Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο

Το πρόβλημα της δημιουργίας στάσιμου κύματος, πάνω σε μια χορδή με πακτωμένο το ένα της άκρο, όταν το άλλο άκρο τίθεται σε εγκάρσια ταλάντωση, είναι ίσως ένα από τα θέματα που μας έχουν απασχολήσει περισσότερο τα χρόνια ύπαρξης του δικτύου μας. Με πάμπολλες μελέτες αλλά κυρίως συζητήσεις και αντεγκλήσεις. Δημιουργείται πάντα στάσιμο κύμα ή όχι; Είναι σωστές οι εξισώσεις του σχολικού ή χρειάζονται τροποποιήσεις; Τι δημιουργείται στη θέση της πηγής; Δεσμός ή κοιλία; Ή κάτι άλλο;

Ο Γιάννης Κυριακόπουλος έχει επιμείνει (μέχρι και που ο ίδιος μίλησε για εμμονή…), σε πάμπολλες αφορμές, ότι έχουμε πάντα δημιουργία στάσιμου κύματος και μάλιστα το πλάτος του στάσιμου δεν έχει να κάνει καθόλου με αυτό που  διδάσκουμε, δηλαδή ότι στις κοιλίες έχουμε πλάτος 2 Α, όπου Α το πλάτος της πηγής.

Έτσι για παράδειγμα μπορείτε να  διαβάσετε εδώ τις θέσεις του και να δείτε εικόνες με στάσιμα, που τον επιβεβαιώνουν.

Προβλήματα στην διδασκαλία και κατανόηση των στασίμων κυμάτων.

Το προηγούμενο καλοκαίρι, ξεκίνησα μια σειρά άρθρων με πρώτο το «Ενέργεια – ορμή κύματος» στηριζόμενος στις παραδόσεις του Κωνσταντίνου Ευταξία στο ΕΚΠΑ. Ας πιάσουμε λοιπόν το νήμα από εκεί που το αφήσαμε, κάνοντας μια προσπάθεια να ξεδιαλύνουμε κάποια σημεία στα στάσιμα κύματα, μιλώντας όσο γίνεται, λιγότερο για μαθηματικά και περισσότερο  για Φυσική. Ας δούμε λοιπόν κάποιες όψεις, καλοκαίρι έχουμε, μπορούμε να …ασχοληθούμε λίγο!

Κύμα και στάσιμο κύμα σε χορδή. Ποια η διαφορική εξίσωση;

Αναφερόμενοι στα κύματα σε χορδή, συναντάμε τη διαφορική εξίσωση:

Και συνήθως το μυαλό μας την συνδέει με το τρέχον κύμα σε χορδή, πράγμα όχι σωστό. Η παραπάνω εξίσωση αναφέρεται σε ένα στοιχειώδες τμήμα της χορδής, συνδέοντας την καμπυλότητα του τμήματος, με την εγκάρσια επιτάχυνση που αποκτά. Η σωστή γραφή της είναι:

Όπου στην περίπτωση του τρέχοντος κύματος η ποσότητα υ=√(Τ/μ)  μας δίνει την (φασική) ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής (ταχύτητα κύματος). Σε κάθε άλλη περίπτωση μένει μια ποσότητα εξαρτώμενη από την αδράνεια και την ελαστικότητα της χορδής, χωρίς να «λειτουργεί» ως ταχύτητα ενός ανύπαρκτου κύματος.

Αλλά τότε η ίδια διαφορική εξίσωση περιγράφει και το τρέχον κύμα σε χορδή (υποτίθεται απείρου μήκους) και το στάσιμο κύμα ή την ταλάντωση μιας χορδής με σταθερά ή μη άκρα.

Δεν υπάρχει δηλαδή κάποια  διαφορά (στο 2^ο  νόμο του Νεύτωνα…), για την επιτάχυνση ενός τμήματος χορδής, ανάλογα με το τι ακριβώς συμβαίνει στη χορδή ή πόσο είναι το μήκος της…

Διαβάστε τη συνέχεια...

ή

 Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο

Παράλληλες δυνάμεις, η άνωση και η πλεύση.

Ας δούμε τώρα αν μια ισορροπία είναι ευσταθής ή όχι.

Παράδειγμα 5^ο:

Στην επιφάνεια ενός υγρού ισορροπεί μια ανομοιογενής σφαίρα κέντρου μάζας C, μισοβυθυσμένη και έστω Κ, το κέντρο άνωσης. Η παραπάνω ισορροπία είναι ευσταθής, ασταθής ή αδιάφορη;

Απάντηση:

Και στις τρεις παραπάνω περιπτώσεις η σφαίρα ισορροπεί. Για να χαρακτηρίσουμε την ισορροπία, ας υποθέσουμε ότι οι τρεις σφαίρες, εκτρέπονται λίγο προς τα δεξιά. Η περιστροφή έγινε ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο της σελίδας, που περνά από το κέντρο μάζας C και προφανώς προκλήθηκε από κάποια ροπή.

Διαβάστε τη συνέχεια....
ή

 Παράλληλες δυνάμεις,  η άνωση και η πλεύση.

Κυματικά φαινόμενα στο περιθώριο της λυκειακής διδασκαλίας

Κυματικά φαινόμενα στο περιθώριο της λυκειακής διδασκαλίας

Κυκλική κίνηση και συντονισμός;

Με αφορμή ένα ερώτημα που μου έθεσε ο συνάδελφος Κωστής από την Κύπρο.

Το ελατήριο έχει φυσικό μήκος l₀ και έχει προσδεθεί σε σταθερό σημείο Α, ενώ στο άλλο το άκρο έχει προσδεθεί μια σφαίρα. Όταν η σφαίρα ισορροπεί με το ελατήριο κατακόρυφο, προκαλεί επιμήκυνση του ελατηρίου κατά y₁. Θέτουμε σε περιστροφή τη σφαίρα σε οριζόντιο επίπεδο, οπότε διαγράφει κύκλο κέντρου Ο, ενώ ο άξονας του ελατηρίου σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη.

i) Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής σε συνάρτηση με τη γωνία θ.

ii) Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα που μπορεί να αποκτήσει η σφαίρα διαγράφοντας με τον παραπάνω τρόπο κάποια οριζόντια κυκλική τροχιά.

iii) Ποιο ακριβώς είναι το φυσικό περιεχόμενο της μέγιστης γωνιακής ταχύτητας;

Απάντηση

ή

Κυκλική κίνηση και συντονισμός;

Οι ενέργειες σε ένα στάσιμο κύμα.

Έστω ότι σε ένα ελαστικό μέσο, μια χορδή, έχει δημιουργηθεί ένα στάσιμο κύμα με εξίσωση:

Όπως αυτό που μελετά το σχολικό βιβλίο.

Κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής θα έχει κινητική ενέργεια, εξαιτίας της ταχύτητας ταλάντωσης και μια δυναμική ενέργεια, εξαιτίας της παραμόρφωσης που υπόκειται.

Με βάση την αντίστοιχη μελέτη πάνω σε ένα τρέχον κύμα, που έγινε στην ανάρτηση «Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα», για τις ενέργειες αυτές θα έχουμε:

Κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής μήκους dx και μάζας m₁=dm=μdx έχει κινητική ενέργεια:

Διαβάστε τη συνέχεια...

ή

Οι ενέργειες σε ένα στάσιμο κύμα.

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε ένα παλμό

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου (μιας χορδής), το οποίο ταυτίζεται με τον άξονα x και από αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ο παλμός του διπλανού σχήματος με ταχύτητα υ.

i) Για τις ταχύτητες στη διεύθυνση y των σημείων Α και Β ισχύει:

α) u_Α < u_Β,    β)  u_Α = u_Β,    γ)  u_Α > u_Β.

ii) Για το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Β ισχύει:

α) u_Β < υ,     β)  u_Β=υ,     γ)  u_Β > υ.

iii) Να σημειώστε πάνω στο σχήμα τις επιταχύνσεις των σημείων Α, Β, Γ και Δ.

iv) Να εξετασθεί αν μπορεί να υπάρξει διάδοση των παρακάτω παλμών, κατά μήκος μιας χορδής.

Δίνεται ότι σε όλες τις περιπτώσεις έχουμε μικρές εγκάρσιες απομακρύνσεις στη διεύθυνση y, με αποτέλεσμα να ισχύει η διαφορική εξίσωση του κύματος.

Απάντηση:

ή

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε ένα παλμό

Η ενέργεια ενός παλμού.

Στην προηγούμενη ανάρτηση «Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.» ασχοληθήκαμε με το τι συμβαίνει με την ενέργεια κατά την διάδοση ενός αρμονικού κύματος σε μια χορδή.

Ας δούμε τώρα τι διαφορετικό έχουμε, αν κατά μήκος μιας τεντωμένης χορδής, η οποία τείνεται με δύναμη F, διαδίδεται ένας τριγωνικό παλμός με ταχύτητα υ=√F/μ.

Για ευκολία στις πράξεις, έστω ότι ο παλμός είναι αυτός του διπλανού σχήματος, ο οποίος διαδίδεται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ=2m/s, ενώ η γραμμική πυκνότητα της χορδής είναι ίση με μ=0,05kg/m, πράγμα που σημαίνει ότι η τάση της χορδής είναι F=μυ²=0,2Ν.

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Η ενέργεια ενός παλμού

Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.

Έστω ότι κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, μιας χορδής, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με εξίσωση:

y=Α∙ημ2π(t/Τ-x/λ)

Η χορδή τείνεται με δύναμη F, έχοντας γραμμική πυκνότητα μ, με αποτέλεσμα η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, κατά μήκος της, να δίνεται από την γνωστή εξίσωση υ=√F/m.

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.

Υπολογίσατε την απόσταση από τον ήλιο.

Θεωρήσατε ότι γνωρίζουμε την μάζα του ήλιου.

Μετράμε τις γωνιακές ταχύτητες «περιφοράς του ήλιου» στο περιήλιο και στο αφήλιο.

Ας βρούμε τις αποστάσεις ημών από τον ήλιο.

Συνέχεια:

Θέλουμε να βομβαρδίσουμε τον Ισημερινό

Ένα σώμα βρίσκεται πάνω από τον βόρειο πόλο σε ύψος μιας γήινης ακτίνας.

Με ποια οριζόντια ταχύτητα πρέπει να βληθεί ώστε να φτάσει στον Ισημερινό;

Με ποια ταχύτητα θα φτάσει εκεί;

Με ποια γωνία θα πέσει στο έδαφος.

Ας θεωρήσουμε ότι η γη δεν διαθέτει ατμόσφαιρα.

Δεν μας απασχολεί το αν περιστρέφεται ή όχι.

Θεωρούμε γνωστό το ότι η τροχιά που επιθυμούμε είναι έλλειψη της οποίας η μία εστία είναι το κέντρο της γης.

Ας προσδιορίσουμε την άλλη.

Απάντηση:

Το ιξώδες και ο τανυστής εσωτερικής τριβής

Το σχόλιο του Ανδρέα Κασσέτα επιβεβαίωσε την σχεδόν πλήρη άγνοια που είχα για την έννοια ιξώδες. Το μόνο που ήξερα ήταν ότι το ιξώδες σημαίνει ύπαρξη εσωτερικής τριβής στα ρευστά. Η παρέμβαση του Ανδρέα ήταν μια πρόκληση να κατανοήσω καλύτερα την έννοια.

Στην προσπάθειά μου να καταγράψω το προσωπικό μου διάβασμα προέκυψε κείμενο 22 σελίδων σε word και σε pdf

Οι τρεις σωματοφύλακες, φυγόκεντρος, Coriolis, d’ Alembert. Μέρος δεύτερον.

Το δεύτερο μέρος.
Κυρίως ασχολείται με την Coriolis.


Συνέχεια:

Οι τρεις σωματοφύλακες, φυγόκεντρος, Coriolis, d’ Alembert. Μέρος πρώτον.

Που ήταν τέσσερεις μαζί με την δύναμη Euler. Την έφαγα στο παρόν πόνημα.

