Σάββατο, 5 Δεκεμβρίου 2009

Γενίκευση της σύνθεσης δύο αρμονικών ταλαντώσεων

Με την μικρή αυτή εργασία προσπαθώ να δώσω μια γενίκευση της σύνθεσης δύο αρμονικών ταλαντώσεων που έχουν διαφορετικές γωνιακές συχνότητες και να επισημάνω την σπουδαιότητα του διακροτήματος, για την οποία δεν γίνεται λόγος στο σχολικό βιβλίο και νομίζω ότι στο επίπεδο του Λυκείου δεν πρέπει να γίνεται. Θα παρακαλούσα τον Διονύση Μάργαρη να μας παρουσιάσει με τον τρόπο που αυτός ξέρει τις εξής προσομειώσεις:

i) Μια προσομείωση συμβολής δύο ημιτονικών ταλαντώσεων του ίδιου ή διαφορετικών πλατών, επιλέγοντας ο ίδιος τις γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2, ώστε η συμβολή να δώσει περιοδική κίνηση.

ii) Δύο προσομειώσεις διακροτημάτων που προκύπτουν από την σύνθεση δύο συνημιτονικών ταλαντώσεων ή μιας ημιτονικής και μιας συνημιτονικής ταλάντωσης.
Ρ.Μ. Φυσικός
Άσκηση:
Ένας ταλαντωτής εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις πάνω στην ίδια ευθεία περί το ίδιο κέντρο, οι οποίες περιγράφονται από τις συναρτήσεις:
x1= Α1ημω1t  , x2= Α2ημω2t
όπου Α1, Α2, ω1, ω2 θετικές και σταθερές ποσότητες.
i)  Nα δείξετε ότι, αν ο λόγος ω12 των γωνιακών συχνοτήτων των επιμέρους ταλαντώσεων είναι ρητός αριθμός, τότε η κίνηση του ταλαντωτή είναι περιοδική. Πως υπολογίζεται η περίοδος της συνισταμένης κίνησης του ταλαντωτή;
ii)  Eάν οι γωνιακές συχνότητες ω1, ω2 διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους, να δείξετε ότι η συνάρτηση που περιγράφει την κίνηση του ταλαντωτή παρουσιάζει μέγιστα και ελάχιστα (τοπικά ακρότατα) τα οποία είναι σημεία της περιβάλλουσας της συνάρτησης αυτής.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου