Όταν το ελατήριο έχει μάζα

Αφορμή για την παρούσα ανάρτηση ήταν η θέση που διατύπωσε ο Γιάννης ο Κυριακόπουλος όσον αφορά στην συχνότητα ταλάντωσης ενός σώματος, το οποίο είναι δεμένο σε ελατήριο όχι αμελητέας μάζας.
Το συνηθισμένο αποτέλεσμα για την γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του σώματος είναι:
όπου M η μάζα του σώματος, m η μάζα του ελατηρίου και k η σταθερά του ελατηρίου.
Σημαντικός προβληματισμός μου όσον αφορά το αποτέλεσμα αυτό ήταν το γεγονός ότι δεν μπορούσα να επαληθεύσω εκ των υστέρων την σχέση ΣF=-Μω^2x για το σώμα.
Βασική άποψη ήταν ότι πρέπει να μελετήσει κανείς τόσο την κίνηση του σώματος όσο και τα διαμήκη κύματα που διαδίδονται στο ελατήριο.
Η ορθή σχέση για τον θεμελιώδη τρόπο ταλάντωσης είναι:
Στην σύντομη αυτή πραγματεία κατ’ αρχάς εξάγεται (ως υπενθύμιση) η εξίσωση των διαμήκων κυμάτων σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο και εφαρμόζεται στην περίπτωση ενός ελατηρίου.
Στην συνέχεια ανευρίσκονται οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης του συστήματος ελατήριο - μάζα τόσο στην περίπτωση που το ελατήριο είναι οριζόντιο όσο και στην περίπτωση που το ελατήριο είναι κατακόρυφο.
Τέλος εξετάζεται βήμα το βήμα η κίνηση του σώματος.
Είναι εντυπωσιακό (κατά την γνώμη μου) το γεγονός ότι βήμα – βήμα χτίζεται από εκθετικές συναρτήσεις μια σχεδόν περιοδική κίνηση με συχνότητα αυτή του θεμελιώδη τρόπου ταλάντωσης.
Αναλυτικά σε pdf και word