Μου είναι συμπαθέστατη αλλά δεν συγχέεται με τις άλλες. Εμφανίζεται μόνο συνοδευόμενη από γωνιακές επιταχύνσεις, κάτι που την καθιστά «κραγμένη». Αντίθετα είναι πολύ απλό το να μπερδέψεις τις άλλες.

Δεν την έχω πατήσει ούτε μία, ούτε δύο φορές. Σε πρόσφατη συζήτηση απεκάλεσα «φυγόκεντρο» μία καθαρόαιμη d’ Alembert. Χωρίς να παρεξηγηθεί ευτυχώς.

Ένας καλός τρόπος να καταλάβεις κάτι είναι να προσπαθήσεις να το παρουσιάσεις.

Αυτό κάνω και με αυτήν την πρόθεση.

Περιορίζομαι σε επίπεδες κινήσεις.

Συνέχεια:

Γενίκευση του νόμου Bernoulli σε μια ροή όχι μόνιμη. Με πολύ απλά λόγια.

Έχουμε μια ροή σε οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής.

Αυτή μπορεί να μην είναι μόνιμη για διαφόρους λόγους.

Πως γενικεύεται ο νόμος Bernoulli ώστε να καλύψει την περίπτωση;

Συνέχεια:

Βαρέλια και σιφώνια

Όταν μεταγγίζουμε νερό από μια δεξαμενή σε μια άλλη που βρίσκεται χαμηλότερα, σε πόσο χρόνο αδειάζει;
Τι πρέπει να προσέχουμε όταν εφαρμόζουμε τον νόμο Μπερνούλι εδώ:

Συνέχεια:

Η άνωση στα αέρια. Μια πολύ σύντομη απόδειξη.

Πριν την ρίξω άγαρμπα ας κάνω μια απλοϊκή εισαγωγή.

Κάτι ως «συστήματα μεταβλητής μάζας για παιδιά».

Συνέχεια:

Η άνωση στα αέρια

Ποια είναι η υπόθεση;

Ξέρουμε ότι η άνωση, σε μη επιταχυνόμενο περιβάλλον,  είναι ίση με το βάρος του εκτοπιζόμενου υγρού. Ξέρουμε εμπειρικά πως το ίδιο ισχύει και στα αέρια. Έτσι μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς, πρακτικά επαρκείς, με αερόστατα.

Λόγου χάριν πόσο όγκο πρέπει να έχει ένα αερόστατο ηλίου ώστε να σηκώσει εμένα;

Όμως η απόδειξη δεν είναι ίδια. Η προέλευση των δύο πιέσεων δεν είναι ίδιας φύσης.

Η υδροστατική πίεση οφείλεται στο βάρος του υγρού, ενώ η πίεση των αερίων σε ανελέητο βομβαρδισμό από κινούμενα μόρια.

Ας τις δούμε διαδοχικά.

Συνέχεια:

Η ομορφιά της συμμετρίας και το εγκώμιο της ατέλειας , Αρθρογραφία, ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΖΩΝΗ

Η ομορφιά της συμμετρίας και το εγκώμιο της ατέλειας , Αρθρογραφία, ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΖΩΝΗ

Πόσο νερό θα βγει από κάθε τρύπα;

Έχουμε ένα κυλινδρικό δοχείο γεμάτο νερό.

Κοντά στον πάτο και στη μέση έχουμε δυο εντελώς όμοιες τρύπες ταπωμένες.

Βγάζουμε τις τάπες ταυτόχρονα.

Πόσο νερό θα βγει από κάθε τρύπα;

Συνέχεια:

Πόση είναι τελικά η παροχή;

Βρίσκω σε σημειώσεις που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο μία απόπειρα υπολογισμού του χρόνου αδειάσματος ενός δοχείου.

Το άδειασμα δοχείου έχει (κατά το δημοσίευμα) μαθηματική ομοιότητα με την εκφόρτιση πυκνωτή.

Κάτι δεν μου αρέσει. Αρχικά διότι, ενώ καταλήγει σε κάτι ελκυστικό, πολυπλοκοποιεί κάτι που θεωρούσα πολύ απλό.

Τι συμβαίνει τελικά;

Συνέχεια σε pdf: