Όταν το σχοινί δεν έχει αμελητέα μάζα

Αβαρής τροχαλία ακτίνας R μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχαλίας και διέρχεται από το κέντρο της.
Ένα μη εκτατό σχοινί μάζας m κα μήκους ℓ έχει τοποθετηθεί στο αυλάκι της τροχαλίας. Αρχικά το σχοινί βρίσκεται σε ισορροπία όπως στο σχήμα. Δίνουμε μια μικρή ώθηση στο άκρο Δ του σχοινιού με αποτέλεσμα το άκρο Δ να κατεβαίνει και το άκρο Α να ανεβαίνει.
Να βρεθούν συναρτήσει της μετατόπισης y του άκρου Δ του σχοινιού:
Α) Το μέτρο της ταχύτητας των σημείων του σχοινιού.
Β) Το μέτρο της επιτάχυνσης του άκρου Δ του σχοινιού.
Γ) Η δύναμη που ασκείται στην τροχαλία από τον άξονα।
Απάντηση

Τροχαλία προσαρμοσμένη σε ράβδο

Λύση:

Συμβολή ή διακρότημα;

Έστω δυο πηγές αρμονικού ήχου στις θέσεις x=0 και x₂=6m, ενός ακίνητου συστήματος αναφοράς xΟy, όπως στο σχήμα, όπου στη θέση x₁=1m βρίσκεται ακίνητος ο παρατηρητής Α.

Τη στιγμή t=0 οι δυο πηγές αρχίζουν ταυτόχρονα να ταλαντώνονται με εξίσωση:

y= A∙ημ340πt  (μονάδες στο S.Ι.)

οπότε παράγονται δύο ήχοι που διαδίδονται στη διεύθυνση x, με ταχύτητα υ=340m/s.

(Στα παρακάτω, θα αντιμετωπίσουμε τον ήχο με τις γνωστές εξισώσεις όπως και στα εγκάρσια κύματα, αφού μας είναι πιο οικεία τα πράγματα, παρότι στα διαμήκη τα πράγματα είναι μάλλον αντίστροφα, αφού αυτό που ενδιαφέρει είναι οι μεταβολές της πίεσης και όχι η απομάκρυνση, με αποτέλεσμα π.χ. στους δεσμούς να έχουμε μέγιστο πλάτος. Μπορείτε να δείτε κάτι σχετικό από εδώ.).

Ποιες είναι οι εξισώσεις των κυμάτων που παράγονται; Από την εξίσωση υ=λ∙f, βρίσκουμε:

Η συνέχεια σε pdf.

Με τον εσωτερικό μπροστινό τροχό στον αέρα !

Ή αλλιώς με το ... traction-control στη θέση OFF !
 

Οι πιο πάνω εικόνες, το «σήκωμα» δηλαδή του εσωτερικού τροχού στον αέρα, πάνω στην κορυφή μιας στροφής, ήταν συνηθισμένες στα «πισωκίνητα» αυτοκίνητα που συμμετείχαν στους αγώνες αυτοκινήτων των δεκαετιών 1960 – 70.
Ιδιαίτερα, μόλις ο οδηγός πατούσε γκάζι για να επιταχύνει εξερχόμενος από τη στροφή, τα πιο ισχυρά αυτοκίνητα είχαν την τάση να ανασηκώνουν τον εσωτερικό τροχό στον αέρα και η εικόνα αυτή είχε γίνει «σήμα κατατεθέν» μερικών αυτοκινήτων της εποχής που παρουσίαζαν έντονα την τάση αυτή στις αγωνιστικές εκδόσεις τους, όπως π.χ. οι BMW 2002, Alfa Romeo Junior (GTA, GTAm), NSU 1200ΤΤ, κλπ.
Το φαινόμενο αυτό ήταν ιδιαίτερα έντονο στις σχετικά κλειστές στροφές των σιρκουί και των αναβάσεων.
Η καλύτερη θέση για να το «απολαύσει» κανείς και να το φωτογραφήσει ήταν η εξωτερική κορυφή προς την έξοδο της στροφής, που όμως ήταν και το σημείο στο οποίο κατέληγε το αυτοκίνητο, αν «αποφάσιζε» να εγκαταλείψει το δρόμο!
Στα σημερινά αυτοκίνητα δεν παρατηρείται πλέον κάτι τέτοιο, διότι η εξέλιξη στην τεχνολογία των αναρτήσεων, των αντιστρεπτικών δοκών και γενικότερα στη σχεδίαση του αμαξώματος δεν επιτρέπουν πλέον σ’ αυτό να παίρνει περίεργες κλίσεις και το αναγκάζουν να διατηρείται κατά το δυνατόν οριζόντιο.
Πώς ερμηνεύεται λοιπόν αυτό το φαινόμενο;
Διαβάστε τη συνέχεια ΕΔΩ

"ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

Είναι παλιά η συζήτηση για το εάν τα μαθηματικά υπηρετούν τις ανάγκες της Φυσικής ή οι δύο αυτές επιστήμες είναι συνυφασμένες τόσο στενά μεταξύ τους,...Συνέχεια

Δύο δίσκοι με ιμάντα και οι γωνιακές τους ταχύτητες

Πώς σχετίζονται οι γωνιακές ταχύτητες δύο δίσκων συνδεδεμένων με ιμάντα;

Ισχύει πάντα ω₁·R₁ = ω₂·R₂ ;

Διαβάστε τη συνέχεια … ΕΔΩ

Μια σύνθετη κίνηση ράβδου.

Μόνο για καθηγητές

Μια ομογενής ράβδος μάζας 0,4kg και μήκους l=2,4m ηρεμεί στην επιφάνεια μιας παγωμένης λίμνης. Σε μια στιγμή δέχεται στιγμιαίο λάκτισμα στο ένα της άκρο Α. Αν δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου Ι=1/12 Μℓ²:

i)  Να βρεθεί ένα σημείο της ράβδου Ρ, το οποίο να έχει μηδενική ταχύτητα, αμέσως μετά το λάκτισμα.

ii) Αν ω=12rad/s να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια που απέκτησε η ράβδος.

Απάντηση:

ή με κλικ ΕΔΩ.

Δυο δαχτυλίδια συγκρούονται

Δυο εντελώς ίδια δαχτυλίδια μάζας m βρίσκονται σε λεία οριζόντια επιφάνεια. Το πρώτο κινείται με ταχύτητα υ και στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω και το δεύτερο είναι ακίνητο. Συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά και η μεταξύ τους τριβή τα αναγκάζει όταν αποκολλώνται να περιστρέφονται χωρίς να παρατηρείται ολίσθηση μεταξύ τους.

1. Υπολογίσατε την ταχύτητα και την γωνιακή ταχύτητα κάθε δαχτυλιδιού μετά την κρούση.

2. Ποιος πρέπει να είναι ο ελάχιστος συντελεστής τριβής ώστε να παρατηρηθούν τα ανωτέρω ;

3. Αν ο συντελεστής τριβής έχει μικρότερη τιμή από την ανωτέρω να υπολογίσετε την ταχύτητα και την γωνιακή ταχύτητα κάθε δαχτυλιδιού μετά την κρούση.

4. Διατηρείται η μηχανική ενέργεια ;

Απάντηση:

1ος και 2ος νόμος του Euler

Η άσκηση μιας δύναμης σ’ ένα σημείο ενός στερεού προκαλεί μεταφορά ή και περιστροφή όλων των υλικών του σημείων. Πως μεταφέρεται αυτή η δύναμη στα υπόλοιπα σημεία του στερεού;

Απάντηση

Και τελικά τι κάνει η σφαίρα;

Η άσκηση Μια σφαίρα  σε σωλήνα είχε ένα ακόμη ερώτημα. Προβληματίστηκα αν θα πρέπει να το δώσω, θεωρώντας το δύσκολο. Έτσι δεν υπήρχε στην αρχική ανάρτηση. Αυτές τις μέρες σκεφτόμουν, ότι πολλές φορές όταν εφαρμόζουμε την αρχή διατήρηση της στροφορμής, οι μαθητές μας συναντούν ιδιαίτερη δυσκολία να κατανοήσουν τι συμβαίνει με τις ενέργειες ή τους φαίνεται περίεργη η κατάσταση. Δίνω λοιπόν το ερώτημα αυτό, απευθύνοντάς το όμως, μόνο στους συναδέλφους και όχι σε μαθητές.

……………………………..

Ένας σωλήνας μήκους ℓ₁=6m, μπορεί να περιστρέφεται οριζόντια, γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο του Ο και είναι ακίνητος. Τοποθετούμε στο εσωτερικό του μια σφαίρα μάζας 4kg την οποία δένουμε με ελατήριο σταθεράς k=50Ν/m με μήκος 2m, το άλλο άκρο του οποίου δένεται στη βάση του σωλήνα. Κάποια στιγμή ασκούμε στο άλλο άκρο του σωλήνα Α οριζόντια δύναμη  σταθερού μέτρου F=10Ν, η οποία παραμένει συνεχώς κάθετη στον άξονα του σωλήνα.

 Έτσι το σύστημα αρχίζει να περιστρέφεται. Μετά από λίγο καταργούμε τη δύναμη και παρατηρούμε ότι τελικά^* η σφαίρα εκτελεί κυκλική κίνηση και το μήκος του ελατηρίου είναι πλέον 4m. Αν δεν υπάρχουν τριβές και η ροπή αδράνεια του σωλήνα ως προς τον άξονα περιστροφής είναι Ι=120kg∙m², ζητούνται:

    i)   Η τελική γωνιακή ταχύτητα του σωλήνα.

ii)  Ο αριθμός των περιστροφών του σωλήνα για όσο χρόνο ασκείται η δύναμη F.

iii) Σε μια στιγμή ενώ έχει αποκατασταθεί μόνιμη κατάσταση, η σφαίρα λύνεται από το ελατήριο. Ποια θα είναι τελικά η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σωλήνα;

iv)  Τη στιγμή που η σφαίρα εγκαταλείπει το σωλήνα, ποια γωνία θα σχηματίζει η ταχύτητά της με τον άξονα του σωλήνα;

^*Τελικά: Η σφαίρα θα εκτελεί για αρκετό  διάστημα μια ιδιόμορφη ταλάντωση μέχρι που να αποκατασταθεί μόνιμη κατάσταση.

Απάντηση:
ή

Και τελικά τι κάνει η σφαίρα;

Ο ΣΤΙΓΜΙΑΙΟΣ ΑΞΟΝΑΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΘΕΩΡΗΜΑ EULER ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ
Ο Leonard Euler παρουσιάζει στην ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης στις 9 Οκτωβρίου
1775 το ομώνυμο θεώρημα το οποίο δημοσιεύεται για πρώτη φορά στο “Novi Commentarii
academiae scientiarum Petropolitanae 20, pages 189-207” το 1776.
Συνέχεια...

Κάποια κυκλώματα.

Επίλυση κάποιων κυκλωμάτων.

Συνέχεια.

Ο ΜΑΚΡΟΚΟΣΜΟΣ, Ο ΜΙΚΡΟΚΟΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟ ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ. ΜΙΑ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ

Αφορμή για την παρούσα ανάρτηση αποτέλεσε μια παλιά ιδέα για το πώς θα ήταν ενδεχομένως, τα πράγματα στην περίπτωση που οι ενδιαφερόμενοι να σπουδάσουν κάποια από τις Θετικές Επιστήμες ή και ειδικότερα...

Συνέχεια...

Προσπαθώντας να κατανοήσουμε τα κύματα.

Το προηγούμενο διάστημα έγιναν αρκετές συζητήσεις, κάτω από αναρτήσεις τις οποίες μπορείτε να διαβάσετε από εδώ, εδώ, εδώ, αλλά και τη συζήτηση «Στάσιμο κύμα απορία μαθητή», με διάφορες αφορμές πάνω στα κύματα, τρέχοντα και στάσιμα. Είναι ώρα λοιπόν νομίζω να κωδικοποιήσουμε κάποια ερωτήματα, προσπαθώντας να καταλήξουμε σε κάποια τελικά συμπεράσματα και να μην πάει χαμένο όλο αυτό το υλικό που αναφέρθηκε. Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους βοήθησαν με τις παρεμβάσεις τους στο να καταλήξουμε  στα συμπεράσματα που αναφέρω παρακάτω. Χωρίς την ανταλλαγή επιχειρημάτων, πολλές φορές αντίθετων, δεν νομίζω ότι θα μπορούσαν να προκύψουν με σαφή τρόπο όλα αυτά.

Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να μοντελοποιήσουμε ένα κύμα, για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε το μηχανισμό μεταφοράς ενέργειας.

Το τρέχον κύμα

Ας έρθουμε κατ’ αρχάς στο τρέχον κύμα σε ένα ελαστικό μέσο. Ας το φανταστούμε σαν μια σειρά ευδιάκριτων υλικών σημείων, τα οποία συνδέονται με ελατήρια, όπου όλα είναι τεντωμένα κατά Δl και βρίσκονται στη θέση ισορροπίας τους.

Τι συμβαίνει όταν το άκρο Ο τεθεί από τη πηγή σε (εξαναγκασμένη) ταλάντωση πλάτους Α και συχνότητας f;

Στο παραπάνω σχήμα το Α υλικό σημείο έχει φτάσει στη μέγιστη θετική απομάκρυνσή του και έχει σχεδιαστεί το κύμα να έχει φτάσει μέχρι το υλικό σημείο Δ, δηλαδή έχει διαδοθεί κατά λ/4. Από τι εξαρτάται η απόσταση αυτή λ/4;

1)     Από  το μέτρο της δύναμης που ασκείται από τα ελατήρια στα υλικά σημεία F=kΔl. Και αν μεν η σταθερά k εξαρτάται από το υλικό, η επιμήκυνση των ελατηρίων καθορίζεται από την τάση που τεντώνει το ελαστικό μέσο.

2)     Από τη μάζα κάθε υλικού σημείου ή αν θέλετε από την αδράνεια που προβάλλει το μέσο, σαν μέτρο της απόκρισής του.

Πώς εκφράζονται αυτά μαθηματικά; Μα, το μήκος κύματος (λ=υΤ) εξαρτάται από την ταχύτητα διάδοσης η οποία είναι ίση με:

 (η απόδειξη από το Νίκο Σταματόπουλο εδώ.)

Ας παρακολουθήσουμε στο παρακάτω σχήμα τις θέσεις των υλικών σημείων μετά από χρόνο Τ/2.

όπου οι κόκκινες γραμμές παριστάνουν τα ελατήρια.

Τι βλέπουμε; Όσο πιο κοντά στη θέση ισορροπίας βρίσκεται το ελατήριο τόσο περισσότερο τεντωμένο είναι, συνεπώς έχει και μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια. Στο σχήμα μας, μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια έχουν τα ελατήρια 1 και 6, ενώ μικρότερη τα ελατήρια 3 και 4.  Μετά από ελάχιστο χρόνο ίσο με Τ/12 η εικόνα θα είναι όπως στο σχήμα (γ).

Το ελατήριο 6 έχει τώρα μικρότερη ενέργεια, αφού μετέφερε ένα μέρος της δυναμικής του  ενέργειας στο (7) μέσω του υλικού σημείου Η, ενώ πήρε και κάποια ενέργεια από το υλικό σημείο Ζ…

Πού κολλάνε όλα αυτά;  Μα στο συμπέρασμα που ανέφερε ο Στέργιος:

«Σ' αυτήν ακριβώς τη θέση η επιμήκυνση του ελαστικού μέσου θα είναι μέγιστη, άρα και η ελαστική δυναμική ενέργεια. Επίσης σ' αυτή τη θέση η κινητική ενέργεια θα είναι μέγιστη. Παράξενα πράματα! Αντίθετα στην ακραία θέση η ΚΕ και η ελαστική ΔΕ θα είναι μηδέν, εφόσον εκεί το μέσον δεν έχει ταθεί σχεδόν καθόλου πριν και μετά το εν λόγω σημείο. ΔΗΛΑΔΗ: Η συνολική ενέργεια δεν είναι σταθερή από σημείο σε σημείο, και αυτό δικαιολογεί την πρόταση ότι η ενέργεια διαδίδεται κατά μήκος του ελαστικού μέσου.»

Στο σημείο αυτό νομίζω αξίζει να τονισθούν δυο προτάσεις διατυπωμένες από το Διονύση Μητρόπουλο:

«Νομίζω πάντως ότι είναι δεδομένο πως τα στοιχειώδη τμήματα του νήματος  δεν κάνουν ΑΑΤ, αφού πρόκειται για εξαναγκασμένη ταλάντωση….. 

Υπάρχει δηλαδή και προσφορά ενέργειας (από το προηγούμενο τμήμα του νήματος) και απώλεια (προς το επόμενο τμήμα κατά τη φορά διάδοσης του κύματος).»

Με βάση τα παραπάνω νομίζω ότι είναι λογικό να διατυπωθούν τα παρακάτω συμπεράσματα:

1)  Τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου, δεν εκτελούν ΑΑΤ. Ταλαντώνονται με τη συχνότητα του διεγέρτη (της πηγής) εκτελώντας μια «εξαναγκασμένη» ταλάντωση, όχι όμως με τα ίδια χαρακτηριστικά αυτής που μελετάμε στο κεφάλαιο των ταλαντώσεων, αφού εδώ έχουμε και μεταφορά ενέργειας, ενώ εκεί η μεταβιβαζόμενη στον ταλαντωτή ενέργεια, αφαιρείται μέσω του έργου της δύναμης απόσβεσης.

2)  Αν εστιάσουμε την προσοχή μας σε μια στοιχειώδη μάζα δεν έχει νόημα να μιλάμε για την ενέργεια ταλάντωσής της. Πέρα από το ότι η ταλάντωσή της δεν είναι ΑΑΤ, δεν έχουμε ούτε καν ένα σώμα με μια σταθερή «στατική», «εγκλωβισμένη» ενέργεια που να μεταβάλλεται από δυναμική σε κινητική και αντίστροφα.

  

Στάσιμο κύμα.

Το παραπάνω μοντέλο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και κατά τη μελέτη ενός στάσιμου κύματος. Ας δούμε το παρακάτω σχήμα, όπου στο (α) τα σημεία βρίσκονται σε θέσεις πλάτους.

Σε ποιες θέσεις τα ελατήρια έχουν μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης; Προφανώς αυτά που είναι κοντά στα άκρα, δηλαδή κοντά στους δεσμούς, ενώ αντίθετα τα ελατήρια 3,4 έχουν τη μικρότερη επιμήκυνση. Κατά την κίνησή τους όμως μεγαλύτερη κινητική ενέργεια θα αποκτήσουν τα υλικά σημεία που είναι στο μέσον του τμήματος, γύρω από τις κοιλίες. Παρατηρούμε δηλαδή ότι στη διάρκεια της ταλάντωσης, έχουμε και εδώ μεταφορά ενέργειας, στο στιγμιότυπο (β) από τα άκρα προς το κέντρο, ενώ στο (δ) από το κέντρο (κοιλία) προς τα άκρα (δεσμούς), όπως φαίνεται στο σχήμα (πράσινα βελάκια).

Με άλλα λόγια και στο στάσιμο κύμα έχουμε μεταφορά ενέργειας, απλά η ενέργεια αυτή έχει εγκλωβιστεί στο χώρο μεταξύ δύο δεσμών. Συνεπώς ούτε εδώ μπορούμε να μιλάμε για τη μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική για μια στοιχειώδη μάζα του ελαστικού μέσου. Εξάλλου, ούτε εδώ ένα υλικό σημείο εκτελεί ΑΑΤ, αφού και πάλι η ταλάντωσή του είναι εξαναγκασμένη….

Και στη συμβολή;

Αν έχουμε τώρα μια ανάκλαση κύματος σε σταθερό εμπόδιο όπως στο σχήμα;

Ο Νίκος Ανδρεάδης υποστήριξε ότι «Απλά μόλις σχηματίζεται ένας δεσμός αρχίζει η συμβολή του ενός κύματος με το ανακλώμενο του σε εκείνο τον δεσμό μέχρι να σχηματισθεί ο επόμενος δεσμός. Μετά τον σχηματισμό του δεύτερου δεσμού η ενέργεια που υπήρχε εκείνη τη στιγμή ανάμεσα στους δύο δεσμούς εγκλωβίζεται.»

Προχωρώντας τον ίδιο συλλογισμό ο Γιώργος Ρούσης υποστήριξε ότι και στην περίπτωση του σχήματος

Συμβαίνει ακριβώς το ίδιο Τα δύο κύματα συμβάλουν στο σημείο Δ, δημιουργώντας έναν δεσμό, όπου και ανακλώνται. Νομίζω ότι έχουν δίκιο αμφότεροι.

Πραγματικά αν δούμε τι συμβαίνει μετά το σχηματισμό του πρώτου δεσμού, θα δούμε ότι η μεταφορά ενέργειας γίνεται όπως στο σχήμα:

Δηλαδή η ενέργεια που έχει αποθηκευτεί μεταξύ του σημείου Δ₁ και του σημείου Μ του τοίχου, δεν περνάει αριστερότερα αλλά διαδίδεται όπως στο στάσιμο κύμα, προς την κοιλία. Αλλά τότε δεν θα περάσει και άλλη ενέργεια από το τρέχον κύμα προς την περιοχή της πρώτης ατράκτου.

Και ο συντονισμός;

Θα ήθελα να κλείσω και με μια τοποθέτηση- πρόταση.

Τι ακριβώς συμβαίνει με το στάσιμο;

« Όταν σχηματίζεται στάσιμο έχουμε φαινόμενο συντονισμού».

Τι νόημα έχει η παραπάνω πρόταση;

Μια γενική τοποθέτηση είναι ότι όταν έχουμε ένα νήμα με σταθερό το ένα του άκρο και θέσουμε σε ταλάντωση το άλλο του άκρο, δεν έχουμε πρόβλημα συντονισμού, απλά πάνω στο νήμα θα σχηματισθεί ένα στάσιμο, όπου στο ελεύθερο άκρο του, μπορούν να συμβούν τα πάντα. Δεσμός ή κοιλία ή κάποιο ενδιάμεσο πλάτος.

Φαινόμενο συντονισμού έχουμε στην περίπτωση που είναι καθορισμένο εξαρχής, λόγω συνθηκών, τι θα συμβεί πάνω στο νήμα. Αν π.χ. τα δυο του άκρα είναι σταθερά, εκεί θα σχηματισθούν δεσμοί, οπότε για να μπορεί να δημιουργηθεί στάσιμο και όχι μια πολύπλοκη κυματική κατάσταση θα πρέπει η συχνότητα του διεγέρτη να είναι ίση με μια από τις ιδιοσυχνότητες του νήματος.

Γιατί ιδιοσυχνότητες και όχι ιδιοσυχνότητα; Εδώ είναι η διαφορά μεταξύ της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου και μιας μάζας κατανεμημένης σε ορισμένη έκταση (ένα γραμμικό ελαστικό μέσο).

Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.

Y.Γ.

Και μια απόδειξη, περισσότερο μαθηματική.

Συμπέρασμα; Στις θέσεις που η χορδή έχει μεγάλη κλίση έχουμε μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια ή αν θέλετε, στο ανώτερο σημείο (σε μια κορυφή) σε ένα κύμα, αλλά και σε μια κοιλία σε ένα στάσιμο κύμα, η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν!!!

Διάδοση κύματος σε διακριτούς ταλαντωτές-Διασκεδασμός

Με αφορμή τους προβληματισμούς που έθεσε ο Διονύσης Μάργαρης στη συζήτηση για τη δυναμική ενέργεια των σημείων μιας χορδής κατά τη διάδοση ενός κύματος η "άσκηση" αυτή προσπαθεί να ρίξει λίγο φως.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται η διάταξη του σχήματος που αποτελείται από Ν (Ν→∞) όμοια σημειακά σώματα μάζας m το καθένα, τα οποία συνδέονται με όμοια ελατήρια σταθεράς k. Στα άκρα τα δύο σώματα μπορούν να κινούνται πάνω στους οδηγούς χωρίς τριβές. Στη θέση ισορροπίας του συστήματος οι μάζες απέχουν απόσταση α και τα ελατήρια είναι σε επιμήκυνση λόγω της δύναμης που ασκείται από τους οδηγούς (προένταση). Το σώμα που βρίσκεται στο αριστερό άκρο συνδέεται με κατάλληλη μηχανική διάταξη ώστε να εκτελεί αρμονική ταλάντωση.

α) Να βρεθεί η δύναμη επαναφοράς που επενεργεί σε κάθε σώμα.
β) Μπορούμε να αποδώσουμε δυναμική ενέργεια σε κάθε σώμα;
γ) Να βρεθεί το εύρος των συχνοτήτων για το οποίο η διαταραχή αυτή μπορεί να διαδοθεί χωρίς απώλειες. Πώς διαμορφώνεται το αποτέλεσμα για ένα συνεχές μέσο (χορδή); 
δ) Να δείξετε ότι η ταχύτητα διάδοσης του αρμονικού κύματος εξαρτάται από τη συχνότητα(διασκεδασμός). Πώς διαμορφώνεται το αποτέλεσμα για ένα συνεχές μέσο (χορδή); 

Να θεωρήσετε το πλάτος ταλάντωσης μικρό και την δύναμη προέντασης ισχυρή ώστε κάθε σώμα να ταλαντώνεται κάθετα στην ευθεία ισορροπίας του συστήματος. 

Απάντηση: εδώ

Ανάκλαση κύματος και εξαναγκασμένη ταλάντωση - Συντονισμός

Σε μία τεντωμένη χορδή μήκους L το ένα άκρο της Ο συνδέεται με μηχανική διάταξη που το αναγκάζει να εκτελέσει αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Το άλλο άκρο Σ της χορδής συνδέεται μέσω αβαρούς κρίκου με ελατήριο σταθεράς k κινούμενο πάνω σε ακλόνητο οδηγό χωρίς τριβές. Όταν η χορδή είναι στην κατάσταση ισορροπίας το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.

α) Δείξτε ότι το ανακλώμενο κύμα έχει το ίδιο πλάτος με το προσπίπτον.

β) Υπολογίστε το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Σ.

γ) Μελετήστε τις οριακές περιπτώσεις k = 0 και k = ∞ που αντιστοιχούν σε ελεύθερο άκρο και ακλόνητο άκρο αντίστοιχα.

δ) Πώς διαμορφώνονται τα παραπάνω συμπεράσματα στην περίπτωση που η διάταξη γίνεται οριζόντια και ο κρίκος έχει μάζα Μ ;

Θεωρούνται επίσης γνωστά: η γωνιακή συχνότητα ω της πηγής, η μάζα μ ανά μονάδα μήκους της χορδής και η ταχύτητα διάδοσης υ του κύματος. Το βάρος της χορδής θεωρείται αμελητέο και το πλάτος Α πολύ μικρότερο από το μήκος κύματος.

Η συνέχεια ΕΔΩ ή και ΕΔΩ.

 

Κίνηση οχήματος σε ανώμαλο δρόμο

Ένα όχημα μάζας m = 1tn εισέρχεται τη χρονική στιγμή t = 0 σε μακρύ ανώμαλο δρόμο (βλ. σχήμα) του οποίου το ύψος h μεταβάλλεται με την οριζόντια απομάκρυνση x σύμφωνα με τη σχέση: h=Hημ(2πx/λ), όπου H = 15 cm και λ = 3,14 m , ενώ η οριζόντια ταχύτητά του παραμένει σταθερή ίση με υ_ο .

Θεωρούμε ότι τo σύστημα ανάρτησης του οχήματος ισοδυναμεί με ένα ελατήριο σταθεράς k=16.10⁵N/m με μικρό συντελεστή απόσβεσης b και ότι η απόσταση μεταξύ των αξόνων περιστροφής των τροχών είναι λ .
α) Δείξτε ότι το αμάξωμα του οχήματος εκτελεί στον κατακόρυφο άξονα εξαναγκασμένη ταλάντωση ως προς την αρχική θέση ισορροπίας του.
β) Για ποια τιμή του μέτρου της οριζόντιας ταχύτητας υ_ο του οχήματος έχουμε συντονισμό;
γ) Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη τιμή της σταθεράς b ώστε όταν το όχημα έχει οριζόντια ταχύτητα υ_ο = 72 km/h το πλάτος ταλάντωσης του αμαξώματος να μην υπερβαίνει τα 20 cm ;
Θεωρείστε τη μάζα των τροχών αμελητέα και ότι οι τροχοί παραμένουν διαρκώς σε επαφή με το έδαφος. Δίνονται: π=3,14 , συν(α+β)=συνασυνβ - ημαημβ

Απάντηση:

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ - Ο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΚΔΟΧΕΣ ΤΟΥ

Κύκλωμα που αποτελείται από ωμική αντίσταση R, ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L και πυκνωτή χωρητικότητας C σε σειρά, τροφοδοτείται από πηγή εναλλασσόμενης τάσης...
ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μια διαφορετική προσέγγιση στο φαινόμενο Doppler

Ηχητική πηγή κινείται πάνω σε ευθεία, η οποία είναι κάθετη σε επίπεδη ανακλαστική επιφάνεια. Η πηγή μπορεί να εκπέμψει ήχο συχνότητας fs=1 Hz και κινείται προς την ανακλαστική επιφάνεια με σταθερή ταχύτητα υs=50 m/s. Η ανακλαστική επιφάνεια κινείται προς την πηγή με σταθερή ταχύτητα υο =50 m/s. Μεταξύ της πηγής και της ανακλαστικής επιφάνειας υπάρχει παρατηρητής Α, ο οποίος κινείται προς την πηγή με σταθερή ταχύτητα υ1=25 m/s. Ο παρατηρητής διαθέτει κατάλληλη συσκευή λήψης μη ακουστών ήχων, όπως αυτός που εκπέμπει η πηγή. Μια χρονική στιγμή που τη θεωρούμε ως αρχή μέτρησης του χρόνου (t=0) η πηγή αρχίζει να εκπέμπει έναν ηχητικό παλμό χρονικής διάρκειας μιας περιόδου. Την ίδια στιγμή η απόσταση πηγής-ανακλαστικής επιφάνειας είναι d=800m, ενώ η απόσταση ανακλαστικής επιφάνειας-παρατηρητή L=200m. Να υπολογίσετε:
Α) Το φαινόμενο μήκος κύματος του ήχου που λαμβάνει η συσκευή, που διαθέτει ο παρατηρητής, απευθείας από την πηγή.
Β) Τη χρονική στιγμή που η έναρξη του παλμού θα φθάσει στην ανακλαστική επιφάνεια.
Γ) Τη χρονική στιγμή (μετρούμενη από την αρχή μέτρησης του χρόνου) που η έναρξη του παλμού, μετά την ανάκλαση στην επιφάνεια, θα φθάσει στον παρατηρητή.
Δ) Τη χρονική στιγμή (μετρούμενη από την αρχή μέτρησης του χρόνου) που η συσκευή που διαθέτει ο παρατηρητής λαμβάνει τη λήξη του παλμού.
Ε) Τη φαινόμενη περίοδο του ήχου που λαμβάνει η συσκευή που διαθέτει ο παρατηρητής, καθώς και την αντίστοιχη συχνότητα.


Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου, προσεγγιστικά δίνεται: υ=350 m/s


ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μια πραγματικά σύνθετη άσκηση για καθηγητές

Η παραπάνω άσκηση ξεκίνησε από εδώ : http://ylikonet.blogspot.com/2010/02/blog-post_7503.html

Σκαλίζοντάς την δεν μου άρεσε ο χρόνος που έγινε η κρούση σε σχέση με την αντίστοιχη στιγμή που έστειλε η πηγή των κυμάτων το αντίστοιχο κύμα.Πρέπει λοιπόν, αν θέλουμε να είμαστε ακριβείς στην περίπτωση που η πηγή επιταχύνεται στο φαινόμενο Doppler  να γνωρίζουμε την ταχύτητα της πηγής την στιγμή που εκπέμπει το κύμα και όχι όταν αυτό έχει φτάσει στον ανιχνευτή.Bέβαια στην συγκεκριμένη άσκηση το τελικό αποτέλεσμα δεν διαφέρει και πολύ από το αρχικό αποτέλεσμα γιατί οι αποστάσεις είναι σχετικά μικρές.

 Διαβάστε τη συνέχεια από εδώ.