πάνω στην διέυθυνση διαδόσεως το σημείο Ο στο οποίο η διεύθυνση αυτή τέμνει την έδρα προσπτώσεως και ως θετική φορά την κατεύθυνση διαδόσεως του προσπίπτοντος κύματος, να γράψετε τις εξισώσεις διαδόσεως του ηλεκτρικού πεδίου για το προσπίπτον, το ανακλώ μενο, το διερχόμενο μέσα από το πλακίδιο και το εξερχόμενο από το πλακίδιο κύμα, θεωρώντας ως αρχή μέτρησης του χρόνου την στιγμή που το κύμα συναντά το πλακίδιο. Να δώσετε όλες τις απαραίτητες εξηγήσεις για τα πλάτη των κυμάτων αυτών.

Απάντηση

Μια κίνηση πρωτονίου που θυμίζει ισοταχή κύλιση

Mέσω της ασκήσεως αυτής επιχειρείται να εξεταστεί με στοιχειώδη τρόπο η κίνηση ενός πρωτονίου, σε χώρο όπου υπάρχει συνδυασμένο ομογενές ηλεκτρικό και ομογενές μαγνητικό πεδίο, των οποίων τα χαρακτηριστικά διανύσματα Ε και Β είναι μεταξύ τους κάθετα. Υπό άλλες συνθήκες για τον καθορισμό της τροχιάς του πρωτονίου θα απαιτείτο η λύση δύο διαφορικών εξισώσεων.

Ρ.Μ. Φυσικός

Άσκηση:

Σε μια περιοχή συνυπάρχουν ένα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο έντα σης Ε  καί ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β, των οποίων οι δυναμικές γραμμές είναι κάθετες. Ένα πρωτόνιο τη χρονική στιγ μή t=0 είναι σε ηρεμία καί υπό την επίδραση των δύο πεδίων αρχίζει να κινείται.

i)   Nα δείξετε οτι η κίνησή του είναι επίπεδη, με επίπεδο κίνησης Oxψ κάθετο στις δυναμικές γραμμές του πεδίου Β.

ii)   Nα δείξετε ότι η κίνηση του πρωτονίου προκύπτει από την σύνθεση μιάς ομαλής κίνησης προς την κατεύθυνση του άξονα Ox που θεωρείται κάθετη στο πεδίο Ε, με ταχύτητα μέτρου v₁=Ε/Β και μιας ομαλής κυκλικής κίνησης στο επίπεδο Oxψ, με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω=qB/m. H σύνθεση των δύο αυτών κινήσεων αποτελεί την λεγόμενη  «κυκλοειδή» κίνηση, δηλαδή την κίνηση που εκτελεί ένα ορισμένο σημείο μιας περιφέρειας, που κυλίεται ισοταχώς πάνω σε οριζόντιο επίπεδο.

ΛΥΣΗ:

Συμβολή ΗΜΚ εξ ανακλάσεως στις έδρες πλακιδίου.

Για την άσκηση αυτή πήρα αφορμή από τον διάλογο δύο συναδέλφων μου που αναφερόταν σε μια ανάρτηση στο δίκτυο του Διονύση Μάργαρη με τίτλο «Ηλεκτρομαγνητικό κύμα». Ο διάλογος αυτός εξέφραζε τον προβλη ματισμό τους τι ακριβώς συμβαίνει στην φάση ένός Η/Μ κύματος όταν αυτό προσπίπτει στην διαχωριστική επιφάνεια δύο διηλεκτρικών μέσων. Θεώρησα τον προβληματισμό αυτό πολύ σοβαρό και θέλω να τους καθυσηχάσω λέγον τάς στους ότι το θέμα της συζήτησής τους εμπεριέχει μεγάλη δυσκολία και αφορά προπτυχιακούς ή μεταπτυχιακούς φοιτητές, που πρόκειται να ειδικευθούν σε ζητήματα εφαρμογής των εξισώσεων του Maxwell. Στην άσκηση που παραθέτω απλώς γίνεται χρήση των συμπερασμάτων που έχουν προκύψει, ύστερα από πολύπλοκους υπολογισμούς στους οποίους εμπλέκον ται οι εξισώσεις του Μaxwell. 

Ρ.Μ. Φυσικός

Ένα γυάλινο πλακίδιο με παράλληλες έδρες πάχους d, περιβάλλε ται από ατμοσφαιρκό αέρα. Όταν στην πάνω έδρα του προσπίπτει κάθετα μονοχρωματικό φως μήκους κύματος λ1, τότε η έδρα αυτή φαίνεται έντονα φωτεινή λόγω ενισχυτικής συμβολής των ανακλώμενων στην άνω και κάτω έδρα του πλακιδίου ακτίνων, ενώ όταν επί της έδρας αυτής προσπίπτει μονοχρωματικό φως μήκους κύμα τος λ2, η έδρα αυτή φαίνεται σκοτεινή λόγω αποσβεστικής συμβο λής των αντίστοιχων ακτίνων.

Eάν για τις ακτινοβολίες που το μήκος κύματός τους λ₀ ικανοποιεί τη σχέση λ2≤λ₀≤λ1 δεν προκύπτει εξ’ ανακλάσεως αποσβεστική συμβολή στην πάνω έδρα του πλακιδίου, να βρεθεί ο δείκτης διάθλασης αυτού, θεωρούμενος ίδιος για τα μήκη κύματος λ1 και λ2.

Απάντηση:

Δημιουργία στάσιμου Ηλεκτρομαγνητικού κύματος από ανάκλαση.

Κίνητρο για την εργασία μου αυτή υπήρξε η έξοχη ανάλυση του Φυσικού Διονύση Μάργαρη σε ότι αφορά το φαινόμενο δημιουργίας στάσιμου κύματος από ανάκλαση ηχητικού κύματος πάνω σε τέλεια ανακλαστική επιφάνεια. Εντελώς ανάλογο είναι το φαινόμενο δημιουργίας στάσιμου κύματος, όταν μονοχρωματικό ηλεκτρομαγνητικό κύμα προσπίπτει κάθετα σε μια επίπεδη μεταλλική επιφάνεια που συμπεριφέρεται σαν τέλειος αγωγός. Η αναλογία των δύο φαινομένων αποτελεί ένα μικρό δείγμα της σοφίας με την οποία εξελλίσονται τα φυσικά φαινόμενα και καταδεικνύει την τεράστια σπουδαιότητα της Φυσικής επιστήμης.

P.M. Φυσικός

Πάνω σε μια επίπεδη μεταλλική επιφάνεια που θεωρείται τέλειος αγωγός προσπίπτει μονοχρωματικό Η.Μ. κύμα, του οποίου η διεύθυνση διαδόσεως είναι κάθετη στην επιφάνεια.

i) Να δείξετε ότι το ηλεκτρικό πεδίο στο ανακλώμενο στην επιφάνεια κύμα παρουσιάζει αύξηση φάσεως κατά π σε σχέση με το ηλεκτρικό πεδίο στο προσπίπτον κύμα, ενώ η φάση του μαγνητικού πεδίου παραμένει αναλλοίωτη κατά την ανάκλαση.

ii) Εάν Ε₀, Τ είναι το πλάτος και η περίοδος αντιστοίχως του ηλεκτρικού πεδίου στο προσπίπτον Η.Μ. κύμα, να γράψετε τις εξισώσεις διαδόσεως των πεδίων E και B στο προσπίπτον και το ανακλώμενο Η.Μ. κύμα, λαμβάνοντας ως θετική φορά την κατεύθυνση του ανακλώμενου κύματος και ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων το σημείο τομής Ο της μεταλλικής επιφάνειας με τον άξονα διαδόσεως του κύματος.

iii) Nά δείξετε ότι μπροστά από την μεταλλική επιφάνεια σχηματίζεται στάσιμο Η.Μ. κύμα, στο οποίο οι δεσμοί του ηλεκτρικού πεδίου σύμπίπτουν με τις κοιλίες του μαγνητικού πεδίου. Να σχεδιάσετε τα δύο ακραία στιγμιότυπα του στασίμου αυτού κύματος.

iv) Eάν κατά μήκος της διεύθυνσης διαδόσεως του κύματος μετακινείται μικρή μεταλλική σπείρα, της οποίας η ακτίνα r  είναι πολύ μικρή σε σχέση με το μήκος κύματος του στάσιμου Η.Μ. κύματος, με το επίπεδό της συνεχώς κάθετο στην διεύθυνση του πεδίου B, να δείξετε ότι στην σπείρα κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύμα, του οποίου η ένταση παρουσιάζει τοπική και χρονική περιοδι κότητα στασίμου κύματος. Να σχεδιάσετε τα δύο ακραία στιγμιό τυπα του «κύματος» αυτού. Δίνεται η ταχύτητα διαδόσεως C του φωτός στο κενό και η ηλεκτρική αντίσταση R της σπείρας.

Απάντηση:

Γενίκευση της σύνθεσης δύο αρμονικών ταλαντώσεων

Με την μικρή αυτή εργασία προσπαθώ να δώσω μια γενίκευση της σύνθεσης δύο αρμονικών ταλαντώσεων που έχουν διαφορετικές γωνιακές συχνότητες και να επισημάνω την σπουδαιότητα του διακροτήματος, για την οποία δεν γίνεται λόγος στο σχολικό βιβλίο και νομίζω ότι στο επίπεδο του Λυκείου δεν πρέπει να γίνεται. Θα παρακαλούσα τον Διονύση Μάργαρη να μας παρουσιάσει με τον τρόπο που αυτός ξέρει τις εξής προσομειώσεις:

i) Μια προσομείωση συμβολής δύο ημιτονικών ταλαντώσεων του ίδιου ή διαφορετικών πλατών, επιλέγοντας ο ίδιος τις γωνιακές συχνότητες ω₁ και ω₂, ώστε η συμβολή να δώσει περιοδική κίνηση.

ii) Δύο προσομειώσεις διακροτημάτων που προκύπτουν από την σύνθεση δύο συνημιτονικών ταλαντώσεων ή μιας ημιτονικής και μιας συνημιτονικής ταλάντωσης.

Ρ.Μ. Φυσικός

Άσκηση:

Ένας ταλαντωτής εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις πάνω στην ίδια ευθεία περί το ίδιο κέντρο, οι οποίες περιγράφονται από τις συναρτήσεις:

x₁= Α₁ημω₁t  , x₂= Α₂ημω₂t

όπου Α₁, Α₂, ω₁, ω₂ θετικές και σταθερές ποσότητες.

i)  Nα δείξετε ότι, αν ο λόγος ω₁/ω₂ των γωνιακών συχνοτήτων των επιμέρους ταλαντώσεων είναι ρητός αριθμός, τότε η κίνηση του ταλαντωτή είναι περιοδική. Πως υπολογίζεται η περίοδος της συνισταμένης κίνησης του ταλαντωτή;

ii)  Eάν οι γωνιακές συχνότητες ω₁, ω₂ διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους, να δείξετε ότι η συνάρτηση που περιγράφει την κίνηση του ταλαντωτή παρουσιάζει μέγιστα και ελάχιστα (τοπικά ακρότατα) τα οποία είναι σημεία της περιβάλλουσας της συνάρτησης αυτής.

Απάντηση:

Ταλάντωση συζευγμένων εκκρεμών.

Αφορμή για την εργασία μου αυτή αποτέλεσε μια μικρή αναφορά του σχολικού βιβλίου στο φαινόμενο της ταλάντωσης δύο εκκρεμών που βρίσκονται μεταξύ τους σε σύζευξη. Επειδή το θέμα των ταλαντώσεων κυριαρχεί αυτή τη στιγμή στο δίκτυο του Διονύση Μαργαρη και ο ίδιος ενδιαφέρεται σε μεγάλο βαθμό για το ξεκαθάρισμα  κάποιων «γκρίζων ζωνών» αποφάσισα να ασχοληθώ με το θέμα των συζευγμένων ταλαντώσεων επιστρατεύοντας  την ιδιότητα του δασκάλου, που κάτι θέλει να προσφέρει. Το θέμα θα παρουσιαστεί με την μορφή μιας άσκησης και θα παρακαλέσω τον Διονύση Μάργαρη, να δώσει με τον τρόπο που αυτός γνωρίζει τις προσομειώσεις των εξισώσεων κίνησης των δύο εκκρεμών. 

Άσκηση: