Τετάρτη 15 Ιουλίου 2009

Ενέργειες στην Εξαναγκασμένη Ταλάντωση.

Με αφορμή τις αναρτήσεις Εξαναγκασμένη Ταλάντωση και ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ. Και Εξαναγκασμένη και φθίνουσα Ηλεκτρική Ταλάντωση πήρα 3-4 μηνύματα από συναδέλφους, οι οποίοι μου εξέφραζαν απορίες πάνω στην διατήρηση ενέργειας σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Για ξεκαθάρισμα της κατάστασης ας δούμε ένα παράδειγμα αναλυτικά.
.
Άσκηση:

Στο παρακάτω κύκλωμα R=10Ω, το ιδανικό πηνίο έχει αυτεπαγωγή L=0,15Ω και ο πυκνωτής χωρητικότητα C=2mF, ενώ η τάση της πηγής δίνεται από την εξίσωση


Να βρεθούν:

1) Η μέγιστη ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου και η μέγιστη ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή.

2) Για τη χρονική στιγμή t1=π/200 s να βρεθούν:

..........α) Ο ρυθμός με τον οποίο παρέχει ενέργεια στο κύκλωμα η γεννήτρια.
......... β)Η ισχύς στην αντίσταση, στο πηνίο και στον πυκνωτή.


Λύση:

Η εμπέδηση του πηνίου είναι ΖL=Lω=15Ω, του πυκνωτή ΖC= 1/Cω = 1/2·10-3·100Ω=5Ω, οπότε:


και το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα πλάτους:


Έτσι το διανυσματικό διάγραμμα των τάσεων είναι το παρακάτω.


1) Με βάση τα προηγούμενα έχουμε λοιπόν:
U
Βmax= ½ LΙ2 = ½ ·0,15·4 J= 0,3J.
U
Εmax= ½ CVοC2 = ½ ·2·10-3·(2·5)2J = 0,1J αλλά και UΕmax= ½ Q2/C όπου Ι=ωQ →
Q= Ι/ω= 2/100 C= 0,02C, οπότε U
Εmax= ½ 4·10-4/2·10-3=0,1J.
Προφανώς οι δύο ενέργειες δεν είναι ίσες.

2) Τη χρονική στιγμή t1 έχουμε:


Τι δείχνουν αυτές οι τιμές της ισχύος;
Η γεννήτρια προσφέρει ενέργεια στο κύκλωμα με ρυθμό 40J/s, από αυτά 20J/s μετατρέπονται σε θερμότητα στον αντιστάτη και τα υπόλοιπα 20J/s αποθηκεύονται στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου. Επίσης ο πυκνωτής εκφορτίζεται χάνοντας ενέργεια με ρυθμό 10J/s, η οποία επίσης αποθηκεύεται στο πηνίο (20W+10W= 30W).
Εδώ κρύβεται η διατήρηση της ενέργειας και όχι μεταξύ πηνίου – πυκνωτή.

Σχόλιο: Πού γίνεται συνήθως το λάθος στην εξαναγκασμένη ταλάντωση; Λέμε ότι ο διεγέρτης ασκεί δύναμη αντίθετη στην δύναμη απόσβεσης με αποτέλεσμα η ταλάντωση να είναι αμείωτη. Αυτό ισχύει μόνο στον συντονισμό. Σε κάθε άλλη περίπτωση η εξωτερική δύναμη παρουσιάζει κάποια άλλη διαφορά φάσης με την δύναμη απόσβεσης με αποτέλεσμα κάθε στιγμή η ισχύς της μιας και της άλλης να μην είναι αντίθετες. Και ποιο είναι το σωστό;

Στη διάρκεια μιας περιόδου, όση ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα εξαιτίας της απόσβεσης (ή της αντίστασης R) προσφέρεται στο σύστημα από τον διεγέρτη, με αποτέλεσμα το πλάτος να παραμένει σταθερό. Δηλαδή στο παραπάνω κύκλωμα, για τη μέση ισχύ έχουμε:

Ρμ=Vεν·Ιεν συνθ = 20·2/2 ½ ·2 ½ /2 W= 20W, ενώ
Ρ
Rεν2·R= (2/2 ½)2· 10W= 20W.

Τρίτη 14 Ιουλίου 2009

Μόνο Στροφική ή σύνθετη κίνηση;


Μια ομογενής ράβδος ΑΓ, στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από κάθετο άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο Α.

Τι κίνηση κάνει; Ποιας μορφής Κινητική ενέργεια έχει;

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι= 1/12 Μl2.

Απάντηση:

1) Η κίνηση μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι μόνο ομαλή στροφική γύρω από τον άξονα με αποτέλεσμα να έχει μόνο κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής:

2) Η κίνηση μπορεί να θεωρηθεί σύνθετη.


Μια στροφική γύρω από κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας Ο, με γωνιακή ταχύτητα ω και μια μεταφορική του κέντρου μάζας Ο, το οποίο εκτελεί κυκλική κίνηση, σαν υλικό σημείο με γραμμική ταχύτητα:

υγρcm=ω·(ΑΟ) → υcm=ω·l/2

Έτσι για παράδειγμα το άκρο Α έχει μια ταχύτητα λόγω της μεταφορικής κίνησης την υcmκαι μια γραμμική ταχύτητα λόγω της περιστροφικής κίνησης υγρ=ω·R= ω·l/2. Έτσι η ταχύτητα του άκρου Α είναι μηδενική, πράγμα αναμενόμενο αφού από το άκρο αυτό διέρχεται ο σταθερός άξονας περιστροφής.

Αν όμως η κίνηση είναι σύνθετη, τότε θα έχει και μεταφορική και περιστροφικήκινητική ενέργεια.

Άρα

Κολ= Κμετπερ

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Αν ένα στερεό στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, ο οποίος δεν περνά από το κέντρο μάζας, τότε το σώμα έχει και μεταφορική κινητική ενέργεια (Κ= ½ Mυcm2) και περιστροφική κινητική ενέργεια (Kπερ= ½ Ιω2) όπου Ι η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του.

Ας έρθουμε τώρα σε μια εφαρμογή των παραπάνω ιδεών:

Η ράβδος του σχήματος εκτελεί μεταφορική κίνηση με ταχύτητα υ0 πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο σημείο Ο υπάρχει κατακόρυφος σταθερός άξονας. Όταν το άκρο Α της ράβδου φτάνει στο Ο πιάνεται στον άξονα με τη βοήθεια ενός άγκιστρου με αποτέλεσμα η ράβδος να συνεχίσει με περιστροφική κίνηση.

  1. Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου, μετά την σταθεροποίηση του άκρου Α στο άγκιστρο.
  2. Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης (σαν δύναμης) που ασκήθηκε στην ράβδο από το άγκιστρο.
  3. Να βρεθεί το έργο της ροπής που ασκήθηκε στη ράβδο.

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το άκρο της Ι= 1/3 Μl2.

Λύση:

.