Τρίτη 19 Ιανουαρίου 2010

Η ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ – ΤΟ ΚΥΚΛΟΕΙΔΕΣ & Η ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑ-ΛΑΝΤΩΣΗ

Ομογενής και συμπαγής τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε ακίνητο οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα υcm.
α.   Να αποδείξετε ότι η ευθεία που συνδέει το σημείο επαφής Α του τροχού με το επίπεδο κύλισης και ένα τυχαίο σημείο Σ της περιφέρειας του κυλιόμενου τροχού (και όχι μόνο της περιφέρειας) είναι κάθετη στην ολική ταχύτητα αυτού του σημείου.
β.   Να υπολογίσετε  την έκφραση του μέτρου της ολικής ταχύτητας του σημείου Α της περιφέρειας του τροχού που τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται σε επαφή με το οριζόντιο επίπεδο κύλισης σε συνάρτηση με το χρόνο.
γ. Να υπολογίσετε το μήκος της κυκλοειδούς τροχιάς που διαγράφει το σημείο επαφής του τροχού Α με το επίπεδο κύλισης σε χρόνο μιας περιόδου.

Κυριακή 3 Ιανουαρίου 2010

Ταλάντωση μετά από σύγκρουση

Το σύστημα του σχήματος, κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το ιδανικό ελατήριο είναι στο φυσικό του μήκος και έχει σταθερά k = 400 N/m.  Τα σώματα Σ1 και Σ2 εμελητέων διαστάσεων, έχουν μάζες  m  και 4m αντίστοιχα, και είναι δεμένα στα άκρα του ελετηρίου. Το σώμα Σ1 συναντά κατακόρυφο τοίχο στον οποίο καρφώνεται ακαριαία και μόνιμα. Κατά την διάρκεια του καρφώματος, ελαττώνεται η μηχανική ενέργεια του συστήματος κατά  400j ενώ τα σώματα Σ1 , Σ2 δεν έρχονται σ' επαφή μεταξύ τους.



Το  Σ2 μετά την κρούση εκτελεί 5 ταλαντώσεις/ sec με  D = k.
 Ι. Για την ταλάντωση του Σ2 να υπολογίσετε:
    (α). Την ενέργειά της.
    (β). Το πλάτος της.
    (γ). Την εξίσωση απομάκρυνσης - χρόνου με χρονική στιγμή  t = 0  τη στιγμή που φτανει το Σ1 στον τοίχο και τη φρορά της ταχύτητας του συστήματος τότε θετική.
 ΙΙ. Να υπολογίσετε ακόμη:
    (δ).Την ταχύτητα του συστήματος πριν τη σύγκρουση.
    (ε). Την μηχανική ενέργεια του συστήματος πριν τη σύγκρουση.


Λύση

Εντροπία-2ος Θερμοδυναμικός Νόμος-Κύκλος Carnot

Να δείξετε ότι ο μέγιστος θεωρητικός συντελεστής απόδοσης μιας μηχανής που λειτουργεί αντιστρεπτά μεταξύ των θερμοκρασιών Th , Tc όπου Th > Tc , είναι ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής Carnot που λειτουργεί μεταξύ των ίδιων θερμοκρασιών: 



Περιστρεφόμενο σύστημα


Η λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ που φαίνεται στο σχήμα, είναι αρθωμένη στο άκρο της Α σε κατακόρυφο τοίχο, και στο άλλο άκρο της Β είναι στερεωμένο σφαιρίδιο Σ αμελητέων διαστάσεων μάζας  m = 2 kg.
Το μήκος της ράβδου είναι l = 4m και η μάζα της είναι Μ = 6 kg.  Η ράβδος συγκρατείται στην οριζόντια θέση με τη βοήθεια κατακόρυφου νήματος αμελητέου βάρους και σταθερού μήκους.  Το νήμα έχει το πάνω του άκρο ακλόνητο και το κάτω άκρο του δεμένο στο σημείο Γ που απέχει απο το Β απόσταση l/4.
I. Να βρεθεί η τάση του νήματος και η δύναμη της άρθρωσης πάνω στη ράβδο.
ΙΙ. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα και η ράβδος μαζί με το σφαιρίδιο αρχίζουν να περιστρέφονται χωρίς τριβές. Να υπολογίσετε:
1. Την αρχική γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος.
2. Την κινητική ενέργεια του συστήματος, τη χρονική στιγμή που το σημείο Γ βρίσκεται σε κατακόρυφη απόσταση h = 3 l/4 κάτω από την αρχική οριζόντια θέση της ράβδου.
3. Τον ρυθμό παραγωγής έργου στο σύστημα την παραπάνω χρονική στιγμή.
4. Τη στροφορμή του σφαιριδίου ως προς τον άξονα πειστροφής του συστήματος, όταν η ράβδος γίνεται κατακόρυφη για πρώτη φορά.
Δίνεται  g = 10m/s^2   και  ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροβής της υπολογίζεται με τη σχέση IA =( Ml^2)/3.

Απάντηση

Ο δύσπιστος μαθητής και η ανακύκλωση.

Ένας δύσπιστος μαθητής μελετά το φαινόμενο ανακύκλωσης σημειακού σώματος στο εσωτερικού λείου κατακόρυφου οδηγού. Στις σημειώσεις του, καθώς και σε μερικά βιβλία που διαθέτει διαβάζει ότι θέτοντας Ν=0 στο ανώτατο σημείο της τροχιάς βρίσκει την ελάχιστη δυνατή ταχύτητα, στο σημείο αυτό, που θα του εξασφαλίσει σίγουρα την ανακύκλωση. 

Διερωτάται λοιπόν: « Γιατί είναι τόσο αυτονόητο, ότι η επαφή δε θα χαθεί στο τρίτο τεταρτοκύκλιο της τροχιάς ». Σχεδιάζει λοιπόν μια πιθανή  τροχιά που του φαίνεται λογική και τη φέρνει για εξηγήσεις. Διερωτόμαστε κι εμείς στη συνέχεια , είναι πράγματι τόσο αυτονόητο και προφανές, ή μήπως εμείς το τεκμηριώσαμε κάπως επιπόλαια ;

Παρασκευή 1 Ιανουαρίου 2010

Ασταθής ισορροπία σώματος με διαστάσεις

Η άσκηση αυτή προσφέρεται στον συνάδελφό μου Θρασύμβουλο Μαχαίρα ως αντίδωρο για το υστερόγραφο της απάντησής του.

«Μια τελευταία πληροφορία»

P.M. Φυσικός