Μια ελαστική κρούση ράβδων.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ₀=3,8m/s μια ομογενής ράβδος (α) μάζας Μ και μήκους ℓ=1m, χωρίς να στρέφεται, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή συγκρούεται ελαστικά με δεύτερη όμοια ράβδο (β), το μέσον Μ της οποίας βρίσκεται σε ευθεία ε, παράλληλης προς την ταχύτητα υ₀, η οποία περνά από το άκρο Β της πρώτης ράβδου. Το σημείο σύγκρουσης είναι το μέσον της (ΟΒ) και κατά τη διάρκεια της κρούσης δεν αναπτύσσεται δύναμη τριβής μεταξύ των δύο ράβδων. Να υπολογιστούν οι ταχύτητες και οι γωνιακές ταχύτητες των δύο ράβδων μετά την κρούση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=Μℓ²/12.

Απάντηση:

Σύγκρουση ράβδων και στροφορμές.

Δίνονται  δύο ομογενείς ράβδοι της ίδιας μάζας και με μήκη ℓ και 2ℓ, οι οποίες μπορούν να στρέφονται γύρω από οριζόντιους σταθερούς άξονες, που διέρχονται από το ένα άκρο τους και οι οποίες ισορροπούν σε κατακόρυφη θέση, όπως στο σχήμα, όπου η απόσταση μεταξύ τους είναι 1mm.  Εκτρέπουμε την μικρή από τη θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε να κινηθεί. Φτάνοντας στην θέση ισορροπίας της έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω₀=2rad/s και συγκρούεται ελαστικά με την δεύτερη. Εξαιτίας της μικρής μεταξύ τους απόστασης, το άκρο Α της πρώτης, συγκρούεται με το άκρο Β της δεύτερης. 

Να βρεθούν οι γωνιακές ταχύτητες των δύο ράβδων μετά την κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το ένα της άκρο Ι= 1/3 Μℓ².
Απάντηση:

ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΩΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

       Στα επόμενα θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε την κβάντωση της στροφορμής στο ημικλασσικό μοντέλο του Bohr για το άτομο του υδρογόνου. Στα περισσότερα εισαγωγικά βιβλία κβαντομηχανικής η κβάντωση της στροφορμής αναφέρεται σαν μια από τις δύο συνθήκες που εισήγαγε ο Bohr για το μοντέλο του υδρογόνου. Και βέβαια εύλογη είναι η απορία πως κατέληξε ο Bohr στη συγκεκριμένη συνθήκη, ή γιατί θεώρησε την στροφορμή ακέραιο πολλαπλάσιο του h bar  και όχι του h ή κάποιας άλλης σταθεράς.

       Αλλά ας δούμε πως περιγράφει ο ίδιος ο Bohr τις δύο «συνθήκες» του:

ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΩΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

Μισό-μισό.

Ομογενής ράβδος μήκους l και μάζας M είναι αναρτημένη από οριζόντιο άξονα Α, γύρω από τον οποίο μπορεί να περιστραφεί από κατακόρυφο επίπεδο. Στον ίδιο άξονα Α είναι δεμένο αβαρές νήμα με το ίδιο μήκος l, στο άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σφαιρίδιο μάζας m .Αρχικά το νήμα είναι τεντωμένο στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο και το σφαιρίδιο βρίσκεται σε  πολύ  μικρό ύψος h πάνω από το κατώτερο σημείο της ράβδου. Στη συνέχεια το σφαιρίδιο αφήνεται ελεύθερο και προσκρούει στο άκρο της ράβδου και συγκρούεται με αυτή ελαστικά. Μετά την κρούση το σφαιρίδιο ακινητοποιείται. Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες.

Α)Ποια η σχέση των μαζών του σφαιριδίου και της ράβδου για επαναλαμβάνεται το γεγονός αυτό περιοδικά;

B) Ποια η περίοδος του παραπάνω φαινομένου.

Δίνεται για την ράβδο Ia=1/3 Mℓ²

Απάντηση:

Το πρόβλημα 5.41 με τριβή

Ας θυμηθούμε το πρόβλημα του σχολικού βιβλίου όπου μια σφαίρα κινούμενη με ταχύτητα προσέπιπτε σε ακίνητη ίδιας μάζας και δείχναμε ότι αν η κρούση ήταν ελαστική οι δυο σφαίρες μετά την κρούση εκινούντο σε διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους.

Αν όμως υπάρχει τριβή;

Συνέχεια:

Η πολυθρόνα λίκνισης* (The rocking chair)

Η πολυθρόνα λίκνισης* (The rocking chair)

Ο ΤΡΙΤΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ KEPLER (ΜΕ ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ)

        Με αφορμή την ανάρτηση του Δημήτρη Αναγνώστου: «Άσκηση με Κίνηση Δορυφόρου»  μια προσπάθεια «εξαγωγής» του τρίτου νόμου του Kepler με τη βοήθεια της διαστατικής ανάλυσης....

Ο ΤΡΙΤΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ KEPLER (ΜΕ ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ)

Ηλεκτρικό-Μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό του ατόμου (Σύμφωνα με την ημικλασσική θεωρία του Bohr).

         Στα επόμενα θα προσπαθήσουμε να βρούμε την τιμή του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργεί ο πυρήνας στη θέση που βρίσκεται το ηλεκτρόνιο και του μαγνητικού πεδίου που προκαλεί η περιστροφή του ηλεκτρονίου στην θέση του πυρήνα. Θα θεωρήσουμε το απλούστερο δυνατό άτομο, το άτομο του υδρογόνου και θα υποθέσουμε ότι η κατάσταση μέσα στο άτομο περιγράφεται από τη γνωστή μας θεωρία του Bohr...

Ηλεκτρικό-Μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό του ατόμου (Σύμφωνα με την ...

¨Ένας δακτύλιος με μια μπίλια

Θεωρούμε ένα κατακόρυφο δακτύλιο ακτίνας R και μάζας m1 στο εσωτερικό του οποίου έχει προσκολληθεί σφαιρίδιο αμελητέων διαστάσεων μάζας m2. O δακτύλιος μπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο.
Αρχικά η διακεντρική ευθεία των δύο σωμάτων είναι κατακόρυφη με το σφαιρίδιο στην ανώτερη θέση. Δίνουμε μια μικρή ώθηση στο σφαιρίδιο και ο δακτύλιος αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση του δακτυλίου συναρτήσει της γωνίας στροφής φ. Εφαρμογή για φ=π/2

Απάντηση

Διατήρηση στροφορμής , διατήρηση ενέργειας και κεντρομόλος δύναμη.

Το ,αμελητέας μάζας, σύρμα του σχήματος έχει καμφθεί ώστε να σχηματίζει Γ.

Μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές όπως δείχνει το σχήμα.

Τα σώματα του σχήματος μπορούν να ολισθαίνουν στο σύρμα χωρίς τριβές στις οπές που φέρουν. Συνδέονται με αβαρές , μη εκτατό νήμα με την συνδρομή τροχαλίας αμελητέας μάζας.

Οι μάζες είναι Μ = 1 kg και m = 0,5 kg ενώ g = 10 m/s².

1. Όταν η ακτίνα περιστροφής του m είναι 20 cm το Μ ισορροπεί. Βρείτε την γωνιακή ταχύτητα.
2. Αν στο σώμα μάζας Μ κρεμάσουμε σώμα μάζας 7 kg πόσο θα μετατοπιστεί το Μ μέχρι να ακινητοποιηθεί;
3. Σε ποια θέση θα αποκτήσει το Μ τη μεγαλύτερη ταχύτητά του;
4. Υπολογίσατε την μέγιστη ταχύτητα.
5. Τι κίνηση εκτελεί το Μ ,πριν του κρεμάσουμε το άλλο ,αν εκτραπεί ελάχιστα από τη θέση ισορροπίας του;

Απάντηση:

Η σφαίρα και η σφήνα

Η συμπαγής και ομογενής σφαίρα του σχήματος έχει μάζα m , ακτίνα R και κυλίεται χωρίς ολίσθηση στη σφήνα μάζας Μ. Μεταξύ σφήνας και δαπέδου δεν υπάρχουν τριβές. Σφαίρα και σφήνα είναι αρχικά ακίνητες.

Βρείτε την ταχύτητα της σφήνας όταν η σφαίρα θα έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά h.

Απάντηση:

ΜΙΑ ΡΑΒΔΟΣ ...ΚΑΙ ΕΝΑΣ ΜΟΝΟΛΟΓΟΣ

ΜΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΦΙΕΡΩΜΕΝΗ ΣΤΟΝ...ΒΑΓΓΕΛΗ ΚΟΥΝΤΟΥΡΗ

