Η ταλάντωση ενός συστήματος

 Στην προηγούμενη ανάρτηση «Μια κρούση και δυο «κρούσεις» …» υπήρχε ένα ερώτημα για καθηγητές.

Ώρα να απαντηθεί σε μια ανεξάρτητη εκδοχή … 

Η Άσκηση:

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο σώματα Α και Β, με μάζες m1=1kg και m2=2kg, δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=24Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του l0=0,6m. Σε μια στιγμή t=0, λόγω κρούσης το σώμα Α αποκτά ταχύτητα μέτρου υ=1,8m/s, με κατεύθυνση προς το σώμα Β.

i) Να μελετηθεί η κίνηση του συστήματος.

ii) Να βρεθούν οι  συναρτήσεις υ=f(t) για τις ταχύτητες των δύο σωμάτων σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις.

iii) Να βρεθεί η μετατόπιση του σώματος Α, τη χρονική στιγμή t1=61π/36 s.

Απάντηση:

ή

Η ταλάντωση ενός συστήματος

Η ταλάντωση ενός συστήματος

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

 

Η διαφορική εξίσωση στο κύκλωμα LC, όπως αυτό της ανάρτησης «Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή», είναι: 

Η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα:

Η εξίσωση αυτή είναι 2ης  τάξης, μη ομογενής, αφού έχει μη μηδενικό 2ο μέλος.

Λύνουμε την αντίστοιχη ομογενή…

Διαβάστε τη συνέχεια:

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή.

  

Σαν συνέχεια της ανάρτησης «φόρτιση  πυκνωτή», ας αντικαταστήσουμε τον αντιστάτη από ένα πηνίο, αρχικά ιδανικό και στη συνέχεια με ένα πηνίου που έχει κάποια αντίσταση R.

Εφαρμογή 1^η:

Στο διπλανό κύκλωμα το ιδανικό πηνίο έχει αυτεπαγωγή L=2mΗ και ο αφόρτιστος πυκνωτής χωρητικότητα C=20μF, ενώ η ιδανική πηγή έχει ΗΕΔ Ε=10V. Σε μια στιγμή κλείνουμε το διακόπτη. 

Να βρεθούν σε συνάρτηση με το χρόνο:

   i)    Το φορτίο του πυκνωτή.

   ii)   Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.

 Ποιες οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις;

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή.

Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή.

Geo

Πάμε να αλλάξουμε ξανά την πηγή;

 

Επανερχόμαστε στο κύκλωμα της ανάρτησης «Δύο χρονοκυκλώματα μαζί!» αλλά τώρα η πηγή τροφοδοσίας είναι ένας εναλλακτήρας η στιγμιαία τάση του οποίου δίνεται από την εξίσωση υ=80√2ημ(1000t) (S.I.). Δίνονται για το κύκλωμα R₁=R₂=R=40Ω, C=25μF, ενώ το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,04Η.

i)  Να βρεθεί η εξίσωση i=f(t) της έντασης του ρεύματος που διαρρέει κάθε κλάδο του κυκλώματος.

ii) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς του ηλεκτρικού ρεύματος, που διαρρέει το κύκλωμα.

iii) Να υπολογιστούν η μέγιστη ενέργεια που αποθηκεύεται στον πυκνωτή και στο πηνίο.

iv) Υποστηρίζεται η άποψη ότι «τη στιγμή που η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι μέγιστη, η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι μηδενική και αντίστροφα». Να εξετάσετε την ορθότητα της άποψης αυτής.

Απάντηση:

ή

Αλλάζουμε ξανά την πηγή

Αλλάζουμε ξανά την πηγή

Δύο χρονοκυκλώματα μαζί!

  

Για το διπλανό κύκλωμα δίνονται Ε=20V, C=5μF, ενώ ο διακόπτης δ είναι ανοικτός. Κλείνουμε το διακόπτη για t=0 και παρατηρούμε ότι το αμπερόμετρο δείχνει σταθερή ένδειξη Ι=0,2Α.

i)  Να σχεδιάστε δύο ποιοτικά διαγράμματα για τις εντάσεις των ρευμάτων που διαρρέουν τις δυο αντιστάσεις, σε συνάρτηση με το χρόνο.

ii) Να υπολογίσετε τις αντιστάσεις R₁ και R₂.

iii) Σε μια στιγμή t₁ ο πυκνωτής φέρει φορτίο q₁=40μC. Για τη στιγμή αυτή:

α) Να βρεθούν οι εντάσεις των ρευμάτων που  διαρρέουν τους κλάδους του κυκλώματος.

β) Πόση είναι η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή που αναπτύσσεται στο ιδανικό πηνίο;

iv) Αν ο χρόνος φόρτισης του πυκνωτή είναι (πρακτικά) ίσος με 5R₁C, ενώ ο χρόνος σταθεροποίησης του ρεύματος στο πηνίο, είναι (πρακτικά) ίσος με 5 L/R₂, να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο τη στιγμή t₁.

Απάντηση:

ή

Δύο χρονοκυκλώματα μαζί!

Δύο χρονοκυκλώματα μαζί!

files  και  yl2

Ίδιο κύκλωμα, διαφορετική πηγή.

 Σαν συνέχεια της πρόσφατης ανάρτησης «Αντί για ένα πηνίο, ένας πυκνωτής», όπου μελετήθηκε το πρώτο κύκλωμα αριστερά, όταν τροφοδοτείται από μια πηγή συνεχούς τάσης, ας δούμε το ίδιο κύκλωμα, δεξιά, όταν συνδέεται με μια εναλλασσόμενη τάση.       

Έστω λοιπόν ότι για το κύκλωμα του σχήματος δίνονται R₁=5Ω, R₂=10Ω, ο πυκνωτής έχει εμπέδηση Ζ_c=5√3Ω, ενώ η τάση του εναλλακτήρα δίνεται από την εξίσωση υ=20ημ(400t)  (μονάδες στο S.Ι.).

i)  Να βρεθεί η εξίσωση i=f(t) της έντασης του ρεύματος που διαρρέει κάθε κλάδο του κυκλώματος.

ii) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς του ηλεκτρικού ρεύματος, που διαρρέει το κύκλωμα.

iii) Να υπολογιστεί η στιγμιαία ισχύς του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t₁=13π/1200 s.

Απάντηση:

ή

Ίδιο κύκλωμα, διαφορετική πηγή.

Ίδιο κύκλωμα, διαφορετική πηγή.

geo docx