Ράβδος με ρόδα. Ένα παράδοξο.

Η λεπτή ράβδος και ο τροχός του σχήματος έχουν μάζες Μ και m αντίστοιχα.

Η ακτίνα του τροχού είναι R και η απόσταση της ράβδου από το κέντρο του τροχού είναι 2R.

Το μήκος της ράβδου είναι 10R.

Ο τροχός είναι λεπτός και οι ακτίνες αμελητέας μάζας.

Ολίσθηση του τροχού δεν παρατηρείται.

Ποια δύναμη πρέπει να ασκηθεί στο άκρο Β του τροχού ώστε:

1. Να κινείται με σταθερή ταχύτητα.
2. Να κινείται με σταθερή επιτάχυνση α που έχει τη διεύθυνση της ράβδου.

Απάντηση:

Ότι και να κάνεις φίλε θα ακινητοποιηθεί.

Βάλε σε ένα χαρτόνι οιοδήποτε ομογενές σώμα με κυκλική διατομή.

Τράβα το χαρτόνι ώστε να μην ολισθαίνει πάνω του το σώμα.

Όταν θα βρεθεί στο τραπέζι θα κινηθεί ολισθαίνοντας.

Δείξε ότι στο τέλος θα ακινητοποιηθεί.

Απάντηση:

Συνηθισμένα λάθη στην εφαρμογή του θεμελιώδους νόμου της στροφικής κίνησης.

Κάποια σημεία που θέλουν προσοχή όταν στήνουμε άσκηση που περιλαμβάνει χρήση του θεμελιώδους νόμου για τη στροφική κίνηση.
Ισχύει μόνο για το Κ.Μ. ή και για άλλα σημεία;



Συνέχεια:

Βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση. Συνηθισμένα λάθη ασκησιοκατασευών.

Ένας μαθητής βρήκε σε βιβλίο την παρακάτω άσκηση:

Το κοριτσάκι έχει μάζα 50 kg και βαδίζει με ταχύτητα υ = 1m/s κατά μήκος της ακτίνας ΟΑ = 2m του δίσκου. Ο δίσκος έχει μάζα 100 kg και ακτίνα 2m.

Δέχεται εφαπτομενικά στην περιφέρειά του σταθερή δύναμη F = 100 N.

Βρείτε την γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου τη στιγμή που φτάνει στο Α.

Τη ροπή αδράνειας να τη βρείτε στο βιβλίο.

Μην τα θέλετε όλα στο πιάτο.

Συνέχεια:

Οι δυνάμεις στήριξης στο κάρο. Τέσσερεις λύσεις.

Το κάρο έχει φορτωθεί υπέρ το δέον.

Το κέντρο μάζας του βρίσκεται στο μεσοκάθετο επίπεδο του τμήματος που ενώνει τα κέντρα των δύο τροχών που βλέπετε αλλά ψηλότερα από το επίπεδο που βρίσκονται οι κινητήριες δυνάμεις που το συμπαθές τετράποδο ασκεί.

Οι δυνάμεις στήριξης στις ρόδες είναι πάντοτε ίσες;

Η επιτάχυνση του οχήματος επηρεάζει την απάντηση;

Απάντηση:

Ανατροπή σώματος του οποίου η διατομή έχει σχήμα κανονικού πολυγώνου.

Η ανάρτηση οφείλεται σε μια εξαιρετική ιδέα παρουσίασης της κύλισης που μου είχε παρουσιάσει ο Ανδρέας Κασσέτας. Ο Ανδρέας παρουσίαζε την κύλιση ως μια αλληλουχία ανατροπών.

Ένα πολύγωνο ανατρέπεται, στηρίζεται στην άλλη του έδρα και ξαναανατρέπεται κ.λ.π.

Όσο περισσότερες είναι οι έδρες του τόσο περισσότερο ταιριάζει με τον τροχό.

Με την ευκαιρία των πρόσφατων Μητροπουλικών αναρτήσεων ας δούμε το θέμα μαθηματικότερα.

Σε πρώτη φάση θέλουμε τον συντελεστή τριβής ικανό ώστε να μην επιτρέψει την ολίσθηση του σώματος.

Μόνο την ανατροπή του θέλουμε, αν αυτό γίνεται.

Η δύναμη θα ασκείται στο κέντρο μάζας του σώματος. Η επαφή του σώματος και του δαπέδου γίνεται σε μία έδρα του σώματος.  

 Συνέχεια:

Ποια δύναμη πρέπει να ασκώ ώστε να κινείται με σταθερή ταχύτητα;

Στην περιφέρεια δίσκου, μάζας Μ και ακτίνας R, είναι κολλημένη σημειακή μάζα m. Ο συντελεστής τριβής, μεταξύ κυλίνδρου και εδάφους, επιτρέπει στον κύλινδρο να κινείται χωρίς ολίσθηση.

Ποια οριζόντια δύναμη, παράλληλη στο επίπεδο του δίσκου πρέπει να ασκώ ώστε το κέντρο μάζας του να κινείται με σταθερή ταχύτητα υ ;

Η στιγμή μηδέν εικονίζεται στο σχήμα.

Απάντηση:

Η δύναμη αλληλεπίδρασης δύο βρόχων υπακούει στο αξίωμα δράσης - αντίδρασης;

Θεωρούμε δύο βρόχους C₁, C₂ οι οποίοι διαρρέονται από ρεύματα σταθερών εντάσεων Ι₁ και Ι₂ αντιστοίχως. Θα αποδείξουμε ότι οι δυνάμεις Laplace που ασκεί ο ένας στον άλλο είναι αντίθετες.

Απάντηση

Σε pdf και με κλικ εδώ.

Η μπάλα και ο κυλιόμενος διάδρομος. Είναι εντός ύλης;

Ένας μακρύς οριζόντιος κυλιόμενος διάδρομος κινείται με σταθερή ταχύτητα V=2,5 m/s. Ο μικρός αφήνει τη μπάλα του η οποία είναι αρχικά ακίνητη ως προς αυτόν πάνω στον διάδρομο.

Η μπάλα έχει μάζα 1 kg και ακτίνα R=0,2 m. Ποια θα είναι η τελική ταχύτητα και ποια η τελική γωνιακή ταχύτητα της μπάλας;

Ποια η αύξηση της θερμικής ενέργειας του συστήματος;

Η μπάλα ας θεωρηθεί ως σφαιρικός φλοιός. Η αντίσταση του αέρα ας αμεληθεί.

Ο συντελεστής τριβής μεταξύ μπάλας και διαδρόμου είναι 0,1.

Οι λύσεις:

Δημιουργείται ή όχι στάσιμο κύμα;

Μια οριζόντια ελαστική χορδή μήκους ℓ ηρεμεί με όλα της τα σημεία στην θέση ισορροπίας τους.

Η χορδή ταυτίζεται με το διάστημα [0,ℓ] ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων. Το άκρο Γ( x=ℓ) της χορδής είναι ακλόνητα στερεωμένο. Με την βοήθεια ενός ταλαντωτή, την στιγμή t=0 το άκρο Ο αρχίζει να ταλαντώνεται στην διεύθυνση του άξονα y με εξίσωση y_O(t)=Aημ(ωt), με αποτέλεσμα στη χορδή να διαδοθεί εγκάρσιο αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ. Το κύμα αυτό φτάνοντας στο Γ ανακλάται χωρίς απώλειες ενέργειας. Το ανακλώμενο κύμα φτάνει στο Ο όπου ανακλάται ξανά χωρίς απώλειες ενέργειας κ.ο.κ.

Α) Να βρεθεί η εξίσωση του παραγόμενου κύματος

Β) Να εξετάσετε την περίπτωση που το μήκος της χορδής είναι ημιακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος.

Απάντηση σε ή ή σε 

Οι 4 λύσεις μιας ασκησούλας ελαστικής κρούσης.

Μια πλάκα κινείται με ταχύτητα υ₂ . Μια μπάλα κινείται με ταχύτητα υ₁ και συγκρούεται με την πλάκα μετωπικά και ελαστικά. Όλα αυτά συμβαίνουν στο κενό και εκτός πεδίου βαρύτητας.

Με ποια ταχύτητα θα κινηθεί η μπάλα μετά την κρούση;

Θεωρήσατε ότι η μάζα της πλάκας είναι πολύ μεγαλύτερη αυτής της μπάλας.

Απάντηση:

Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων…

Τα κύματα δεν είναι η συνέχεια των ταλαντώσεων, όπως για διδακτικούς λόγους κάνουμε…

1.  Η διάδοση ενός παλμού.

Έστω ότι έχουμε ένα ελαστικό μέσο, π.χ. μια τεντωμένη οριζόντια χορδή. Εκτρέποντας το αριστερό άκρο της για ένα μικρό χρονικό διάστημα κατακόρυφα, μπορούμε να δημιουργήσουμε έναν παλμό, ο οποίος μπορούμε να τον δούμε να διαδίδεται κατά μήκος της χορδής. Τέτοιοι παλμοί φαίνονται στο παρακάτω σχήμα να διαδίδονται προς τα δεξιά πάνω στην χορδή.

Οι παλμοί αυτοί μπορούν να έχουν διάφορες μορφές, όπως π.χ. τριγωνικοί ή και αρμονικοί.

Ας πάρουμε τώρα ένα παλμό όπως στο διπλανό σχήμα, ο οποίος διαδίδεται προς τα δεξιά και στο σχήμα δίνονται δύο θέσεις του που διαφέρουν χρονικά κατά Δt = t₂-t₁.  Ορίζουμε την ταχύτητα διάδοσης του παλμού:

υ=s/Δt

Και αν θέλουμε να δώσουμε μια μαθηματική συνάρτηση για την διάδοση του παλμού αυτού; Αν θέλουμε δηλαδή μια κυματοσυνάρτηση  για να περιγράψουμε τόσο τη μορφή του παλμού, όσο και τη θέση του κάποια στιγμή, τι κάνουμε;

Συνέχεια 

ή

Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων…

Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων…

Πρόβλημα διδακτικής στα κύματα. Εξίσωση και φάση κύματος.

Η παρούσα ανάρτηση έχει αφετηρία προφανώς τη γνωστή συζήτηση:

http://ylikonet.gr/group/themata/forum/topics/3647795:Topic:205877?xg_source=activity

Όταν κολλάω κάπου ξαναπιάνω τα πράγματα από την αρχή.

Θα περιοριστώ σε εγκάρσιο κύμα σε ελαστικό μέσον. Πως παρουσιάζεται σε βιβλία Γενικής Φυσικής και πως σε σχολικά εγχειρίδια. Αντιλαμβανόμαστε φυσικά ότι τα δεύτερα επιβάλλεται να απλοποιήσουν την παρουσίαση χρησιμοποιώντας έννοιες προσιτές σε μαθητές. Μία τέτοια, η πηγή του κύματος, βοήθησε σημαντικά το να παρουσιάσουμε την εξίσωση κύματος αλλά τα προβλήματα που συνοδεύουν το θέμα δημιούργησαν «προβλήματα».

Συνέχεια:

Βρείτε το πλάτος ταλάντωσης των κοιλιών στάσιμου κύματος σε χορδή.

Μια χορδή μήκους 1,03 m είναι στερεωμένη στο άκρο Ν. Το ελεύθερο άκρο της Ο ταλαντεύεται με συχνότητα 10 Hz και πλάτος 1 cm. Το κύμα που οδεύει προς τα δεξιά και το ανακλώμενο διαδίδονται με ταχύτητες 20 m/s.

1. Με σημείο αναφοράς το Ν γράψτε τις εξισώσεις του προσπίπτοντος και του ανακλωμένου κύματος.
2. Γράψτε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που προκύπτει.
3. Υπολογίσατε το πλάτος ταλάντωσης των κοιλιών.
4. Τι θα συμβεί αν μειώσω ελάχιστα τη συχνότητα;

Απάντηση:

Δύο σώματα δεμένα σε ελατήριο κινούνται

Τα δύο σώματα του σχήματος ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το ελατήριο φυσικά έχει το φυσικό του μήκος L.

Τη χρονική στιγμή μηδέν το πρόσθιο δέχεται σταθερή οριζόντια δύναμη που έχει φορέα τη διεύθυνση του ελατηρίου.

Υπολογίσατε τη μέγιστη επέκταση του ελατηρίου.

Απάντηση:

Άλλη μία ... περιβάλλουσα

Σώμα βάλλεται από σημείο Α που βρίσκεται σε ύψος Η, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ_ο που σχηματίζει γωνία θ ως προς τον x άξονα (–90º < θ ≤ 90º). Για τις δεδομένες τιμές των Η και υ_ο υπάρχουν σημεία του επιπέδου (x,y) που δεν μπορεί να τα προσπελάσει το σώμα.

Να προσδιορίσετε την περιοχή των σημείων στα οποία μπορεί να φτάσει το σώμα, για κάθε τιμή της γωνίας βολής θ.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μια σύζευξη ταλαντώσεων

A) Ελεύθερη ταλάντωση.

Στην διάταξη του σχήματος τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος και τα σώματα Σ₁, Σ₂ μάζας m ηρεμούν σε λεία οριζόντια ακίνητη βάση.

Την στιγμή t_o=0, με μια στιγμιαία ώθηση, δίνουμε στο σώμα Σ₁ αρχική ταχύτητα υ₀>0. Να βρεθούν οι απομακρύνσεις των δύο σωμάτων από την θέση ισορροπίας τους συναρτήσει του χρόνου.

Β) Εξαναγκασμένη ταλάντωση

Υποθέτουμε ότι η βάση αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση x=Aημωt. Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης κάθε σώματος υποθέτοντας ότι κάθε σώμα κινείται με γωνιακή συχνότητα ω.

Η λύση σε pdf και doc

Βυθίσατε τη σφαίρα. Μια άσκηση με ολίγη Γεωμετρία.

Μια ομογενής και συμπαγής σφαίρα είναι φτιαγμένη από υλικό πυκνότητας 5/32 g/ml. Έχει ακτίνα 0,2 m.

Τοποθετείται στο νερό και φυσικά επιπλέει.

1. Πόσο βυθίζεται;
2. Εκφράσατε τη συνισταμένη άνωσης-βάρους συναρτήσει του βυθίσματος .
3. Εκφράσατε συναρτήσει του βυθίσματος τη δυναμική ενέργεια του σώματος θεωρώντας την μηδέν στη θέση ισορροπίας.
4. Πόσο έργο απαιτείται για να βυθιστεί;

Απάντηση:

Ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης (III). Ένα ενδιαφέρον δυναμικό.

Στην τρίτη αυτή ανάρτηση για την εύρεση του λεγόμενου πρώτου ολοκληρώματος της κίνησης εξετάζουμε ένα δυναμικό που παρουσιάζει ενδιαφέρον...

Ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης (III). Ένα ενδιαφέρον δυναμικό.

Από τον «circulus osculans» στην κεντρομόλο και επιτρόχιο επιτάχυνση

Από τον «circulus osculans» στην κεντρομόλο και επιτρόχιο επιτάχυνση