AΠΑΝΤΗΣΗ

Μήκος, Χρόνος, Ενέργεια, Μάζα Planck

Είναι σε όλους μας γνωστό το γεγονός ότι σε επίπεδο μορίων, ατόμων και στοιχειωδών σωματιδίων, η βαρύτητα θεωρείται αμελητέα. Έχει λοιπόν ενδιαφέρον να μελετήσουμε τα ακόλουθα ερωτήματα: Σε ποια απόσταση μεταξύ δύο σωματιδίων γίνεται η βαρύτητα το ίδιο σημαντική με τις υπόλοιπες αλληλεπιδράσεις; Αν υποθέσουμε ότι αμέσως μετά τη μεγάλη έκρηξη όλες οι αλληλεπιδράσεις ήσαν ενοποιημένες, μέχρι ποια περίπου χρονική στιγμή ίσχυε αυτό; Σε ποια περιοχή ενέργειας θα περιμέναμε να δούμε τα αποτελέσματα μιας θεωρίας ενοποίησης της βαρύτητας με τις υπόλοιπες αλληλεπιδράσεις;

      Θα προσπαθήσουμε να δούμε τα ερωτήματα αυτά με τη βοήθεια της διαστατικής ανάλυσης.

Μήκος, Χρόνος, Ενέργεια, Μάζα Planck 

Ένα απλό επιταχυνσιόμετρο

      Ας θεωρήσουμε λοιπόν ένα σωλήνα,  λυγισμένο όπως φαίνεται στο σχήμα, ο οποίος περιέχει νερό, και ο οποίος με κάποιο τρόπο είναι στερεωμένος και τοποθετημένος σε ένα όχημα. Στη διάρκεια λοιπόν που το όχημα επιταχύνεται, το νερό στα δύο σκέλη του σωλήνα φτάνει σε ύψη  και Θεωρούμε ότι η διάμετρος του σωλήνα είναι μικρή (σε σχέση με τα ύψη και )....

Ένα απλό επιταχυνσιόμετρο

Ταλάντωση ημικυλινδρικής ράβδου

Δείξατε ότι αν μια ημικυλινδρική ράβδος εκτραπεί από την θέση της κατά μικρή γωνία αυτή εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και υπολογίσατε την περίοδό της.

Η ράβδος δεν ολισθαίνει στο έδαφος.

Απάντηση:

Ένα αρμονικό κύμα χωρίς ασυνέχειες και κόχες

Τα κύματα που μελετάμε είναι ανύπαρκτα. Παρουσιάζουν παθολογίες, οι οποίες δεν μπορούν να γίνουν αποδεκτές από έναν Φυσικό. Προεξάρχουσα παθολογία η ασυνέχεια της συνάρτησης v(x,t) στο μέτωπο του κύματος.
Με την παρούσα ανάρτηση προσπαθώ να εξομαλύνω την κατάσταση κάνοντάς τα πιο πραγματικά।

συνέχεια σε  ή  

Η αρχική φάση σε ένα κύμα δεν είναι πάντα αποτέλεσμα χρονικής καθυστέρησης

Θεωρούμε το επόμενο πρόβλημα
Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο ισορροπεί κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Ox ενός συστήματος συντεταγμένων।Απομακρύνουμε τα σημεία του μέσου από την θέση ισορροπίας τους κατά μήκος της καμπύλης

Την στιγμή t=0 τα σημεία του μέσου αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν και ταυτόχρονα η άκρη Ο αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση y=Aσυν(ωt), με αποτέλεσμα στο μέσο να διαδοθεί εγκάρσιο κύμα με ταχύτητα υ.
Αν ισχύει ότι υ=λf να βρεθούν
i) Η εξίσωση του παραγόμενου κύματος
ii) Το στιγμιότυπο τις στιγμές t=T/4, T/2, T
iii) Οι κυματομορφές για τα σημεία x=λ/8, λ/4, λ/2, λ

Η συνέχεια  σε   ή σε 

Δοχείο με νερό επιταχύνεται

Όταν ένα δοχείο επιταχύνεται πως συμπεριφέρεται το νερό;
Απάντηση:

ΜΙΑ ΑΣΚΗΣΗ… ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΙΑ ΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΣTO ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ

AΠΑΝΤΗΣΗ

Κίνηση με αντίσταση ανάλογη της n-οστής δύναμης της ταχύτητας

Ένα σώμα μάζας m κινείται κατά μήκος του άξονα των x, έτσι ώστε τη χρονική στιγμή t=0 να βρίσκεται  στη θέση x=0 και να έχει ταχύτητα υ = υ0. Το σώμα εισέρχεται σε μέσο που του ασκεί δύναμη της μορφής: F=-kυ^n (δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση και έχει μέτρο ανάλογο της νιοστής δύναμης της ταχύτητας). Με την είσοδο του σώματος στο μέσο, θεωρείστε ότι η μόνη δύναμη που του ασκείται είναι η αντίσταση του μέσου. Να μελετηθεί η κίνηση του σώματος.


Κίνηση με αντίσταση ανάλογη της n-οστής δύναμης της ταχύτητας