Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο

Το πρόβλημα της δημιουργίας στάσιμου κύματος, πάνω σε μια χορδή με πακτωμένο το ένα της άκρο, όταν το άλλο άκρο τίθεται σε εγκάρσια ταλάντωση, είναι ίσως ένα από τα θέματα που μας έχουν απασχολήσει περισσότερο τα χρόνια ύπαρξης του δικτύου μας. Με πάμπολλες μελέτες αλλά κυρίως συζητήσεις και αντεγκλήσεις. Δημιουργείται πάντα στάσιμο κύμα ή όχι; Είναι σωστές οι εξισώσεις του σχολικού ή χρειάζονται τροποποιήσεις; Τι δημιουργείται στη θέση της πηγής; Δεσμός ή κοιλία; Ή κάτι άλλο;

Ο Γιάννης Κυριακόπουλος έχει επιμείνει (μέχρι και που ο ίδιος μίλησε για εμμονή…), σε πάμπολλες αφορμές, ότι έχουμε πάντα δημιουργία στάσιμου κύματος και μάλιστα το πλάτος του στάσιμου δεν έχει να κάνει καθόλου με αυτό που  διδάσκουμε, δηλαδή ότι στις κοιλίες έχουμε πλάτος 2 Α, όπου Α το πλάτος της πηγής.

Έτσι για παράδειγμα μπορείτε να  διαβάσετε εδώ τις θέσεις του και να δείτε εικόνες με στάσιμα, που τον επιβεβαιώνουν.

Προβλήματα στην διδασκαλία και κατανόηση των στασίμων κυμάτων.

Το προηγούμενο καλοκαίρι, ξεκίνησα μια σειρά άρθρων με πρώτο το «Ενέργεια – ορμή κύματος» στηριζόμενος στις παραδόσεις του Κωνσταντίνου Ευταξία στο ΕΚΠΑ. Ας πιάσουμε λοιπόν το νήμα από εκεί που το αφήσαμε, κάνοντας μια προσπάθεια να ξεδιαλύνουμε κάποια σημεία στα στάσιμα κύματα, μιλώντας όσο γίνεται, λιγότερο για μαθηματικά και περισσότερο  για Φυσική. Ας δούμε λοιπόν κάποιες όψεις, καλοκαίρι έχουμε, μπορούμε να …ασχοληθούμε λίγο!

Κύμα και στάσιμο κύμα σε χορδή. Ποια η διαφορική εξίσωση;

Αναφερόμενοι στα κύματα σε χορδή, συναντάμε τη διαφορική εξίσωση:

Και συνήθως το μυαλό μας την συνδέει με το τρέχον κύμα σε χορδή, πράγμα όχι σωστό. Η παραπάνω εξίσωση αναφέρεται σε ένα στοιχειώδες τμήμα της χορδής, συνδέοντας την καμπυλότητα του τμήματος, με την εγκάρσια επιτάχυνση που αποκτά. Η σωστή γραφή της είναι:

Όπου στην περίπτωση του τρέχοντος κύματος η ποσότητα υ=√(Τ/μ)  μας δίνει την (φασική) ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής (ταχύτητα κύματος). Σε κάθε άλλη περίπτωση μένει μια ποσότητα εξαρτώμενη από την αδράνεια και την ελαστικότητα της χορδής, χωρίς να «λειτουργεί» ως ταχύτητα ενός ανύπαρκτου κύματος.

Αλλά τότε η ίδια διαφορική εξίσωση περιγράφει και το τρέχον κύμα σε χορδή (υποτίθεται απείρου μήκους) και το στάσιμο κύμα ή την ταλάντωση μιας χορδής με σταθερά ή μη άκρα.

Δεν υπάρχει δηλαδή κάποια  διαφορά (στο 2^ο  νόμο του Νεύτωνα…), για την επιτάχυνση ενός τμήματος χορδής, ανάλογα με το τι ακριβώς συμβαίνει στη χορδή ή πόσο είναι το μήκος της…

Διαβάστε τη συνέχεια...

ή

 Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο

Οι ενέργειες σε ένα στάσιμο κύμα.

Έστω ότι σε ένα ελαστικό μέσο, μια χορδή, έχει δημιουργηθεί ένα στάσιμο κύμα με εξίσωση:

Όπως αυτό που μελετά το σχολικό βιβλίο.

Κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής θα έχει κινητική ενέργεια, εξαιτίας της ταχύτητας ταλάντωσης και μια δυναμική ενέργεια, εξαιτίας της παραμόρφωσης που υπόκειται.

Με βάση την αντίστοιχη μελέτη πάνω σε ένα τρέχον κύμα, που έγινε στην ανάρτηση «Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα», για τις ενέργειες αυτές θα έχουμε:

Κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής μήκους dx και μάζας m₁=dm=μdx έχει κινητική ενέργεια:

Διαβάστε τη συνέχεια...

ή

Οι ενέργειες σε ένα στάσιμο κύμα.

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε ένα παλμό

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου (μιας χορδής), το οποίο ταυτίζεται με τον άξονα x και από αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ο παλμός του διπλανού σχήματος με ταχύτητα υ.

i) Για τις ταχύτητες στη διεύθυνση y των σημείων Α και Β ισχύει:

α) u_Α < u_Β,    β)  u_Α = u_Β,    γ)  u_Α > u_Β.

ii) Για το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Β ισχύει:

α) u_Β < υ,     β)  u_Β=υ,     γ)  u_Β > υ.

iii) Να σημειώστε πάνω στο σχήμα τις επιταχύνσεις των σημείων Α, Β, Γ και Δ.

iv) Να εξετασθεί αν μπορεί να υπάρξει διάδοση των παρακάτω παλμών, κατά μήκος μιας χορδής.

Δίνεται ότι σε όλες τις περιπτώσεις έχουμε μικρές εγκάρσιες απομακρύνσεις στη διεύθυνση y, με αποτέλεσμα να ισχύει η διαφορική εξίσωση του κύματος.

Απάντηση:

ή

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε ένα παλμό

Η ενέργεια ενός παλμού.

Στην προηγούμενη ανάρτηση «Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.» ασχοληθήκαμε με το τι συμβαίνει με την ενέργεια κατά την διάδοση ενός αρμονικού κύματος σε μια χορδή.

Ας δούμε τώρα τι διαφορετικό έχουμε, αν κατά μήκος μιας τεντωμένης χορδής, η οποία τείνεται με δύναμη F, διαδίδεται ένας τριγωνικό παλμός με ταχύτητα υ=√F/μ.

Για ευκολία στις πράξεις, έστω ότι ο παλμός είναι αυτός του διπλανού σχήματος, ο οποίος διαδίδεται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ=2m/s, ενώ η γραμμική πυκνότητα της χορδής είναι ίση με μ=0,05kg/m, πράγμα που σημαίνει ότι η τάση της χορδής είναι F=μυ²=0,2Ν.

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Η ενέργεια ενός παλμού

Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.

Έστω ότι κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, μιας χορδής, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με εξίσωση:

y=Α∙ημ2π(t/Τ-x/λ)

Η χορδή τείνεται με δύναμη F, έχοντας γραμμική πυκνότητα μ, με αποτέλεσμα η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, κατά μήκος της, να δίνεται από την γνωστή εξίσωση υ=√F/m.

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.

Δημιουργείται ή όχι στάσιμο κύμα;

Μια οριζόντια ελαστική χορδή μήκους ℓ ηρεμεί με όλα της τα σημεία στην θέση ισορροπίας τους.

Η χορδή ταυτίζεται με το διάστημα [0,ℓ] ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων. Το άκρο Γ( x=ℓ) της χορδής είναι ακλόνητα στερεωμένο. Με την βοήθεια ενός ταλαντωτή, την στιγμή t=0 το άκρο Ο αρχίζει να ταλαντώνεται στην διεύθυνση του άξονα y με εξίσωση y_O(t)=Aημ(ωt), με αποτέλεσμα στη χορδή να διαδοθεί εγκάρσιο αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ. Το κύμα αυτό φτάνοντας στο Γ ανακλάται χωρίς απώλειες ενέργειας. Το ανακλώμενο κύμα φτάνει στο Ο όπου ανακλάται ξανά χωρίς απώλειες ενέργειας κ.ο.κ.

Α) Να βρεθεί η εξίσωση του παραγόμενου κύματος

Β) Να εξετάσετε την περίπτωση που το μήκος της χορδής είναι ημιακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος.

Απάντηση σε ή ή σε 

Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων…

Τα κύματα δεν είναι η συνέχεια των ταλαντώσεων, όπως για διδακτικούς λόγους κάνουμε…

1.  Η διάδοση ενός παλμού.

Έστω ότι έχουμε ένα ελαστικό μέσο, π.χ. μια τεντωμένη οριζόντια χορδή. Εκτρέποντας το αριστερό άκρο της για ένα μικρό χρονικό διάστημα κατακόρυφα, μπορούμε να δημιουργήσουμε έναν παλμό, ο οποίος μπορούμε να τον δούμε να διαδίδεται κατά μήκος της χορδής. Τέτοιοι παλμοί φαίνονται στο παρακάτω σχήμα να διαδίδονται προς τα δεξιά πάνω στην χορδή.

Οι παλμοί αυτοί μπορούν να έχουν διάφορες μορφές, όπως π.χ. τριγωνικοί ή και αρμονικοί.

Ας πάρουμε τώρα ένα παλμό όπως στο διπλανό σχήμα, ο οποίος διαδίδεται προς τα δεξιά και στο σχήμα δίνονται δύο θέσεις του που διαφέρουν χρονικά κατά Δt = t₂-t₁.  Ορίζουμε την ταχύτητα διάδοσης του παλμού:

υ=s/Δt

Και αν θέλουμε να δώσουμε μια μαθηματική συνάρτηση για την διάδοση του παλμού αυτού; Αν θέλουμε δηλαδή μια κυματοσυνάρτηση  για να περιγράψουμε τόσο τη μορφή του παλμού, όσο και τη θέση του κάποια στιγμή, τι κάνουμε;

Συνέχεια 

ή

Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων…

Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων…

Πρόβλημα διδακτικής στα κύματα. Εξίσωση και φάση κύματος.

Η παρούσα ανάρτηση έχει αφετηρία προφανώς τη γνωστή συζήτηση:

http://ylikonet.gr/group/themata/forum/topics/3647795:Topic:205877?xg_source=activity

Όταν κολλάω κάπου ξαναπιάνω τα πράγματα από την αρχή.

Θα περιοριστώ σε εγκάρσιο κύμα σε ελαστικό μέσον. Πως παρουσιάζεται σε βιβλία Γενικής Φυσικής και πως σε σχολικά εγχειρίδια. Αντιλαμβανόμαστε φυσικά ότι τα δεύτερα επιβάλλεται να απλοποιήσουν την παρουσίαση χρησιμοποιώντας έννοιες προσιτές σε μαθητές. Μία τέτοια, η πηγή του κύματος, βοήθησε σημαντικά το να παρουσιάσουμε την εξίσωση κύματος αλλά τα προβλήματα που συνοδεύουν το θέμα δημιούργησαν «προβλήματα».

Συνέχεια:

Ένα στάσιμο κύμα με απόσβεση

Θεωρούμε τα επόμενα δύο προβλήματα:

Πρόβλημα 1

Μια χορδή μήκους L είναι στερεωμένη στο ένα άκρο της. Με την βοήθεια ενός ταλαντωτή το άλλο άκρο ταλαντώνεται κάθετα στη διεύθυνση της χορδής με εξίσωση y=Asin(ωt). Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης των σημείων της χορδής από την θέση ισορροπίας τους συναρτήσει του χρόνου μετά την ολοκλήρωση των μεταβατικών φαινομένων. Θεωρήστε ότι δύναμη απόσβεσης σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής είναι ανάλογη της ταχύτητας του και ανάλογη του μήκους του.

Πρόβλημα 2

Μια χορδή μήκους 2L είναι στερεωμένη στα δύο άκρα της. Απομακρύνουμε την χορδή από την θέση ισορροπίας έτσι ώστε τα σημεία της να βρίσκονται επί μιας ημιτονοειδούς καμπύλης και την στιγμή t=0 την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί. Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης των σημείων της χορδής από την θέση ισορροπίας τους συναρτήσει του χρόνου. Θεωρήστε ότι δύναμη απόσβεσης σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής είναι ανάλογη της ταχύτητας του και ανάλογη του μήκους του.

Λύση σε word και σε pdf

Ένα αρμονικό κύμα χωρίς ασυνέχειες και κόχες

Τα κύματα που μελετάμε είναι ανύπαρκτα. Παρουσιάζουν παθολογίες, οι οποίες δεν μπορούν να γίνουν αποδεκτές από έναν Φυσικό. Προεξάρχουσα παθολογία η ασυνέχεια της συνάρτησης v(x,t) στο μέτωπο του κύματος.
Με την παρούσα ανάρτηση προσπαθώ να εξομαλύνω την κατάσταση κάνοντάς τα πιο πραγματικά।

συνέχεια σε  ή  

Η αρχική φάση σε ένα κύμα δεν είναι πάντα αποτέλεσμα χρονικής καθυστέρησης

Θεωρούμε το επόμενο πρόβλημα
Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο ισορροπεί κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Ox ενός συστήματος συντεταγμένων।Απομακρύνουμε τα σημεία του μέσου από την θέση ισορροπίας τους κατά μήκος της καμπύλης

Την στιγμή t=0 τα σημεία του μέσου αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν και ταυτόχρονα η άκρη Ο αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση y=Aσυν(ωt), με αποτέλεσμα στο μέσο να διαδοθεί εγκάρσιο κύμα με ταχύτητα υ.
Αν ισχύει ότι υ=λf να βρεθούν
i) Η εξίσωση του παραγόμενου κύματος
ii) Το στιγμιότυπο τις στιγμές t=T/4, T/2, T
iii) Οι κυματομορφές για τα σημεία x=λ/8, λ/4, λ/2, λ

Η συνέχεια  σε   ή σε 

ΣΤΑΣΙΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Από τη θεωρία στην καθημερινή ζωή

ΣΤΑΣΙΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ .Από τη θεωρια στην καθημερινή ζωή.

Όταν το ελατήριο έχει μάζα

Αφορμή για την παρούσα ανάρτηση ήταν η θέση που διατύπωσε ο Γιάννης ο Κυριακόπουλος όσον αφορά στην συχνότητα ταλάντωσης ενός σώματος, το οποίο είναι δεμένο σε ελατήριο όχι αμελητέας μάζας.
Το συνηθισμένο αποτέλεσμα για την γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του σώματος είναι:
όπου M η μάζα του σώματος, m η μάζα του ελατηρίου και k η σταθερά του ελατηρίου.
Σημαντικός προβληματισμός μου όσον αφορά το αποτέλεσμα αυτό ήταν το γεγονός ότι δεν μπορούσα να επαληθεύσω εκ των υστέρων την σχέση ΣF=-Μω^2x για το σώμα.
Βασική άποψη ήταν ότι πρέπει να μελετήσει κανείς τόσο την κίνηση του σώματος όσο και τα διαμήκη κύματα που διαδίδονται στο ελατήριο.
Η ορθή σχέση για τον θεμελιώδη τρόπο ταλάντωσης είναι:
Στην σύντομη αυτή πραγματεία κατ’ αρχάς εξάγεται (ως υπενθύμιση) η εξίσωση των διαμήκων κυμάτων σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο και εφαρμόζεται στην περίπτωση ενός ελατηρίου.
Στην συνέχεια ανευρίσκονται οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης του συστήματος ελατήριο - μάζα τόσο στην περίπτωση που το ελατήριο είναι οριζόντιο όσο και στην περίπτωση που το ελατήριο είναι κατακόρυφο.
Τέλος εξετάζεται βήμα το βήμα η κίνηση του σώματος.
Είναι εντυπωσιακό (κατά την γνώμη μου) το γεγονός ότι βήμα – βήμα χτίζεται από εκθετικές συναρτήσεις μια σχεδόν περιοδική κίνηση με συχνότητα αυτή του θεμελιώδη τρόπου ταλάντωσης.
Αναλυτικά σε pdf και word

Συμβολή ή διακρότημα;

Έστω δυο πηγές αρμονικού ήχου στις θέσεις x=0 και x₂=6m, ενός ακίνητου συστήματος αναφοράς xΟy, όπως στο σχήμα, όπου στη θέση x₁=1m βρίσκεται ακίνητος ο παρατηρητής Α.

Τη στιγμή t=0 οι δυο πηγές αρχίζουν ταυτόχρονα να ταλαντώνονται με εξίσωση:

y= A∙ημ340πt  (μονάδες στο S.Ι.)

οπότε παράγονται δύο ήχοι που διαδίδονται στη διεύθυνση x, με ταχύτητα υ=340m/s.

(Στα παρακάτω, θα αντιμετωπίσουμε τον ήχο με τις γνωστές εξισώσεις όπως και στα εγκάρσια κύματα, αφού μας είναι πιο οικεία τα πράγματα, παρότι στα διαμήκη τα πράγματα είναι μάλλον αντίστροφα, αφού αυτό που ενδιαφέρει είναι οι μεταβολές της πίεσης και όχι η απομάκρυνση, με αποτέλεσμα π.χ. στους δεσμούς να έχουμε μέγιστο πλάτος. Μπορείτε να δείτε κάτι σχετικό από εδώ.).

Ποιες είναι οι εξισώσεις των κυμάτων που παράγονται; Από την εξίσωση υ=λ∙f, βρίσκουμε:

Η συνέχεια σε pdf.

Προσπαθώντας να κατανοήσουμε τα κύματα.

Το προηγούμενο διάστημα έγιναν αρκετές συζητήσεις, κάτω από αναρτήσεις τις οποίες μπορείτε να διαβάσετε από εδώ, εδώ, εδώ, αλλά και τη συζήτηση «Στάσιμο κύμα απορία μαθητή», με διάφορες αφορμές πάνω στα κύματα, τρέχοντα και στάσιμα. Είναι ώρα λοιπόν νομίζω να κωδικοποιήσουμε κάποια ερωτήματα, προσπαθώντας να καταλήξουμε σε κάποια τελικά συμπεράσματα και να μην πάει χαμένο όλο αυτό το υλικό που αναφέρθηκε. Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους βοήθησαν με τις παρεμβάσεις τους στο να καταλήξουμε  στα συμπεράσματα που αναφέρω παρακάτω. Χωρίς την ανταλλαγή επιχειρημάτων, πολλές φορές αντίθετων, δεν νομίζω ότι θα μπορούσαν να προκύψουν με σαφή τρόπο όλα αυτά.

Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να μοντελοποιήσουμε ένα κύμα, για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε το μηχανισμό μεταφοράς ενέργειας.

Το τρέχον κύμα

Ας έρθουμε κατ’ αρχάς στο τρέχον κύμα σε ένα ελαστικό μέσο. Ας το φανταστούμε σαν μια σειρά ευδιάκριτων υλικών σημείων, τα οποία συνδέονται με ελατήρια, όπου όλα είναι τεντωμένα κατά Δl και βρίσκονται στη θέση ισορροπίας τους.

Τι συμβαίνει όταν το άκρο Ο τεθεί από τη πηγή σε (εξαναγκασμένη) ταλάντωση πλάτους Α και συχνότητας f;

Στο παραπάνω σχήμα το Α υλικό σημείο έχει φτάσει στη μέγιστη θετική απομάκρυνσή του και έχει σχεδιαστεί το κύμα να έχει φτάσει μέχρι το υλικό σημείο Δ, δηλαδή έχει διαδοθεί κατά λ/4. Από τι εξαρτάται η απόσταση αυτή λ/4;

1)     Από  το μέτρο της δύναμης που ασκείται από τα ελατήρια στα υλικά σημεία F=kΔl. Και αν μεν η σταθερά k εξαρτάται από το υλικό, η επιμήκυνση των ελατηρίων καθορίζεται από την τάση που τεντώνει το ελαστικό μέσο.

2)     Από τη μάζα κάθε υλικού σημείου ή αν θέλετε από την αδράνεια που προβάλλει το μέσο, σαν μέτρο της απόκρισής του.

Πώς εκφράζονται αυτά μαθηματικά; Μα, το μήκος κύματος (λ=υΤ) εξαρτάται από την ταχύτητα διάδοσης η οποία είναι ίση με:

 (η απόδειξη από το Νίκο Σταματόπουλο εδώ.)

Ας παρακολουθήσουμε στο παρακάτω σχήμα τις θέσεις των υλικών σημείων μετά από χρόνο Τ/2.

όπου οι κόκκινες γραμμές παριστάνουν τα ελατήρια.

Τι βλέπουμε; Όσο πιο κοντά στη θέση ισορροπίας βρίσκεται το ελατήριο τόσο περισσότερο τεντωμένο είναι, συνεπώς έχει και μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια. Στο σχήμα μας, μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια έχουν τα ελατήρια 1 και 6, ενώ μικρότερη τα ελατήρια 3 και 4.  Μετά από ελάχιστο χρόνο ίσο με Τ/12 η εικόνα θα είναι όπως στο σχήμα (γ).

Το ελατήριο 6 έχει τώρα μικρότερη ενέργεια, αφού μετέφερε ένα μέρος της δυναμικής του  ενέργειας στο (7) μέσω του υλικού σημείου Η, ενώ πήρε και κάποια ενέργεια από το υλικό σημείο Ζ…

Πού κολλάνε όλα αυτά;  Μα στο συμπέρασμα που ανέφερε ο Στέργιος:

«Σ' αυτήν ακριβώς τη θέση η επιμήκυνση του ελαστικού μέσου θα είναι μέγιστη, άρα και η ελαστική δυναμική ενέργεια. Επίσης σ' αυτή τη θέση η κινητική ενέργεια θα είναι μέγιστη. Παράξενα πράματα! Αντίθετα στην ακραία θέση η ΚΕ και η ελαστική ΔΕ θα είναι μηδέν, εφόσον εκεί το μέσον δεν έχει ταθεί σχεδόν καθόλου πριν και μετά το εν λόγω σημείο. ΔΗΛΑΔΗ: Η συνολική ενέργεια δεν είναι σταθερή από σημείο σε σημείο, και αυτό δικαιολογεί την πρόταση ότι η ενέργεια διαδίδεται κατά μήκος του ελαστικού μέσου.»

Στο σημείο αυτό νομίζω αξίζει να τονισθούν δυο προτάσεις διατυπωμένες από το Διονύση Μητρόπουλο:

«Νομίζω πάντως ότι είναι δεδομένο πως τα στοιχειώδη τμήματα του νήματος  δεν κάνουν ΑΑΤ, αφού πρόκειται για εξαναγκασμένη ταλάντωση….. 

Υπάρχει δηλαδή και προσφορά ενέργειας (από το προηγούμενο τμήμα του νήματος) και απώλεια (προς το επόμενο τμήμα κατά τη φορά διάδοσης του κύματος).»

Με βάση τα παραπάνω νομίζω ότι είναι λογικό να διατυπωθούν τα παρακάτω συμπεράσματα:

1)  Τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου, δεν εκτελούν ΑΑΤ. Ταλαντώνονται με τη συχνότητα του διεγέρτη (της πηγής) εκτελώντας μια «εξαναγκασμένη» ταλάντωση, όχι όμως με τα ίδια χαρακτηριστικά αυτής που μελετάμε στο κεφάλαιο των ταλαντώσεων, αφού εδώ έχουμε και μεταφορά ενέργειας, ενώ εκεί η μεταβιβαζόμενη στον ταλαντωτή ενέργεια, αφαιρείται μέσω του έργου της δύναμης απόσβεσης.

2)  Αν εστιάσουμε την προσοχή μας σε μια στοιχειώδη μάζα δεν έχει νόημα να μιλάμε για την ενέργεια ταλάντωσής της. Πέρα από το ότι η ταλάντωσή της δεν είναι ΑΑΤ, δεν έχουμε ούτε καν ένα σώμα με μια σταθερή «στατική», «εγκλωβισμένη» ενέργεια που να μεταβάλλεται από δυναμική σε κινητική και αντίστροφα.

  

Στάσιμο κύμα.

Το παραπάνω μοντέλο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και κατά τη μελέτη ενός στάσιμου κύματος. Ας δούμε το παρακάτω σχήμα, όπου στο (α) τα σημεία βρίσκονται σε θέσεις πλάτους.

Σε ποιες θέσεις τα ελατήρια έχουν μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης; Προφανώς αυτά που είναι κοντά στα άκρα, δηλαδή κοντά στους δεσμούς, ενώ αντίθετα τα ελατήρια 3,4 έχουν τη μικρότερη επιμήκυνση. Κατά την κίνησή τους όμως μεγαλύτερη κινητική ενέργεια θα αποκτήσουν τα υλικά σημεία που είναι στο μέσον του τμήματος, γύρω από τις κοιλίες. Παρατηρούμε δηλαδή ότι στη διάρκεια της ταλάντωσης, έχουμε και εδώ μεταφορά ενέργειας, στο στιγμιότυπο (β) από τα άκρα προς το κέντρο, ενώ στο (δ) από το κέντρο (κοιλία) προς τα άκρα (δεσμούς), όπως φαίνεται στο σχήμα (πράσινα βελάκια).

Με άλλα λόγια και στο στάσιμο κύμα έχουμε μεταφορά ενέργειας, απλά η ενέργεια αυτή έχει εγκλωβιστεί στο χώρο μεταξύ δύο δεσμών. Συνεπώς ούτε εδώ μπορούμε να μιλάμε για τη μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική για μια στοιχειώδη μάζα του ελαστικού μέσου. Εξάλλου, ούτε εδώ ένα υλικό σημείο εκτελεί ΑΑΤ, αφού και πάλι η ταλάντωσή του είναι εξαναγκασμένη….

Και στη συμβολή;

Αν έχουμε τώρα μια ανάκλαση κύματος σε σταθερό εμπόδιο όπως στο σχήμα;

Ο Νίκος Ανδρεάδης υποστήριξε ότι «Απλά μόλις σχηματίζεται ένας δεσμός αρχίζει η συμβολή του ενός κύματος με το ανακλώμενο του σε εκείνο τον δεσμό μέχρι να σχηματισθεί ο επόμενος δεσμός. Μετά τον σχηματισμό του δεύτερου δεσμού η ενέργεια που υπήρχε εκείνη τη στιγμή ανάμεσα στους δύο δεσμούς εγκλωβίζεται.»

Προχωρώντας τον ίδιο συλλογισμό ο Γιώργος Ρούσης υποστήριξε ότι και στην περίπτωση του σχήματος

Συμβαίνει ακριβώς το ίδιο Τα δύο κύματα συμβάλουν στο σημείο Δ, δημιουργώντας έναν δεσμό, όπου και ανακλώνται. Νομίζω ότι έχουν δίκιο αμφότεροι.

Πραγματικά αν δούμε τι συμβαίνει μετά το σχηματισμό του πρώτου δεσμού, θα δούμε ότι η μεταφορά ενέργειας γίνεται όπως στο σχήμα:

Δηλαδή η ενέργεια που έχει αποθηκευτεί μεταξύ του σημείου Δ₁ και του σημείου Μ του τοίχου, δεν περνάει αριστερότερα αλλά διαδίδεται όπως στο στάσιμο κύμα, προς την κοιλία. Αλλά τότε δεν θα περάσει και άλλη ενέργεια από το τρέχον κύμα προς την περιοχή της πρώτης ατράκτου.

Και ο συντονισμός;

Θα ήθελα να κλείσω και με μια τοποθέτηση- πρόταση.

Τι ακριβώς συμβαίνει με το στάσιμο;

« Όταν σχηματίζεται στάσιμο έχουμε φαινόμενο συντονισμού».

Τι νόημα έχει η παραπάνω πρόταση;

Μια γενική τοποθέτηση είναι ότι όταν έχουμε ένα νήμα με σταθερό το ένα του άκρο και θέσουμε σε ταλάντωση το άλλο του άκρο, δεν έχουμε πρόβλημα συντονισμού, απλά πάνω στο νήμα θα σχηματισθεί ένα στάσιμο, όπου στο ελεύθερο άκρο του, μπορούν να συμβούν τα πάντα. Δεσμός ή κοιλία ή κάποιο ενδιάμεσο πλάτος.

Φαινόμενο συντονισμού έχουμε στην περίπτωση που είναι καθορισμένο εξαρχής, λόγω συνθηκών, τι θα συμβεί πάνω στο νήμα. Αν π.χ. τα δυο του άκρα είναι σταθερά, εκεί θα σχηματισθούν δεσμοί, οπότε για να μπορεί να δημιουργηθεί στάσιμο και όχι μια πολύπλοκη κυματική κατάσταση θα πρέπει η συχνότητα του διεγέρτη να είναι ίση με μια από τις ιδιοσυχνότητες του νήματος.

Γιατί ιδιοσυχνότητες και όχι ιδιοσυχνότητα; Εδώ είναι η διαφορά μεταξύ της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου και μιας μάζας κατανεμημένης σε ορισμένη έκταση (ένα γραμμικό ελαστικό μέσο).

Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.

Y.Γ.

Και μια απόδειξη, περισσότερο μαθηματική.

Συμπέρασμα; Στις θέσεις που η χορδή έχει μεγάλη κλίση έχουμε μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια ή αν θέλετε, στο ανώτερο σημείο (σε μια κορυφή) σε ένα κύμα, αλλά και σε μια κοιλία σε ένα στάσιμο κύμα, η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν!!!

Διάδοση κύματος σε διακριτούς ταλαντωτές-Διασκεδασμός

Με αφορμή τους προβληματισμούς που έθεσε ο Διονύσης Μάργαρης στη συζήτηση για τη δυναμική ενέργεια των σημείων μιας χορδής κατά τη διάδοση ενός κύματος η "άσκηση" αυτή προσπαθεί να ρίξει λίγο φως.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται η διάταξη του σχήματος που αποτελείται από Ν (Ν→∞) όμοια σημειακά σώματα μάζας m το καθένα, τα οποία συνδέονται με όμοια ελατήρια σταθεράς k. Στα άκρα τα δύο σώματα μπορούν να κινούνται πάνω στους οδηγούς χωρίς τριβές. Στη θέση ισορροπίας του συστήματος οι μάζες απέχουν απόσταση α και τα ελατήρια είναι σε επιμήκυνση λόγω της δύναμης που ασκείται από τους οδηγούς (προένταση). Το σώμα που βρίσκεται στο αριστερό άκρο συνδέεται με κατάλληλη μηχανική διάταξη ώστε να εκτελεί αρμονική ταλάντωση.

α) Να βρεθεί η δύναμη επαναφοράς που επενεργεί σε κάθε σώμα.
β) Μπορούμε να αποδώσουμε δυναμική ενέργεια σε κάθε σώμα;
γ) Να βρεθεί το εύρος των συχνοτήτων για το οποίο η διαταραχή αυτή μπορεί να διαδοθεί χωρίς απώλειες. Πώς διαμορφώνεται το αποτέλεσμα για ένα συνεχές μέσο (χορδή); 
δ) Να δείξετε ότι η ταχύτητα διάδοσης του αρμονικού κύματος εξαρτάται από τη συχνότητα(διασκεδασμός). Πώς διαμορφώνεται το αποτέλεσμα για ένα συνεχές μέσο (χορδή); 

Να θεωρήσετε το πλάτος ταλάντωσης μικρό και την δύναμη προέντασης ισχυρή ώστε κάθε σώμα να ταλαντώνεται κάθετα στην ευθεία ισορροπίας του συστήματος. 

Απάντηση: εδώ