1. Σύστημα δυο τροχαλιών

Γύρω από μια τροχαλία ακτίνας R=0,2m και μάζας M=6kg έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου δένουμε μια δεύτερη τροχαλία m και ακτίνας r=0,1m, την οποία συγκρατούμε σε ύψος h από το έδαφος, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή αφήνουμε τη δεύτερη τροχαλία να πέσει και παίρνουμε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του κέντρου μάζας της Κ, σε συνάρτηση με το χρόνο, η μορφή της οποίας φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα.

Δίνεται η ροπή αδράνειας τροχαλίας μάζας Μ και ακτίνας R ως προς τον άξονά της Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

i)          Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στις δυο τροχαλίες.

ii)         Να υπολογιστεί η επιτάχυνση της τροχαλίας m.

iii)       Να βρεθεί το μέτρο της τάσης του νήματος (κατά την διάρκεια της πτώσης) και η μάζα m της τροχαλίας που πέφτει.

iv)      Ποιο είναι το ύψος h;

Απάντηση:

Γενικευμένοι νόμοι και ολίσθηση τροχού.

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας τροχός μάζας Μ=10kg και ακτίνας =0,5m, ο οποίος παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,4. Σε μια στιγμή t=0 ασκείται στο κέντρο Ο του τροχού οριζόντια δύναμη F, η τιμή της οποίας μεταβάλλεται όπως στο διάγραμμα.

i) Να αποδειχθεί ότι ο τροχός θα αρχίσει να περιστρέφεται, αλλά και να ολισθαίνει.

ii) Να βρεθεί η χρονική στιγμή που ο τροχός θα πάψει να ολισθαίνει και πλέον θα κυλίεται.

iii) Να υπολογιστεί η ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική, μέχρι την παραπάνω στιγμή, εξαιτίας της τριβής που ασκείται στον τροχό.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Γενικευμένοι νόμοι και ολίσθηση τροχού.

Μελέτη της κίνησης σώματος στο άκρο ελατηρίου

H συνέχεια από εδώ ή και  εδώ.

Tο μαγνητικό πεδίο εντός της ύλης

 

  

Mαγνητική διαπερατότητα υλικού

Θεωρούμε επίμηκες σωληνοειδές, του οποίου οι σπείρες διαρρέονται με ηλεκτρικό ρεύμα ορισμένης έντασης Ι. Tότε στο εσωτερικό του σωληνοειδούς υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο Β₀, που μπορεί να μετρηθεί από την ένδειξη του βαλιστικού γαλβανομέτρου (G), όταν διακοπεί το ρεύμα στο σωληνοειδές. Έστω τώρα ότι στο εσωτερικό του σωληνοειδούς τοποθετείται σιδερένιος πυρήνας (σχ. 2) και διακόπτεται πάλι το ηλεκτρικό ρεύμα σ’ αυτό. Tότε θα διαπιστώσουμε μεγαλύτερη ένδειξη του γαλβανομέτρου, γεγονός που σημαίνει ότι με την εισαγωγή του σιδη ροπυρήνα στο σωληοειδές αυξάνεται το πεδίο, μολονότι το ρεύμα παρέμεινε αμετάβλητο. Eάν Β είναι το πεδίο μετά την εισαγωγή του σιδηροπυρήνα, τότε το πηλίκο

 

                   Σχήμα 1                                   Σχήμα 2

B/Bο ορίζεται ως σχετική μαγνητική διαπερατότητα μ του υλικού του σιδηροπυρήνα, δηλαδή ισχύει:

Η συνέχεια σε pdf ή και από εδώ.

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος ή περί ανηγμένης μάζας και άλλα σχετικά.

Μια καλοκαιρινή  περιπλάνηση….

Τα  δυο σώματα Α και Β με ίσες μάζες m₁=m₂=m=1kg, ηρεμούν όπως στο σχήμα, όπου το ελατήριο έχει σταθερά k=100Ν/m, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h=0,2m από το έδαφος. Απομακρύνουμε κατακόρυφα προς τα πάνω το σώμα Α, κατά y₁=0,1m και σε μια στιγμή που θεωρούμε t=0, το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί εκτελώντας ΑΑΤ.

i) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση θετική.

ii) Να βρεθεί η εξίσωση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

iii) Τη στιγμή που η τάση του νήματος γίνεται ελάχιστη για τρίτη φορά, το νήμα κόβεται και τα σώματα πέφτουν. Με την κρούση με το έδαφος το σώμα Α προσκολλάται. Να βρεθεί η ενέργεια της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το Β σώμα.

Δίνεται g=10m/s².

Συνέχεια:

ή

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος ή περί ανηγμένης μάζας και άλλα σχετικά.

Συνισταμένη, κοίλη σφαίρα και μερικές άλλες εφαρμογές…Καλοκαιρινές!!!

Ας ξεκινήσουμε με ένα γνωστό παράδειγμα.

Παράδειγμα 1^ο:

Η λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ του διπλανού σχήματος έχει βάρος w=100Ν, μήκος ℓ=4m και ισορροπεί οριζόντια στηριζόμενη σε τρίποδο, σε απόσταση x=1m από το ένα της άκρο Α, ενώ δέχεται την επίδραση μιας κατακόρυφης δύναμης F, στο σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=3,5m. Να βρεθεί η δύναμη που ασκείται στη ράβδο από το τρίποδο.

Η συνέχεια σε pdf 

ή

Συνισταμένη, κοίλη σφαίρα και μερικές  άλλες εφαρμογές…

Μια παραλλαγή του θέματος Γ των εξετάσεων του 2013

Ένα σώμα μάζας m είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου αμελητέας μάζας και σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο (σχ. 2) Το σώμα βρίσκεται πάνω σε τραχύ οριζόντιο έδαφος με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής μ το δε ελατήριο βρίσκεται στην φυσική του κατάσταση. Κάποια στιγμή που θεωρείται ως αρχή μέτρησης του χρόνου το σώμα δέχεται απότομη ώθηση βραχείας διάρκειας που του προσδίνει οριζόντια ταχύτητα v₀ με αποτέλεσμα το ελατήριο να συσπειρώνεται και τελικά το σώμα ηρε μεί χωρίς όμως να αλλάξει φορά κίνησης.

i) Να δείξετε την σχέση:

όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

ii) Nα βρείτε τον χρόνο κίνησης του σώματος.

Απάντηση

Ένα κομμένο δαχτυλίδι κρέμεται από νήμα ή κατανομή ροπών και δυνάμεων σε μια δοκό

Ένας ομογενής  δακτύλιος ακτίνας α και γραμμικής πυκνότητας μ φέρει μια εγκάρσια εγκοπή σε ένα σημείο του Γ. Ο δακτύλιος αναρτάται με την βοήθεια νήματος από το σημείο Α αντιδιαμετρικό του Γ.

Να υπολογίσετε την κατανομή δυνάμεων και ροπών κατά μήκος του δακτυλίου.

Σε ποια σημεία κινδυνεύει να κοπεί και σε ποια σημεία κινδυνεύει να σπάσει;

Απάντηση σε pdf ή σε word

Όταν το σχοινί γλιστράει στην τροχαλία

Μια τροχαλία μάζας m και ακτίνας R μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της κάθετο στο επίπεδό της. Στο αυλάκι της τροχαλίας είναι περασμένο μη εκτατό νήμα αμελητέας μάζας.. Στα δύο  άκρα του νήματος έχουν προσδεθεί δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ μαζών m₁ και m₂ αντιστοίχως

Αν το νήμα γλιστράει στην τροχαλία

1. να υπολογιστούν οι επιταχύνσεις των δύο σωμάτων και η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας
2. για ποιες τιμές του συντελεστή τριβής ολισθήσεως νήματος – τροχαλίας το νήμα γλιστράει στην τροχαλία;
3. Επιβεβαιώστε ότι η απώλεια της ενέργειας του συστήματος είναι ίση με το έργο της τριβής λόγω της σχετικής κίνησης του νήματος στην τροχαλία

Απάντηση : σε pdf και σε doc

Πότε το νήμα δεν θα ολισθαίνει;

Ας επιστρέψουμε στο πρόβλημα που θέσαμε στην ανάρτηση: 

«Ποια ροπή επιταχύνει την τροχαλία;»

Δίνεται η διάταξη  του διπλανού σχήματος, όπου στα άκρα ενός αβαρούς και μη εκτατού νήματος, έχουμε δέσει δυο σώματα Α και Β με μάζες m₁=2kg και m₂=1kg. Το νήμα περνά από τροχαλία μάζας Μ=4kg και ακτίνας R=20cm. Το σύστημα ηρεμεί, αφού εμείς συγκρατούμε το σώμα Β στη θέση του. Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Β, το οποίο αρχίζει να ανέρχεται.

Να βρεθεί ο ελάχιστος συντελεστής στατικής οριακής τριβής μεταξύ νήματος και τροχαλίας, ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση του νήματος.

Για την τροχαλία δίνεται Ι= ½ ΜR².

Απάντηση:

ή

Πότε το νήμα δεν θα ολισθαίνει;

Αλληλεπίδραση τροχαλίας με το σχοινί της.

Η μικρή αυτή εργασία είχε ως αφετηρία την εξαιρετική ανάρτηση του Φυσικού Διονύση Μαργαρη που φέρει τον τίτλο:

Ποια ροπή επιταχύνει την τροχαλία;

Στην ανάρτηση αυτή περιγράφεται με ακραία σαφήνεια η αλληλεπίδραση μιας τροχαλίας με το τμήμα του σχοινιού που περιβάλλει το αυλάκι της στην περίπτωση που το σχοινί είναι αβαρές και δεν ολισθαίνει πάνω στο αυλάκι. Επειδή με ενθουσίασε ο όμορφος τρόπος με τον οποίο ο Διονύσης  αναπτύσσει το θέμα, θέλησα να τον τιμή σω προσφέροντας στο δίκτυο δύο παραδείγματα που σχετίζονται άμεσα με το περιεχόμενο της εργασίας του αυτής. Tα παραδείγματα αυτά χρονολογούνται από το αρχέγονο παρελθόν, δηλαδή με απασχόλησαν ως φοιτητή, αλλά η εργασία του Διονύση τα κατέστησε επίκαιρα.

P.M. fysikos

Ένα αβαρές σχοινί περιβάλλει το αυλάκι μιας σταθερής τροχαλίας, η οποία μπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Eάν φ0 είναι η γωνία υπό την οποία φαίνεται εκ του κέντρου της τροχαλίας το τμήμα του σχοινιού που είναι σ’ επαφή με την τροχαλία και μ ο συντελεστής οριακής τριβής ανάμεσα στο σχοινί και την τροχαλία, να δείξετε ότι για να ισορροπεί η τροχαλία πρέπει τα μέτρα των τάσεων F₁ και F₂  του σχοινιού να ικανοποιούν την σχέση:

Η συνέχεια  σε pdf. ή και από εδώ.

Ποια ροπή επιταχύνει την τροχαλία;

Η άσκηση αυτή δεν απευθύνεται σε μαθητές-υποψήφιους.

Πώς στρέφεται μια τροχαλία με τη βοήθεια ενός νήματος;

Είναι η τάση του νήματος, η ροπή της οποίας, προκαλεί την γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας;

Παίζουν κάποιο ρόλο οι τριβές μεταξύ νήματος και τροχαλίας και αν ναι, ποιον;

Ας κάνουμε μια διερεύνηση της κατάστασης που επικρατεί, μέσω ενός παραδείγματος.

Δίνεται η διάταξη  του διπλανού σχήματος, όπου στα άκρα ενός αβαρούς και μη εκτατού νήματος, έχουμε δέσει δυο σώματα Α και Β με μάζες m₁=2kg και m₂=1kg. Το νήμα περνά από τροχαλία μάζας Μ=4kg και ακτίνας R=20cm. Το σύστημα ηρεμεί, αφού εμείς συγκρατούμε το σώμα Β στη θέση του. Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Β, το οποίο αρχίζει να ανέρχεται, χωρίς να γλιστρά το νήμα στο αυλάκι της τροχαλίας.

Να βρεθεί η ροπή που επιταχύνει την τροχαλία.

Απάντηση:

ή

Ποια ροπή επιταχύνει την τροχαλία;

και. λίγο περισσότερα:

Ποια ροπή επιταχύνει την τροχαλία και τι συμβαίνει με την τριβή_

Μια άσκηση ταλάντωσης στερεού που μπορεί και να ανατραπεί

Δύο ακριβώς όμοιοι κύλινδροι μπορούν να στρέφονται περί τους γεωμετρικούς τους άξονες, οι οποίοι είναι σταθεροί, βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και απέχουν μεταξύ τους απόσταση α. Ένα ξύλινο δοκάρι σταθερής διατομής σε όλο το μήκος του, τοποθετείται πάνω στους κυλίνδρους κάθετα στους άξονες περιστροφής τους, ώστε το κέντρο του να ισαπέχει από τις ευθείες επαφής του με τις επιφάνειες των κυλίνδρων.

i) Mε κατάλληλο μηχανισμό θέτουμε τους κυλίνδρους σε περιστροφική κίνηση με αντίθετες φορές περιστροφής, όπως φαίνεται στο σχή μα (1). Να εξετάσετε την κίνηση του δοκαριού, αν την στιγμή t=0 το κέντρο του βρίσκεται σε απόσταση x₀ από το μέσο Ο της διακέντρου Ο₁Ο₂ και έχει μηδενική ταχύτητα.

ii) Τι είδους κίνηση θα εκτελέσει το δοκάρι αν οι δύο κύλινδροι στρέφονται ομόρροπα κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού (σχ. 2);

Δίνονται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ μεταξύ του δοκαριού και η επιτάχυσνη g της βαρύτητας.

Απάντηση:

Μια διαφορετική άσκηση στο στερεό σώμα

Μια νέα ανάρτηση από τον φίλο Πάνο Μουστάκα:

Μελετώντας πριν μερικές ημέρες την εξαιρετική εργασία του Φυσικού Γιάννη Κυριακόπουλου

“Αδρανειακές δυνάμεις επί στερεών σωμάτων’’

σκέφθηκα ότι, ενεργώντας ως μη αδρανειακός παρατηρητής, μπορώ να αναδείξω ποσοτικά, δηλαδή χωρίς να χρησιμοποιήσω αναλυτική φυσική σκέψη, την εμφάνιση ροπής πακτώσεως σε στερεό σώμα που έχει εισχωρήσει σε κάποιο άλλο στερεό, ετσι ώστε να είναι απαγορευμένη κάθε σχετική κίνηση του ενός ως προς το άλλο. Για τον σκοπό αυτόν διάλεξα ένα παράδειγμα πακτωμένης ράβδου εντός μιας βαρειάς πλάκας που ολισθαίνει προς τα κάτω επί κεκλιμένου επιπέδου, όπου προσπαθώ να αποδείξω ότι η αντίδραση που δέχεται η ράβδος από την πλάκα στην περιοχή της πακτώσεως δεν εκφράζεται με μια δύναμη, αλλά εμπλέκεται και μηχανική ροπή επί της ράβδου, η λεγόμενη ροπή πακτώσεως. Η προσπάθειά μου ολοκληρώνεται με μια σύντομη περιγ ραφή του φαινομένου της πακτώσεως στερεού, όπου με φυσική πλέον σκέψη περιγ ράφω γιατί η αντίδραση επί του στερεού λόγω της πακτώσεώς έχει δυικό χαρακτήρα, δηλαδή εκδηλώνεται με την εμφάνιση δύναμης και ροπής. Όλα τα παραπάνω περιέ χονται στο άρχείο pdf που φέρει τον τίτλο:

Μια διαφορετική άσκηση στο στερεό σώμα

P.M. fysikos

ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΠΙ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

Σε προηγούμενη ανάρτηση http://ylikonet.gr/profiles/blogs/d-alembert-coriolis-eulrer

είχαν ειπωθεί ολίγα περί αδρανειακών ή, αν δεν σας στενοχωρεί ο όρος, φανταστικών δυνάμεων.

Ποια είναι η δράση τους σε ένα στερεό σώμα;

Θα επιχειρήσω μια απλοϊκή περιγραφή με όσο λιγότερα Μαθηματικά γίνεται. Αυτό δεν είναι φυσικά δυνατόν να καλύψει παρά μόνο κάποιες «στημένες» περιπτώσεις. Μην νομίσουμε ότι μπορούμε πάντοτε να παρακάμπτουμε τα μαθηματικά.

Συνέχεια:

Ολοκλήρωμα ανεξάρτητο της τροχιάς (Συντηρητική δύναμη)

 Μια "κωδικοποίηση":

Ολοκλήρωμα ανεξάρτητο της τροχιάς (Συντηρητική δύναμη).

Μηδενικός στροβιλισμός και συντηρητικό πεδίο

      Όταν ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό, τότε ο στροβιλισμός της δύναμης είναι ίσος με το μηδέν. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα του Stokes (ή του Green, αν είμαστε στο επίπεδο). Το ερώτημα είναι: Αν γνωρίζουμε ότι ο στροβιλισμός της δύναμης είναι μηδέν, μπορούμε να πούμε (με βεβαιότητα) ότι το πεδίο είναι συντηρητικό;   

     Θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στο ερώτημα με τη βοήθεια ενός παραδείγματος:   

 Μηδενικός στροβιλισμός και συντηρητικό πεδίο 

Ένα περίεργο πεδίο βαρύτητας

Αρχείο pdf:  Ένα περίεργο πεδίο βαρύτητας

Λίγα για την ακτινοβολία Hawking (Hawking radiation)

     

       Πρόκειται για ακτινοβολία που εκπέμπεται από μια μαύρη τρύπα και είναι αποτέλεσμα κβαντομηχανικών διεργασιών. Θεωρητικά επιχειρήματα για την ύπαρξη και την προέλευσή της, έδωσε για πρώτη φορά στα 1974 ο Stephen Hawking. Το ισχυρό βαρυτικό πεδίο της μαύρης τρύπας, κοντά στην περιοχή του ορίζοντα γεγονότων, προκαλεί τη δημιουργία ζεύγους σωματιδίου-αντισωματιδίου. Ένα μέλος του  κάθε ζεύγους (το σωματίδιο ή το αντισωματίδιο) «πέφτει» μέσα στη μαύρη τρύπα, ενώ το άλλο διαφεύγει. Έτσι για έναν εξωτερικό παρατηρητή, η μαύρη τρύπα φαίνεται ότι εκπέμπει ακτινοβολία (ακτινοβολία Hawking)...

 Λίγα για την ακτινοβολία Hawking (Hawking radiation)