Τετάρτη 30 Νοεμβρίου 2011

Εξαναγκασμένη ταλάντωση με περιοδικό διεγέρτη

Η συνήθης μελέτη μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης περιορίζεται σε αρμονικό διεγέρτη. Θεωρούμε δηλαδή μια δύναμη της μορφής
F=F0ημ(ωt+φ)=F0sημ(ωτ) + F0cσυν(ωt)
λύνουμε την διαφορική εξίσωση και βρίσκουμε την εξίσωση κίνησης του σώματος.
Αν στο σώμα επιδρά ένας περιοδικός διεγέρτης γωνιακής συχνότητας ω τότε η δύναμη του διεγέρτη αναπτύσσεται κατά Fourier σε αρμονικούς διεγέρτες γωνιακών συχνοτήτων 0, ω, 2ω,3ω,….
Για κάθε επιμέρους αρμονικό διεγέρτη βρίσκουμε την λύση και στην συνέχεια προσθέτοντας τις λύσεις βρίσκουμε την λύση για τον περιοδικό διεγέρτη.
Στην ουσία εφαρμόζουμε αρχή επαλληλίας παρόμοια με την αρχή επαλληλίας που εφαρμόζουμε στον ηλεκτρομαγνητισμό.
Επειδή η ΔΕ είναι γραμμική, αν Λ1, Λ2,.. είναι οι λύσεις για τα αίτια (φορτία , ρεύματα ή διεγέρτες) Α1,Α2,.. , τότε η Λ=Λ1+Λ2+… είναι η λύση για το αίτιο
Α=Α1+Α2+…
Μια «απλή εφαρμογή» είναι η περίπτωση ενός «ημιανορθωμένου διεγέρτη» δηλαδή ενός αρμονικού διεγέρτη που δρα πάντα στην ίδια κατεύθυνση για μισή περίοδο।
Αναλυτικά σε pdf

Εκκρεμές με απόσβεση

Ακολούθως θα θεωρήσουμε την πιο «ρεαλιστική» περίπτωση της κίνησης του εκκρεμούς στον αέρα, όπου πλέον υπάρχει απόσβεση και το πλάτος της ταλάντωσης φθίνει με το χρόνο. Πιο συγκεκριμένα θα θεωρήσουμε ότι το εκκρεμές (με μήκος L=1m) ταλαντώνεται σε μικρές γωνίες και ότι μετά από 5 λεπτά (min) το πλάτος του είναι το 50% του αρχικού. Θα ονομάσουμε ω την κυκλική συχνότητα του εκκρεμούς με την απόσβεση και ω0 την κυκλική συχνότητα του απλού (χωρίς απόσβεση) εκκρεμούς....

Εκκρεμές με απόσβεση

Τρίτη 29 Νοεμβρίου 2011

Ελατήριο ανάμεσα σε δύο μάζες. Ανηγμένη μάζα.


Στο παρακάτω σχήμα 1, στα άκρα Α και Β ελατηρίου με σταθερά k, είναι στερεωμένα δύο σώματα με μάζες m1 και m2, αντίστοιχα. Το ελατήριο θεωρείται χωρίς μάζα ενώ το σύστημα μάζες-ελατήριο μπορεί να ταλαντώνεται ελεύθερα (χωρίς τριβές) στο λείο οριζόντιο επίπεδο, στο οποίο στηρίζεται. Αρχικά τεντώνουμε το ελατήριο και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο. Να περιγραφεί η ταλάντωση του συστήματος.















Ελατήριο ανάμεσα σε δύο μάζες. Ανηγμένη μάζα.

Κατανομή Μαxwell-Boltzman

... Χρησιμοποιώντας την κατανομή Maxwell-Boltzmann, μπορούμε να υπολογίσουμε ένα αριθμό ποσοτήτων που είναι σπουδαίες για τη μοριακή φυσική. Για παράδειγμα, η μέση ταχύτητα των μορίων, η ενεργός ταχύτητα και η πιθανότερη ταχύτητα। Ξεκινάμε με τον υπολογισμό της μέσης ταχύτητας των μορίων...

Κατανομή Μαxwell-Boltzman

Κυριακή 27 Νοεμβρίου 2011

3 ΑΠΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ


Τα πιο ισχυρά quasars έχουν φωτεινότητα περίπου 1040 W. Πόση ποσότητα μάζας ανά δευτερόλεπτο πρέπει να καταναλώνει η κεντρική μελανή οπή για να παράγει αυτή τη φωτεινότητα; Υπολογίστε πόσες ηλιακές μάζες καταβροχθίζει η μελανή οπή σ’ ένα έτος. Υποθέστε ότι μόνο το 10% της μάζας που καταναλώνεται ακτινοβολείται.



Σάββατο 26 Νοεμβρίου 2011

Ο Φερμά, ο Σνελ και ...η QED

- Kαι πως κύριε «γνωρίζει» το φως ποια είναι η συντομότερη διαδρομή και την ακολουθεί; Όταν (εμείς) γνωρίζουμε το αρχικό και το τελικό σημείο της τροχιάς, μπορούμε να υπολογίσουμε και να βρούμε τη διαδρομή που επαληθεύει την αρχή του Fermat। Όταν όμως το φως ξεκινάει από κάποιο σημείο Α (ας πούμε στον αέρα) κινούμενο προς κάποιο σημείο Β (ας πούμε στο νερό) πως γνωρίζει ποια είναι η συντομότερη διαδρομή και την ακολουθεί;

Ο Φερμά, ο Σνελ και ...η QED

Παρασκευή 25 Νοεμβρίου 2011

Η σταθερότητα των ατόμων

...Και βέβαια το κλασικό μοντέλο (Rutherford) αδυνατεί να εξηγήσει τη σταθερότητα των ατόμων. Τα άτομα π.χ. ενός αερίου βρίσκονται σε μια αδιάκοπη θερμική κίνηση , με εκατομμύρια αμοιβαίες κρούσεις το δευτερόλεπτο και με ταχύτητες της τάξης των δεκάδων χιλιάδων μέτρων ανά δευτερόλεπτο . Και όμως αναδύονται από τις αμοιβαίες αυτές κρούσεις τους τελείως αμετάβλητα. Αυτό δεν θα είχαμε καμιά δυσκολία να το αντιληφθούμε αν τα άτομα ήταν πραγματικά ά-τομα και άρα «εξαιρετέα από την αλλαγή και την φθορά » όπως λέει ο Επίκουρος. Αλλά δεν είναι. Συμμετέχουν σε χημικές αντιδράσεις. Και πάντοτε ξαναβγαίνουν τα ίδια . Σαν να μην έχουν ιστορία και προϊστορία . Σαν η μορφή τους να είναι προκαθορισμένη .
Μια προσπάθεια ερμηνείας της σταθερότητας των ατόμων με την βοήθεια της θεωρίας του Μπορ.
Η σταθερότητα των ατόμων

Για τις προσεγγίσεις

Το να μπορεί κανείς να κάνει τις σωστές προσεγγίσεις σε διάφορα προβλήματα Φυσικής (και όχι μόνο) είναι σίγουρα μια πολύ σημαντική ικανότητα। Κι΄ όμως στα περισσότερα (αν όχι όλα) σχολικά ή και Πανεπιστημιακά βιβλία δεν δίνεται (κατά τη γνώμη μου) ιδιαίτερη έμφαση στην «καλλιέργεια» αυτής της ικανότητας. Ούτε και υπάρχει κάποια συστηματική παρουσίαση του τρόπου με τον οποίο θα μπορούσε –ίσως- κάποιος να «εξασκηθεί» στο να επιλέγει την καλύτερη (ανάλογα με το πρόβλημα) δυνατή προσέγγιση....

Λίγα για τις προσεγγίσεις

Πέμπτη 24 Νοεμβρίου 2011

Χρόνος κατάρρευσης του κλασσικού ατόμου






Στα επόμενα θα θεωρήσουμε το απλούστερο δυνατό άτομο, το άτομο του υδρογόνου Μπορούμε να υπολογίσουμε την τάξη μεγέθους του χρόνου, που θα οδηγούσε στην «κατάρρευση» του «κλασσικού» ατόμου। Για να το κάνουμε αυτό θα χρησιμοποιήσουμε την «κλασσική» σχέση που μας δίνει την ακτινοβολούμενη ισχύ Ρ, από ένα επιταχυνόμενο ηλεκτρικό φορτίο. Σύμφωνα λοιπόν με την κλασσική ηλεκτροδυναμική, ο ρυθμός με τον οποίο ακτινοβολεί ενέργεια ένα επιταχυνόμενο φορτίο είναι ανάλογος του τετραγώνου της επιτάχυνσης του....

Η Κατάρρευση του κλασσικού ατόμου.