Εξαναγκασμένη ταλάντωση: Η ασυνέχεια της καμπύλης Α-ω στο ω=0.

Η εργασία αναφέρεται στη μορφή της γραφικής παράστασης Α –ω στην εξαναγκασμένη ταλάντωση στο όριο ω0 .  Συγκεκριμένα, από τον τύπο:  

πηγαίνοντας στο όριο ω→0 προκύπτει Α=F₀/D , που κάποιοι το μεταφράζουν ως «πλάτος ταλάντωσης» και κάποιοι άλλοι ως «νέα θέση». Και οι δύο ερμηνείες είναι λανθασμένες αφού – όπως θα αποδειχθεί – η διαδικασία του ορίου είναι «παράνομη» !

 Έτσι προκύπτει ότι η  καμπύλη Α – ω  δεν είναι (εν γένει) συνεχής στο ω = 0 , παρά μόνο αν η διεγείρουσα δύναμη είναι της μορφής:   F=F_o συνωt.

Έχει σημασία αν επιλέξουμε  F=F_o ημωt ή F=F_o συνωt ή F=F_o ημ(ωt+φ) για να περάσουμε στο όριο ωà0 ;

Για να μη σας κουράσω με μαθηματικά, ας δούμε την απλή περίπτωση : F=F_o ημωt

Τότε στο όριο ω→0  η δύναμη μηδενίζεται και έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

α) Αν ο ταλαντωτής δεν παρουσιάζει αποσβέσεις (b =0) τότε

     i) αν ήταν διεγερμένος θα εξακολουθεί να εκτελεί ταλάντωση με το ίδιο «άγνωστο» πλάτος.

  ii) αν ήταν σε ηρεμία θα παραμείνει (Α=0)

β) Αν έχουμε αποσβέσεις τότε θα έχουμε μία φθίνουσα ταλάντωση που θα οδηγήσει σε Α=0 (αν φυσικά ήταν αρχικά διεγερμένος).

Συμπέρασμα 1^ο : Για δύναμη της μορφής F=F_o ημωt , στο όριο ωà0 το πλάτος Α μπορεί να είναι μηδέν αλλά μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή (όταν ο ταλαντωτής δεν παρουσιάζει αποσβέσεις και ήταν αρχικά διεγερμένος).

Μην μας εκπλήσσει αυτό το αποτέλεσμα αφού όταν ωà0 τότε F à0, δηλαδή δεν έχουμε «εξαναγκασμένη» ταλάντωση.

Η συνέχεια ΕΔΩ ή ΕΔΩ.

Διάδοση κύματος σε διακριτούς ταλαντωτές-Διασκεδασμός

Με αφορμή τους προβληματισμούς που έθεσε ο Διονύσης Μάργαρης στη συζήτηση για τη δυναμική ενέργεια των σημείων μιας χορδής κατά τη διάδοση ενός κύματος η "άσκηση" αυτή προσπαθεί να ρίξει λίγο φως.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται η διάταξη του σχήματος που αποτελείται από Ν (Ν→∞) όμοια σημειακά σώματα μάζας m το καθένα, τα οποία συνδέονται με όμοια ελατήρια σταθεράς k. Στα άκρα τα δύο σώματα μπορούν να κινούνται πάνω στους οδηγούς χωρίς τριβές. Στη θέση ισορροπίας του συστήματος οι μάζες απέχουν απόσταση α και τα ελατήρια είναι σε επιμήκυνση λόγω της δύναμης που ασκείται από τους οδηγούς (προένταση). Το σώμα που βρίσκεται στο αριστερό άκρο συνδέεται με κατάλληλη μηχανική διάταξη ώστε να εκτελεί αρμονική ταλάντωση.

α) Να βρεθεί η δύναμη επαναφοράς που επενεργεί σε κάθε σώμα.
β) Μπορούμε να αποδώσουμε δυναμική ενέργεια σε κάθε σώμα;
γ) Να βρεθεί το εύρος των συχνοτήτων για το οποίο η διαταραχή αυτή μπορεί να διαδοθεί χωρίς απώλειες. Πώς διαμορφώνεται το αποτέλεσμα για ένα συνεχές μέσο (χορδή); 
δ) Να δείξετε ότι η ταχύτητα διάδοσης του αρμονικού κύματος εξαρτάται από τη συχνότητα(διασκεδασμός). Πώς διαμορφώνεται το αποτέλεσμα για ένα συνεχές μέσο (χορδή); 

Να θεωρήσετε το πλάτος ταλάντωσης μικρό και την δύναμη προέντασης ισχυρή ώστε κάθε σώμα να ταλαντώνεται κάθετα στην ευθεία ισορροπίας του συστήματος. 

Απάντηση: εδώ

Ανάκλαση κύματος και εξαναγκασμένη ταλάντωση - Συντονισμός

Σε μία τεντωμένη χορδή μήκους L το ένα άκρο της Ο συνδέεται με μηχανική διάταξη που το αναγκάζει να εκτελέσει αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Το άλλο άκρο Σ της χορδής συνδέεται μέσω αβαρούς κρίκου με ελατήριο σταθεράς k κινούμενο πάνω σε ακλόνητο οδηγό χωρίς τριβές. Όταν η χορδή είναι στην κατάσταση ισορροπίας το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.

α) Δείξτε ότι το ανακλώμενο κύμα έχει το ίδιο πλάτος με το προσπίπτον.

β) Υπολογίστε το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Σ.

γ) Μελετήστε τις οριακές περιπτώσεις k = 0 και k = ∞ που αντιστοιχούν σε ελεύθερο άκρο και ακλόνητο άκρο αντίστοιχα.

δ) Πώς διαμορφώνονται τα παραπάνω συμπεράσματα στην περίπτωση που η διάταξη γίνεται οριζόντια και ο κρίκος έχει μάζα Μ ;

Θεωρούνται επίσης γνωστά: η γωνιακή συχνότητα ω της πηγής, η μάζα μ ανά μονάδα μήκους της χορδής και η ταχύτητα διάδοσης υ του κύματος. Το βάρος της χορδής θεωρείται αμελητέο και το πλάτος Α πολύ μικρότερο από το μήκος κύματος.

Η συνέχεια ΕΔΩ ή και ΕΔΩ.

 

Κίνηση οχήματος σε ανώμαλο δρόμο

Ένα όχημα μάζας m = 1tn εισέρχεται τη χρονική στιγμή t = 0 σε μακρύ ανώμαλο δρόμο (βλ. σχήμα) του οποίου το ύψος h μεταβάλλεται με την οριζόντια απομάκρυνση x σύμφωνα με τη σχέση: h=Hημ(2πx/λ), όπου H = 15 cm και λ = 3,14 m , ενώ η οριζόντια ταχύτητά του παραμένει σταθερή ίση με υ_ο .

Θεωρούμε ότι τo σύστημα ανάρτησης του οχήματος ισοδυναμεί με ένα ελατήριο σταθεράς k=16.10⁵N/m με μικρό συντελεστή απόσβεσης b και ότι η απόσταση μεταξύ των αξόνων περιστροφής των τροχών είναι λ .
α) Δείξτε ότι το αμάξωμα του οχήματος εκτελεί στον κατακόρυφο άξονα εξαναγκασμένη ταλάντωση ως προς την αρχική θέση ισορροπίας του.
β) Για ποια τιμή του μέτρου της οριζόντιας ταχύτητας υ_ο του οχήματος έχουμε συντονισμό;
γ) Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη τιμή της σταθεράς b ώστε όταν το όχημα έχει οριζόντια ταχύτητα υ_ο = 72 km/h το πλάτος ταλάντωσης του αμαξώματος να μην υπερβαίνει τα 20 cm ;
Θεωρείστε τη μάζα των τροχών αμελητέα και ότι οι τροχοί παραμένουν διαρκώς σε επαφή με το έδαφος. Δίνονται: π=3,14 , συν(α+β)=συνασυνβ - ημαημβ

Απάντηση: