Απόδειξη σε L-C1-C2 ότι κάνει αρμονική ταλάντωση

Το παρακάτω κύκλωμα αποτελείται από:

-Iδανική πηγή με ΗΕΔ Ε=10V

-Ιδανικούς πυκνωτές με χωρητικότητες C₁=2μF και C₂=6μF

-Iδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L=20mH

-Aντιστάτη ωμικής αντίστασης R=10Ω

 

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΕ DOC   & PDF                                         

Θα μείνει τεντωμένο το νήμα;

Το κιβώτιο του παρακάτω  σχήματος είναι λείος  κύβος πλευράς 2R μάζας m=1kg και μπορεί να κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι ύψους Η=1,25m εκτελώντας  ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R₁=2m με την βοήθεια oριζόντιου τεντωμένου σκοινιού η  άλλη άκρη του οποίου βρίσκεται δεμένη με δεύτερο σώμα μάζας m₂=5kg που ισορροπεί κατακόρυφα.

Tελείως λεία σφαίρα μάζας Μ=3kg  και ακτίνας R=0,1m τοποθετείτε σε ένα σημείο της περιφέρειας της κυκλικής τροχιάς που εκτελεί το σώμα μάζας m₁ με κατάλληλη αρχική γωνιακή ταχύτητα παράλληλη προς το επίπεδο του τραπεζιού και με φορά προς το κέντρο του κύκλου. Κάποια στιγμή τα δύο σώματα συγκρούονται ακαριαία  κεντρικά και ελαστικά. Αν μετά την κρούση των δύο σωμάτων η σφαίρα κυλιέται χωρίς να ολισθαίνει  και το νήμα είναι συνεχώς τεντωμένο να βρεθούν:

A)Το μέτρο της αρχικής ταχύτητας του κύβου.

Β)Το μέτρο της αρχικής γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας

Γ)H αρχική επιτάχυνση θα κινηθεί αμέσως μετά την κρούση το σώμα μάζας m₂ ;

Δ)H  μέγιστη ταχύτητα   του σώματος μάζας m₂ κατά την πτώση του

Ε)Ποια η τελική κινητική ενέργεια της σφαίρας λίγο πριν χτυπήσει στο έδαφος.

Για την σφαίρα Ιcm=0,4MR².

AΠΑΝΤΗΣΗ

Τροχαλία στόκος και ταλάντωση.

Mία τροχαλία μάζας Μ=2Kg και ακτίνας R=1m  μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα. Στο χαμηλότερο σημείο της τροχαλίας είναι κολλημένο σημειακό σώμα μάζας Μ₁. Μέσω κατακόρυφου μη εκτατού νήματος  που είναι περασμένο στην τροχαλία είναι δεμένο σώμα μάζας Μ₂=1kg  όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

 Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο χωρίς αρχική ταχύτητα με το νήμα τεντωμένο και κατακόρυφο. Να βρεθούν:

Α) Η σχέση που πρέπει να έχουν οι μάζες Μ₂ και Μ₁ για να μπορέσει τελικά το σώμα μάζας Μ₁ να διαγράψει γωνία θ=90^ο μέχρι να σταματήσει στιγμιαία.

Β) Να  βρεθεί η διαφορική εξίσωση  που περιγράφει την κίνηση του συστήματος. Το σώμα μάζας Μ₂ εκτελεί γ.α.τ.;

Γ) Να εκφράσετε την ταχύτητα του σώματος με μάζα Μ₂ σε συνάρτηση  με την μετατόπισή της.

Για την τροχαλία δίνεται Ι_cm=0,5MR².

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Χρονοκύκλωμα με κατάληξη LC

Δύο άπειροι αγωγοί xx΄ και ψψ΄ χωρίς αντίσταση είναι παράλληλα τοποθετημένοι μεταξύ τους και κάθετα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β=1Τ και απέχουν μεταξύ τους απόσταση L=1m. Αγωγός ΚΛ αμελητέας εσωτερικής αντίστασης και μήκους L=1m μπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω στους  άπειρους αγωγούς με ταχύτητα παράλληλη σε αυτούς τους αγωγούς. Στα άκρα xψ συνδέουμε σε σειρά μία ωμική αντίσταση R=10Ω και ιδανικό πυκνωτή χωρητικότητας C=10^-2F.Σε μία θέση λίγο πιο πέρα συνδέουμε μία όμοια ωμική αντίσταση R=10Ω και ένα ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L =1Η όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

Ο πυκνωτής και το πηνίο συνδέονται μέσω των μεταγωγών (1) και (2) που μπορούν να μεταφερθούν αυτόματα στην θέση (3).

Τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε τον αγωγό ΚΛ με αρχική ταχύτητα Uo=10  m/s και ταυτόχρονα ασκούμε σταθερή δύναμη F=1 N.

Α)Nα αποδείξετε  ότι ο αγωγός θα εκτελεί ομαλή κίνηση .

Την χρονική στιγμή t=1sec  οι μεταγωγοί (1) και (2) μεταφέρονται στην θέση (3) αυτόματα και χωρίς απώλεια ενέργειας και εκείνη την στιγμή καταργείται η δύναμη F.

Β)Nα βρεθεί τι ποσοστό του έργου της δύναμης έγινε θερμότητα πάνω στις αντιστάσεις.

Γ)Ποια η ολική ενέργεια του κυκλώματος LC που δημιουργηθεί μετά την μεταφορά των μεταγωγών στη θέση (3)

Δ)Να γίνει ποιοτικά η γραφική παράσταση του φορτίου του πυκνωτή.

 ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ένα χρονοκύκλωμα

Δύο άπειροι αγωγοί xx΄ και ψψ΄ χωρίς αντίσταση είναι παράλληλα τοποθετημένοι μεταξύ τους και κάθετα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β=1Τ και απέχουν μεταξύ τους απόσταση L=1m.Αγωγός ΚΛ αμελητέας εσωτερικής αντίστασης και μήκους L=1m μπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω στους  άπειρους αγωγούς με ταχύτητα παράλληλη σε αυτούς τους αγωγούς. Στα άκρα xψ συνδέουμε σε σειρά μία ωμική αντίσταση R και ιδανικό πυκνωτή χωρητικότητας C. Σε μία θέση λίγο πιο πέρα συνδέουμε μία όμοια ωμική αντίσταση R και ένα ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L  όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

Τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε τον αγωγό ΚΛ με αρχική ταχύτητα Uo=10  m/s και ταυτόχρονα ασκούμε σταθερή δύναμη F=1 N.Παρατηρούμε ότι ο αγωγός ΚΛ εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Να βρεθούν:

Α) Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό ΚΛ .

Β) Η σχέση που πρέπει να συνδέουν την ωμική αντίσταση των αντιστατών του κυκλώματος με την χωρητικότητα  του πυκνωτή και τον συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου για να εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ο αγωγός ΚΛ.

Γ)  Αν η μάζα του αγωγού ΚΛ είναι m=1Kg   και ο συντελεστής αυτεπαγωγής είναι L=1H και μετά από αρκετό χρονικό διάστημα η δύναμη F καταργηθεί να βρεθεί η συνολική θερμότητα που θα παραχθεί στο κύκλωμα μετά την κατάργηση της δύναμης F.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μισό-μισό.

Ομογενής ράβδος μήκους l και μάζας M είναι αναρτημένη από οριζόντιο άξονα Α, γύρω από τον οποίο μπορεί να περιστραφεί από κατακόρυφο επίπεδο. Στον ίδιο άξονα Α είναι δεμένο αβαρές νήμα με το ίδιο μήκος l, στο άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σφαιρίδιο μάζας m .Αρχικά το νήμα είναι τεντωμένο στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο και το σφαιρίδιο βρίσκεται σε  πολύ  μικρό ύψος h πάνω από το κατώτερο σημείο της ράβδου. Στη συνέχεια το σφαιρίδιο αφήνεται ελεύθερο και προσκρούει στο άκρο της ράβδου και συγκρούεται με αυτή ελαστικά. Μετά την κρούση το σφαιρίδιο ακινητοποιείται. Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες.

Α)Ποια η σχέση των μαζών του σφαιριδίου και της ράβδου για επαναλαμβάνεται το γεγονός αυτό περιοδικά;

B) Ποια η περίοδος του παραπάνω φαινομένου.

Δίνεται για την ράβδο Ia=1/3 Mℓ²

Απάντηση:

Κύλιση σε Μαγνητικό πεδίο.

To παραπάνω σχήμα αποτελείται  από δύο αγώγιμους χωρίς αντίσταση  ομογενείς λεπτότατους   δίσκους μάζας m=1Kg και  ακτίνας R που συνδέονται μεταξύ τους με λεπτότατη αγώγιμη  οριζόντια ράβδο χωρίς αντίσταση  μήκους L=1m που διέρχεται από το κέντρο των δύο δίσκων και είναι συγκολλημένο με αυτό .Το όλο σύστημα  μπορεί  να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε δύο αμελητέας ωμικής αντίστασης  ατσάλινα άκαμπτα σύρματα που σχηματίζουν γωνία κλίσης φ=30^ο με το οριζόντιο επίπεδο και στο κάτω άκρο τους είναι συνδεδεμένα με ωμική αντίσταση R₁=3Ω.Το όλο σύστημα βρίσκεται μέσα σε κατακόρυφο μαγνητικό πεδίο μαγνητικής επαγωγής Β=1Τ. Αν το μήκος των άκαμπτων συρμάτων είναι αρκετά μεγάλο και το σύστημα αφεθεί ελεύθερο  χωρίς αρχική ταχύτητα να βρεθούν:

A) To είδος της κίνησης που θα εκτελέσει το σύστημα

Β) Η μέγιστη κινητική ενέργεια του συστήματος

Γ) Ο τελικός ρυθμός μεταβολής δυναμικής ενέργειας του συστήματος

Για τον κάθε  δίσκο  I_cm= ½ mR². Nα υποτεθεί ότι οι δύο λεπτοί δίσκου βρίσκονται εκτός μαγνητικού πεδίου.

Απάντηση:

Μια πραγματικά σύνθετη άσκηση για καθηγητές

Η παραπάνω άσκηση ξεκίνησε από εδώ : http://ylikonet.blogspot.com/2010/02/blog-post_7503.html

Σκαλίζοντάς την δεν μου άρεσε ο χρόνος που έγινε η κρούση σε σχέση με την αντίστοιχη στιγμή που έστειλε η πηγή των κυμάτων το αντίστοιχο κύμα.Πρέπει λοιπόν, αν θέλουμε να είμαστε ακριβείς στην περίπτωση που η πηγή επιταχύνεται στο φαινόμενο Doppler  να γνωρίζουμε την ταχύτητα της πηγής την στιγμή που εκπέμπει το κύμα και όχι όταν αυτό έχει φτάσει στον ανιχνευτή.Bέβαια στην συγκεκριμένη άσκηση το τελικό αποτέλεσμα δεν διαφέρει και πολύ από το αρχικό αποτέλεσμα γιατί οι αποστάσεις είναι σχετικά μικρές.

 Διαβάστε τη συνέχεια από εδώ.

Και αν αφαιρεθεί το καρφί; Μια λύση με την βοήθεια του προγράμματος mathematica

Ομογενής και ισοπαχής ράβδος μάζας Μ=3Κg και μήκους  L=1m μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο  καρφί   Ο που βρίσκεται στο ένα του άκρο όπως στο παρακάτω σχήμα

Στο άλλο άκρο της ράβδου ασκείται  μεταβλητή  δύναμη F κάθετη πάντα στην ράβδο της οποίας το μέτρο μεταβάλλεται σύμφωνα με την σχέση F=112θ/π² (S.I.) όπου θ η γωνία που θα διαγράφει η ράβδος σε σχέση με την αρχική  οριζόντια θέση. Αν η ράβδος αφεθεί ελεύθερη από την οριζόντια θέση να βρεθούν:

Α)  Η γωνιακή ταχύτητα  της ράβδου όταν η ράβδος έχει διαγράψει γωνία 90^ο  σε σχέση με την αρχική της θέση.

 Β) Ποια η σχέση που θα μπορούσε να δίνει τη  γωνία για την οποία η ράβδος έχει αποκτήσει μέγιστη κινητική ενέργεια για πρώτη φορά μετά την εκκίνησή της.

Την στιγμή  t=0 που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη η δύναμη F καταργείται και αφαιρείται  ακαριαία το οριζόντιο καρφί που βρίσκεται στο σημείο Ο.

Γ)  Πόση είναι  το μέτρο της   γωνιακής ταχύτητας  της ράβδου μετά την αφαίρεση του καρφιού.

Δ)  Τι είδους κίνηση θα εκτελέσει η ράβδος και πόση η συνολική του κινητική ενέργεια την στιγμή t=1s.

Για την ράβδο Ιcm=1/12∙M∙L²

Απάντηση: