Δευτέρα, 1 Ιουνίου 2015

Ολίσθηση σφαίρας σε ημισφαίριο

Από το χείλος ενός στερεωμένου ημισφαιρίου, μια σφαίρα ακτίνας r αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί όπως στο σχήμα

Στην αρχή η κίνηση της σφαίρας είναι ολίσθηση και κάποια στιγμή μετατρέπεται σε κύλιση χωρίς ολίσθηση.
Να αποδείξετε ότι, για αρκούντως μεγάλες τιμές του συντελεστή τριβής μεταξύ των υλικών της σφαίρας και του ημισφαιρίου,  η ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική είναι αμελητέα.
Εισαγωγή
Η διερεύνηση του παραπάνω προβλήματος γίνεται με αφορμή το θέμα Δ1 των πανελλαδικών εξετάσεων του 2015.
Είναι γνωστό ότι, ανεξαρτήτως της τιμής του συντελεστή τριβής, αφήνοντας την σφαίρα στο σημείο Α, υπάρχει ένα χρονικό διάστημα στο οποίο η σφαίρα ολισθαίνει μέχρι να ικανοποιηθεί η συνθήκη κύλισης υcmr.
Διαισθητικά περιμένουμε ότι αυξανομένου του συντελεστή τριβής το χρονικό διάστημα και το διανυόμενο τόξο αποκατάστασης τείνουν στο μηδέν καθιστώντας το μοντέλο «από την πρώτη στιγμή κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει» σχεδόν αποδεκτό.

Υπάρχει ένας προβληματισμός σχετικά με την ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική κατά την διάρκεια της αποκατάστασης: Αυξανομένου του συντελεστή τριβής αυξάνεται το μέτρο της τριβής και μειώνεται το μήκος του διανυόμενου τόξου. Από πρώτη ματιά είναι απροσδιόριστο το γινόμενο τριβή x απόσταση.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου