Μεταβολή και Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής.

Στην προηγούμενη ανάρτηση με τίτλο Στροφορμή, είχαμε ορίσει την στροφορμή υλικού σημείου ως προς σημείο Ο, από την σχέση:

Έστω τώρα ότι πάνω σε ένα υλικό σημείο που κινείται σε οριζόντιο επίπεδο, ασκείται (συνισταμένη) δύναμη F, πάνω στο ίδιο επίπεδο, όπως στο σχήμα. Η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς το σημείο Ο, φαίνεται στο σχήμα. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής αυτής της στροφορμής;

Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση παίρνουμε:

Δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ενός υλικού σημείου, ως προς ένα σημείο Ο, είναι ίσος με την ροπή της δύναμης που ασκείται πάνω του, ως προς το Ο.


Εφαρμογή 1η:
Από σημείο Ο σε ύψος Η=20m, εκτοξεύεται για t=0 οριζόντια ένα μικρό σώμα, μάζας m=0,1kg με αρχική ταχύτητα υ₀=10m/s. Για τη χρονική στιγμή t₁=1s, ζητούνται:
α) Η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος ως προς το Ο.
Δίνεται g=10m/s².


Απάντηση:


Για την οριζόντια βολή και για τις κινήσεις πάνω στους άξονες x και y, του διπλανού σχήματος, ισχύουν οι εξισώσεις:
υ_x= υ₀ , υ_y=g∙t, x=υ₀∙t και y= ½ gt².
Έτσι για t=1s παίρνουμε:
υ_y= 10m/s, x=10m και y=5m.
Οπότε το σώμα έχει φτάσει στο σημείο Α με ταχύτητα μέτρου υ=10√2m/s που σχηματίζει γωνία θ=45° με την οριζόντια διεύθυνση.
Ποια είναι η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο;
Είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο της τροχιάς (επίπεδο της σελίδας) με φορά προς τα μέσα και μέτρο:

L= mυr∙ημφ

Όπου φ η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων r και υ.
Αλλά με βάση το σχήμα ημφ= d/r έχουμε:

L=mυd

Όπου d η απόσταση του φορέα της ταχύτητας στο σημείο Α, από το σημείο Ο.
Αλλά με βάση τη Γεωμετρία, το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, ενώ (ΓΔ)=(ΔΑ)=y=5m συνεπώς και (ΟΓ)=5m, οπότε d²+d²=(OΓ)² άρα d=5/√2m και με αντικατάσταση στην (1) L=5 kgm²/s.
Έχει φασαρία;
Ας το ξαναδοκιμάσουμε:


Η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς το Ο, είναι το διανυσματικό άθροισμα της στροφορμής εξαιτίας της ταχύτητας υ_x και της στροφορμής εξαιτίας της υ_y. Όπου και οι δύο αυτές συνιστώσες είναι κάθετες στο επίπεδο, η L_x θετική, ενώ η L_y αρνητική:

Άρα L=mυ_xy – mυ_yx

Και με αντικατάσταση L=5kgm²/s.

Αλλά και με λίγα περισσότερα Μαθηματικά:

Όπου υ_y= - 10m/s και y= -5m και με αντικατάσταση L=-5z kgm²/s.
To τελευταίο αποτέλεσμα μας λέει ότι το διάνυσμα της στροφορμής είναι κάθετο στο επίπεδο (άξονας z) και με φορά προς τα μέσα.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος ως προς το σημείο Ο είναι:

dL/dt= -w∙x = -mgx

και με αντικατάσταση dL/dt= -10kgm²/s².
Και αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στο επίπεδο με φορά προς τα μέσα.


Εφαρμογή 2^η:
Ένα υλικό σημείο μάζας 0,2kg κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους l=√2m.

Εκτρέπουμε το σώμα φέρνοντάς το στη θέση Α, όπου το νήμα σχηματίζει γωνία θ=45° με την κατακόρυφο και το αφήνουμε να κινηθεί. Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος, ως προς άκρο Ο του νήματος.
Δίνεται g=10m/s².


Απάντηση:


Το σώμα θα εκτελέσει επιταχυνόμενη κυκλική κίνηση με κέντρο το Ο και ακτίνα l και ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής, θα είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς, με φορά προς τα έξω και μέτρο:

dL/dt=Στ_Ο=+mgd=mgl∙ημθ

και με αντικατάσταση dL/dt=2kgm²/s².


Εφαρμογή 3^η:
Το σώμα της προηγούμενη εφαρμογής από τη θέση Α εκτοξεύεται με οριζόντια ταχύτητα, τέτοια ώστε να διαγράφει οριζόντια κυκλική τροχιά ακτίνας r=d=1m (οπότε το νήμα διαγράφει την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου).
Ζητούνται:
α) Η ταχύτητα υ.
β) Η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο.
γ) Η προβολή της στροφορμής του σώματος πάνω στον κατακόρυφο άξονα z που περνά από το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς (η στροφορμή κατά τον άξονα z).
δ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ως προς το Ο.



Απάντηση:


α) Με βάση το διπλανό σχήμα έχουμε:

ΣF_y=0 → T συνθ=mg (1)

ΣF_x=mυ²/r → Τημθ = mυ²/r (2)

Από (1) και (2) παίρνουμε:

Και με αντικατάσταση:

β) Για την θέση του σώματος που φαίνεται στο σχήμα, η στροφορμή είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζει η ταχύτητα και το νήμα, οπότε σχηματίζει γωνία θ=45° με την κατακόρυφο που περνά από το Ο. Για το μέτρο της έχουμε L=mυl=0,4√5kgm²/s.
Καθώς το σώμα περιστρέφεται και το διάνυσμα της στροφορμής στρέφεται διαγράφοντας την παράπλευρη επιφάνεια ενός κατακορυφήν κώνου, αυτού που διαγράφει το νήμα.

γ) Η κατακόρυφη συνιστώσα της στροφορμής^* με βάση το σχήμα της προηγούμενης ερώτησης είναι:

^*Αν υπολογίσουμε την στροφορμή του σώματος ως προς το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς του διαγραφόμενου κύκλου θα έχουμε:

Βλέπουμε δηλαδή ότι ως προς οποιοδήποτε σημείο του άξονα z που είναι κάθετος στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς, στο κέντρο του κύκλου, η κατακόρυφη στροφορμή, είναι όση και η στροφορμή ως προς το κέντρο του κύκλου Κ.


δ) Για τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής ως προς το σημείο Ο έχουμε:

dL/dt=Στ= mgd

και με αντικατάσταση dL/dt=2kgm²/s².
Με διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζει η διεύθυνση του βάρους (κατακόρυφη) και το σημείο Ο, συνεπώς οριζόντια διεύθυνση.


Σχόλια:


1) Η στροφορμή του σώματος μεταβάλλεται, αφού αλλάζει κατεύθυνση, παρότι διατηρεί σταθερό το μέτρο της. Η συνιστώσα όμως της στροφορμής πάνω στον άξονα z, γύρω από τον οποίο στρέφεται το στερεό, δεν μεταβάλλεται. Μεταβάλλεται μόνο η οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής, αφού διαγράφει οριζόντιο κύκλο.
Πράγματι ας δούμε τον κύκλο που διαγράφει η οριζόντια συνιστώσα.
Αν για t=0 η οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής είναι η L₁, μετά από χρόνο dt θα έχουμε

Και επειδή dt→0 και dφ→0, οπότε το διάνυσμα της μεταβολής της στροφορμής dL είναι κάθετο στο διάνυσμα L₁, δηλαδή με άλλα λόγια η μεταβολή της στροφορμής (που έχει την κατεύθυνση της ροπής) είναι πάντα κάθετη στην οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής, μεταβάλλοντας την κατεύθυνσή της και όχι το μέτρο της, όπως η κεντρομόλος δύναμη μεταβάλλει την κατεύθυνση της ταχύτητας αλλά όχι το μέτρο της.


2) Αν συγκρίνουμε το αποτέλεσμα της εφαρμογής 2 με αυτό της εφαρμογής 3δ, παρατηρούμε ότι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε τον ίδιο ρυθμό μεταβολής της στροφορμής, πράγμα αναμενόμενο αφού στο σώμα ασκείται η ίδια ροπή (του βάρους). Και όμως στην πρώτη περίπτωση το σώμα κινείται προς τα κάτω διαγράφοντας κατακόρυφο κύκλο, ενώ στην δεύτερη περίπτωση δεν συμβαίνει αυτό, αφού ο διαγραφόμενος κύκλος είναι οριζόντιος.


3) Ας μεταφέρουμε το παραπάνω συμπέρασμα, σε μια ρόδα ποδηλάτου. Αν την αφήσουμε όρθια και ακίνητη εξαιτίας της ροπής^* του ζεύγους βάρος-κάθετη αντίδραση του επιπέδου, εκτρέπεται και πέφτει.
Αν όμως κινείται, πράγμα που σημαίνει ότι έχει στροφορμή οριζόντια, η αντίστοιχη ροπή του ζεύγους, θα προκαλέσει μια οριζόντια μεταβολή dL κάθετη στην αρχική στροφορμή, με αποτέλεσμα η ρόδα να «στρίβει» λίγο, χωρίς όμως να ανατρέπεται.

^* Η ρόδα θα πέσει αν εκτραπεί ελάχιστα από την κατακόρυφη θέση, η οποία είναι μια θέση ασταθούς ισορροπίας.

dmargaris@sch.gr

Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf