Το ιξώδες και ο τανυστής εσωτερικής τριβής

Το σχόλιο του Ανδρέα Κασσέτα επιβεβαίωσε την σχεδόν πλήρη άγνοια που είχα για την έννοια ιξώδες. Το μόνο που ήξερα ήταν ότι το ιξώδες σημαίνει ύπαρξη εσωτερικής τριβής στα ρευστά. Η παρέμβαση του Ανδρέα ήταν μια πρόκληση να κατανοήσω καλύτερα την έννοια.

Στην προσπάθειά μου να καταγράψω το προσωπικό μου διάβασμα προέκυψε κείμενο 22 σελίδων σε word και σε pdf

Χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο ταχυτήτων με τον νόμο Bernoulli εν ισχύ

Μια κυλινδρική δεξαμενή έχει εμβαδόν βάσης Α₁ και ύψος H. Κοντά στην βάση της υπάρχει μικρή τρύπα εμβαδού Α₂, η οποία φράσσεται με τάπα. Η δεξαμενή είναι γεμάτη με ιδανικό ασυμπίεστο υγρό πυκνότητας ρ. Κάποια στιγμή απομακρύνουμε την τάπα αφήνοντας το υγρό ελεύθερο να κινηθεί.

1)      Να υπολογίσετε την ταχύτητα του υγρού αμέσως έξω από την οπή σε συνάρτηση με την απόσταση που έχει κατέβει η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού.

2)      Να συγκρίνετε το αποτέλεσμα με το θεώρημα Torricelli

3)      Να εξετάσετε αν η ροή μπορεί να θεωρηθεί μόνιμη καθ’ όλη την διάρκεια της εκροής.

Η λύση σε Word και σε pdf.

Πεδία ταχύτητας και πιέσης σε κόλουρο κώνο

Θεωρούμε ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης, το οποίο έχει σχήμα κόλουρου κώνου. Οι βάσις του έχουν ακτίνες R₁ και R₂ και το ύψος του είναι H. Θεωρούμε επίσης ότι η ροή είναι αστρόβιλη. Έστω υ₁ και p₁ η ταχύτητα και η πίεση του υγρού στο κέντρο της μικρής βάσης. Ζητάμε να υπολογίσουμε την πίεση και την ταχύτητα σε όλη την έκταση του υγρού. Για λόγους απλότητας θεωρούμε ότι η ροή παρουσιάζει συμμετρία στροφής ως προς τον άξονα συμμετρίας του κώνου.

Απάντηση σε Word και pdf

Σε πόσο χρόνο θα αδειάσει η σύριγγα;

Η σύριγγα του σχήματος έχει μήκος L και εμβαδόν διατομής Α και περιέχει ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ.

Το άνοιγμα έχει εμβαδόν διατομής A/λ  και το έμβολο έχει αμελητέα μάζα.

Προκειμένου να αδειάσουμε την σύριγγα, ασκούμε στο έμβολο σταθερή οριζόντια δύναμη F.

Να υπολογίσετε:

         i.            i)Την ταχύτητα του εμβόλου ως συνάρτηση της μετατόπισης του.

       ii.            ii) Tο χρονικό διάστημα που απαιτείται για να αδειάσει η σύριγγα.

      iii.            iii)Tην κατανομή πιέσεων κατά μήκος της σύριγγας.

     iv.            iv) Tην δύναμη που ασκεί το τοίχωμα της σύριγγας στο υγρό.

llsss  Θεωρήστε ότι η σύριγγα βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας.

          Θεωρήστε επίσης αμελητέα την κύρτωση των ρευματικών γραμμών κοντά στο τοίχωμα που βρίσκεται το άνοιγμα.

H      Η απάντηση σε word και σε pdf

Οι ρευματικές γραμμές είναι τροχιές των υλικών σημείων του ρευστού ή όχι;

Μελετώντας την κίνηση ενός ρευστού κατά Lagrange ενδιαφερόμαστε για την περιπέτεια κάθε ξεχωριστού αλλά τυχαίου υλικού σημείου του ρευστού. Άλλωστε σε αυτό θα εφαρμόσουμε τον θεμελιώδη νόμο της δυναμικής.

Σχεδόν σε αντιδιαστολή με τον Lagrange ο Euler κάνει θεωρία πεδίου. Αδιαφορεί για την περιπέτεια κάθε υλικού σημείου και ενδιαφέρεται για την κατανομή των ταχυτήτων των σημείων του ρευστού στο χώρο και τον χρόνο.

Με τους δύο παραπάνω ισοδύναμους τρόπους μελέτης της κίνησης ενός ρευστού είναι συσχετισμένα δυο διαφορετικά είδη καμπυλών. Οι τροχιές των υλικών σημείων του ρευστού και οι δυναμικές γραμμές του πεδίου.

Στην παρούσα εργασία αποδεικνύεται ότι στην μόνιμη ροή οι δύο γεωμετρικές έννοιες ταυτίζονται.

Η παρούσα εργασία δεν θα είχε πραγματοποιηθεί αν σήμερα δεν ξεφύλλιζα δύο εργασίες ( εδώ και εδώ  του Βαγγέλη του Φινδανή, το οποίο και ευχαριστώ..

Συνέχεια σε Word και σε pdf

Ιδανικά ασυμπίεστα ρευστά

Το συνημμένο αρχείο είναι το αποτέλεσμα της προσωπικής μου μελέτης στην προσπάθειά μου να καταλάβω την μηχανική των ρευστών. Ουσιαστικά πρόκειται για μετάφραση μέρους του πρώτου κεφαλαίου του βιβλίου «Fluid Mechanics» των L.D. Landau & E.M. Lifshitz.

Συνέχεια σε word και pdf

Η εικόνα που ακολουθεί απεικονίζει τις ρευματικές γραμμές σε ένα αρχικά ακίνητο ρευστό μέσα στο οποίο κινείται μια σφαίρα.

Ολίσθηση σφαίρας σε ημισφαίριο

Από το χείλος ενός στερεωμένου ημισφαιρίου, μια σφαίρα ακτίνας r αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί όπως στο σχήμα

Στην αρχή η κίνηση της σφαίρας είναι ολίσθηση και κάποια στιγμή μετατρέπεται σε κύλιση χωρίς ολίσθηση.

Να αποδείξετε ότι, για αρκούντως μεγάλες τιμές του συντελεστή τριβής μεταξύ των υλικών της σφαίρας και του ημισφαιρίου,  η ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική είναι αμελητέα.

Εισαγωγή

Η διερεύνηση του παραπάνω προβλήματος γίνεται με αφορμή το θέμα Δ1 των πανελλαδικών εξετάσεων του 2015.

Είναι γνωστό ότι, ανεξαρτήτως της τιμής του συντελεστή τριβής, αφήνοντας την σφαίρα στο σημείο Α, υπάρχει ένα χρονικό διάστημα στο οποίο η σφαίρα ολισθαίνει μέχρι να ικανοποιηθεί η συνθήκη κύλισης υ_cm=ωr.

Διαισθητικά περιμένουμε ότι αυξανομένου του συντελεστή τριβής το χρονικό διάστημα και το διανυόμενο τόξο αποκατάστασης τείνουν στο μηδέν καθιστώντας το μοντέλο «από την πρώτη στιγμή κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει» σχεδόν αποδεκτό.

Υπάρχει ένας προβληματισμός σχετικά με την ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική κατά την διάρκεια της αποκατάστασης: Αυξανομένου του συντελεστή τριβής αυξάνεται το μέτρο της τριβής και μειώνεται το μήκος του διανυόμενου τόξου. Από πρώτη ματιά είναι απροσδιόριστο το γινόμενο τριβή x απόσταση.

Περισσότερα

Η δύναμη αλληλεπίδρασης δύο βρόχων υπακούει στο αξίωμα δράσης - αντίδρασης;

Θεωρούμε δύο βρόχους C₁, C₂ οι οποίοι διαρρέονται από ρεύματα σταθερών εντάσεων Ι₁ και Ι₂ αντιστοίχως. Θα αποδείξουμε ότι οι δυνάμεις Laplace που ασκεί ο ένας στον άλλο είναι αντίθετες.

Απάντηση

Σε pdf και με κλικ εδώ.

Δημιουργείται ή όχι στάσιμο κύμα;

Μια οριζόντια ελαστική χορδή μήκους ℓ ηρεμεί με όλα της τα σημεία στην θέση ισορροπίας τους.

Η χορδή ταυτίζεται με το διάστημα [0,ℓ] ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων. Το άκρο Γ( x=ℓ) της χορδής είναι ακλόνητα στερεωμένο. Με την βοήθεια ενός ταλαντωτή, την στιγμή t=0 το άκρο Ο αρχίζει να ταλαντώνεται στην διεύθυνση του άξονα y με εξίσωση y_O(t)=Aημ(ωt), με αποτέλεσμα στη χορδή να διαδοθεί εγκάρσιο αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ. Το κύμα αυτό φτάνοντας στο Γ ανακλάται χωρίς απώλειες ενέργειας. Το ανακλώμενο κύμα φτάνει στο Ο όπου ανακλάται ξανά χωρίς απώλειες ενέργειας κ.ο.κ.

Α) Να βρεθεί η εξίσωση του παραγόμενου κύματος

Β) Να εξετάσετε την περίπτωση που το μήκος της χορδής είναι ημιακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος.

Απάντηση σε ή ή σε 

Μια σύζευξη ταλαντώσεων

A) Ελεύθερη ταλάντωση.

Στην διάταξη του σχήματος τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος και τα σώματα Σ₁, Σ₂ μάζας m ηρεμούν σε λεία οριζόντια ακίνητη βάση.

Την στιγμή t_o=0, με μια στιγμιαία ώθηση, δίνουμε στο σώμα Σ₁ αρχική ταχύτητα υ₀>0. Να βρεθούν οι απομακρύνσεις των δύο σωμάτων από την θέση ισορροπίας τους συναρτήσει του χρόνου.

Β) Εξαναγκασμένη ταλάντωση

Υποθέτουμε ότι η βάση αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση x=Aημωt. Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης κάθε σώματος υποθέτοντας ότι κάθε σώμα κινείται με γωνιακή συχνότητα ω.

Η λύση σε pdf και doc

Ένα κομμένο δαχτυλίδι κρέμεται από νήμα ή κατανομή ροπών και δυνάμεων σε μια δοκό

Ένας ομογενής  δακτύλιος ακτίνας α και γραμμικής πυκνότητας μ φέρει μια εγκάρσια εγκοπή σε ένα σημείο του Γ. Ο δακτύλιος αναρτάται με την βοήθεια νήματος από το σημείο Α αντιδιαμετρικό του Γ.

Να υπολογίσετε την κατανομή δυνάμεων και ροπών κατά μήκος του δακτυλίου.

Σε ποια σημεία κινδυνεύει να κοπεί και σε ποια σημεία κινδυνεύει να σπάσει;

Απάντηση σε pdf ή σε word

Όταν το σχοινί γλιστράει στην τροχαλία

Μια τροχαλία μάζας m και ακτίνας R μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της κάθετο στο επίπεδό της. Στο αυλάκι της τροχαλίας είναι περασμένο μη εκτατό νήμα αμελητέας μάζας.. Στα δύο  άκρα του νήματος έχουν προσδεθεί δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ μαζών m₁ και m₂ αντιστοίχως

Αν το νήμα γλιστράει στην τροχαλία

1. να υπολογιστούν οι επιταχύνσεις των δύο σωμάτων και η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας
2. για ποιες τιμές του συντελεστή τριβής ολισθήσεως νήματος – τροχαλίας το νήμα γλιστράει στην τροχαλία;
3. Επιβεβαιώστε ότι η απώλεια της ενέργειας του συστήματος είναι ίση με το έργο της τριβής λόγω της σχετικής κίνησης του νήματος στην τροχαλία

Απάντηση : σε pdf και σε doc

Γενική γυροσκοπική κίνηση

Στην προηγούμενη μελέτη του γυροσκοπίου περιοριστήκαμε στην εύρεση της αναγκαίας συνθήκης μεταξύ της γωνιακής ταχύτητας «ιδιοπεριστροφής» του τροχού και στην γωνιακή ταχύτητα μετάπτωσης της ράβδου ώστε η ράβδος να σχηματίζει σταθερή γωνία θ με την κατακόρυφο.

Το πείραμα δείχνει ότι αν το σύστημα έχει αρχική γωνιακή ταχύτητα στην διεύθυνση μεταβολής της γωνίας θ, τότε παρουσιάζει μια εξαιρετική ευστάθεια ταλαντευόμενο γύρω από μια γωνία ισορροπίας.

Αυτό προοιωνίζει το εξής γεγονός. Η δυναμική εξίσωση για την γωνία θ εμφανίζει ένα ενεργό δυναμικό το οποίο έχει τοπικό ελάχιστο στην γωνία ισορροπίας. Η αναγνώριση του δυναμικού αυτού είναι δυνατή και εύκολη μέσω της ενέργειας του συστήματος δηλαδή της Hamiltonian. 

Συνέχεια

Γυροσκοπικοί υπολογισμοί

Το γυροσκόπιο είναι μια διάταξη, η οποία μπορεί να διατηρεί σταθερό τον προσανατολισμό της μέσω της περιστροφής των μερών της. Για να μεταβληθεί ο προσανατολισμός της διάταξης θα πρέπει να αλλάξει η κατεύθυνση της στροφορμής της. Για την αλλαγή αυτή απαιτείται ροπή. Συνεπώς το γυροσκόπιο «αντιδρά» στην αλλαγή της στροφορμής του. Όσο πιο γρήγορα γίνεται η αλλαγή τόσο εντονότερη είναι η αντίδραση. Στο σύστημα συν-κινούμενου παρατηρητή αυτή η αντίδραση εμφανίζεται σαν ψευδοζεύγος που τείνει να επαναφέρει την στροφορμή στην αρχική της κατεύθυνση.

Ένα απλό γυροσκόπιο αποτελείται από μια ράβδο και ένα δίσκο, ο οποίος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές με το επίπεδό του κάθετο στην ράβδο.

Υποθέτουμε ότι θέτουμε σε περιστροφή τον δίσκο και τοποθετούμε την διάταξη σε τέτοια θέση ώστε η ράβδος να σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο. Αν το σύστημα αφεθεί ελεύθερο τότε η ράβδος τίθεται σε περιστροφή γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το ένα άκρο της ( μετάπτωση).

Σκοπός μας είναι να συσχετίσουμε την γωνιακή ταχύτητα «ιδιοπεριστροφής» του δίσκου με την γωνιακή ταχύτητα περιφοράς στην περίπτωση που η γωνία θ παραμένει σταθερή.

Συνέχεια 

Ποια ροπή μεταβάλλει την στροφορμή του τροχού;

Η οριζόντια ράβδος του σχήματος μάζας Μ και μήκους ℓ μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Τροχός μάζας m και ακτίνας R μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και κάθετο στο επίπεδό του, που ταυτίζεται με τον διαμήκη άξονα της ράβδου. 

Δίνουμε στον τροχό αρχική γωνιακή ταχύτητα ω1 και στην ράβδο αρχική γωνιακή ταχύτητα ω2.

1)      Να αποδείξετε ότι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού γύρω από τον άξονα τον κάθετο στο επίπεδό του και η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου παραμένουν σταθερές.

2)      Να υπολογίσετε την δύναμη που ασκεί η ράβδος στον δίσκο και την ροπή της ως προς το κέντρο του δίσκου.

3)      Να υπολογίσετε την δύναμη που ασκεί η άρθρωση στην ράβδο και την ροπή της ως προς την άρθρωση.
 Απάντηση

Ένα στάσιμο κύμα με απόσβεση

Θεωρούμε τα επόμενα δύο προβλήματα:

Πρόβλημα 1

Μια χορδή μήκους L είναι στερεωμένη στο ένα άκρο της. Με την βοήθεια ενός ταλαντωτή το άλλο άκρο ταλαντώνεται κάθετα στη διεύθυνση της χορδής με εξίσωση y=Asin(ωt). Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης των σημείων της χορδής από την θέση ισορροπίας τους συναρτήσει του χρόνου μετά την ολοκλήρωση των μεταβατικών φαινομένων. Θεωρήστε ότι δύναμη απόσβεσης σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής είναι ανάλογη της ταχύτητας του και ανάλογη του μήκους του.

Πρόβλημα 2

Μια χορδή μήκους 2L είναι στερεωμένη στα δύο άκρα της. Απομακρύνουμε την χορδή από την θέση ισορροπίας έτσι ώστε τα σημεία της να βρίσκονται επί μιας ημιτονοειδούς καμπύλης και την στιγμή t=0 την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί. Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης των σημείων της χορδής από την θέση ισορροπίας τους συναρτήσει του χρόνου. Θεωρήστε ότι δύναμη απόσβεσης σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής είναι ανάλογη της ταχύτητας του και ανάλογη του μήκους του.

Λύση σε word και σε pdf

Ένα ποδήλατο με μια ρόδα

Ένας λεπτός ομογενής κυκλικός δίσκος ακτίνας ρ κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει παραμένοντας συνεχώς σε επαφή με οριζόντιο κυκλικό οδηγό ακτίνας R>ρ. Η κίνηση του δίσκου γίνεται έτσι ώστε το επίπεδο του δίσκου να σχηματίζει σταθερή γωνία β με την κατακόρυφο που διέρχεται από το κέντρο του.

Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κέντρου του δίσκου ώστε η γωνία β να είναι σταθερή.

Απάντηση

¨Ένας δακτύλιος με μια μπίλια

Θεωρούμε ένα κατακόρυφο δακτύλιο ακτίνας R και μάζας m1 στο εσωτερικό του οποίου έχει προσκολληθεί σφαιρίδιο αμελητέων διαστάσεων μάζας m2. O δακτύλιος μπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο.
Αρχικά η διακεντρική ευθεία των δύο σωμάτων είναι κατακόρυφη με το σφαιρίδιο στην ανώτερη θέση. Δίνουμε μια μικρή ώθηση στο σφαιρίδιο και ο δακτύλιος αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση του δακτυλίου συναρτήσει της γωνίας στροφής φ. Εφαρμογή για φ=π/2

Απάντηση

Ένα αρμονικό κύμα χωρίς ασυνέχειες και κόχες

Τα κύματα που μελετάμε είναι ανύπαρκτα. Παρουσιάζουν παθολογίες, οι οποίες δεν μπορούν να γίνουν αποδεκτές από έναν Φυσικό. Προεξάρχουσα παθολογία η ασυνέχεια της συνάρτησης v(x,t) στο μέτωπο του κύματος.
Με την παρούσα ανάρτηση προσπαθώ να εξομαλύνω την κατάσταση κάνοντάς τα πιο πραγματικά।

συνέχεια σε  ή  

Η αρχική φάση σε ένα κύμα δεν είναι πάντα αποτέλεσμα χρονικής καθυστέρησης

Θεωρούμε το επόμενο πρόβλημα
Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο ισορροπεί κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Ox ενός συστήματος συντεταγμένων।Απομακρύνουμε τα σημεία του μέσου από την θέση ισορροπίας τους κατά μήκος της καμπύλης

Την στιγμή t=0 τα σημεία του μέσου αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν και ταυτόχρονα η άκρη Ο αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση y=Aσυν(ωt), με αποτέλεσμα στο μέσο να διαδοθεί εγκάρσιο κύμα με ταχύτητα υ.
Αν ισχύει ότι υ=λf να βρεθούν
i) Η εξίσωση του παραγόμενου κύματος
ii) Το στιγμιότυπο τις στιγμές t=T/4, T/2, T
iii) Οι κυματομορφές για τα σημεία x=λ/8, λ/4, λ/2, λ

Η συνέχεια  σε   ή σε