Ο ΣΤΙΓΜΙΑΙΟΣ ΑΞΟΝΑΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΘΕΩΡΗΜΑ EULER ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ
Ο Leonard Euler παρουσιάζει στην ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης στις 9 Οκτωβρίου
1775 το ομώνυμο θεώρημα το οποίο δημοσιεύεται για πρώτη φορά στο “Novi Commentarii
academiae scientiarum Petropolitanae 20, pages 189-207” το 1776.
Συνέχεια...

Κάποια κυκλώματα.

Επίλυση κάποιων κυκλωμάτων.

Συνέχεια.

Ο ΜΑΚΡΟΚΟΣΜΟΣ, Ο ΜΙΚΡΟΚΟΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟ ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ. ΜΙΑ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ

Αφορμή για την παρούσα ανάρτηση αποτέλεσε μια παλιά ιδέα για το πώς θα ήταν ενδεχομένως, τα πράγματα στην περίπτωση που οι ενδιαφερόμενοι να σπουδάσουν κάποια από τις Θετικές Επιστήμες ή και ειδικότερα...

Συνέχεια...

Προσπαθώντας να κατανοήσουμε τα κύματα.

Το προηγούμενο διάστημα έγιναν αρκετές συζητήσεις, κάτω από αναρτήσεις τις οποίες μπορείτε να διαβάσετε από εδώ, εδώ, εδώ, αλλά και τη συζήτηση «Στάσιμο κύμα απορία μαθητή», με διάφορες αφορμές πάνω στα κύματα, τρέχοντα και στάσιμα. Είναι ώρα λοιπόν νομίζω να κωδικοποιήσουμε κάποια ερωτήματα, προσπαθώντας να καταλήξουμε σε κάποια τελικά συμπεράσματα και να μην πάει χαμένο όλο αυτό το υλικό που αναφέρθηκε. Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους βοήθησαν με τις παρεμβάσεις τους στο να καταλήξουμε  στα συμπεράσματα που αναφέρω παρακάτω. Χωρίς την ανταλλαγή επιχειρημάτων, πολλές φορές αντίθετων, δεν νομίζω ότι θα μπορούσαν να προκύψουν με σαφή τρόπο όλα αυτά.

Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να μοντελοποιήσουμε ένα κύμα, για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε το μηχανισμό μεταφοράς ενέργειας.

Το τρέχον κύμα

Ας έρθουμε κατ’ αρχάς στο τρέχον κύμα σε ένα ελαστικό μέσο. Ας το φανταστούμε σαν μια σειρά ευδιάκριτων υλικών σημείων, τα οποία συνδέονται με ελατήρια, όπου όλα είναι τεντωμένα κατά Δl και βρίσκονται στη θέση ισορροπίας τους.

Τι συμβαίνει όταν το άκρο Ο τεθεί από τη πηγή σε (εξαναγκασμένη) ταλάντωση πλάτους Α και συχνότητας f;

Στο παραπάνω σχήμα το Α υλικό σημείο έχει φτάσει στη μέγιστη θετική απομάκρυνσή του και έχει σχεδιαστεί το κύμα να έχει φτάσει μέχρι το υλικό σημείο Δ, δηλαδή έχει διαδοθεί κατά λ/4. Από τι εξαρτάται η απόσταση αυτή λ/4;

1)     Από  το μέτρο της δύναμης που ασκείται από τα ελατήρια στα υλικά σημεία F=kΔl. Και αν μεν η σταθερά k εξαρτάται από το υλικό, η επιμήκυνση των ελατηρίων καθορίζεται από την τάση που τεντώνει το ελαστικό μέσο.

2)     Από τη μάζα κάθε υλικού σημείου ή αν θέλετε από την αδράνεια που προβάλλει το μέσο, σαν μέτρο της απόκρισής του.

Πώς εκφράζονται αυτά μαθηματικά; Μα, το μήκος κύματος (λ=υΤ) εξαρτάται από την ταχύτητα διάδοσης η οποία είναι ίση με:

 (η απόδειξη από το Νίκο Σταματόπουλο εδώ.)

Ας παρακολουθήσουμε στο παρακάτω σχήμα τις θέσεις των υλικών σημείων μετά από χρόνο Τ/2.

όπου οι κόκκινες γραμμές παριστάνουν τα ελατήρια.

Τι βλέπουμε; Όσο πιο κοντά στη θέση ισορροπίας βρίσκεται το ελατήριο τόσο περισσότερο τεντωμένο είναι, συνεπώς έχει και μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια. Στο σχήμα μας, μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια έχουν τα ελατήρια 1 και 6, ενώ μικρότερη τα ελατήρια 3 και 4.  Μετά από ελάχιστο χρόνο ίσο με Τ/12 η εικόνα θα είναι όπως στο σχήμα (γ).

Το ελατήριο 6 έχει τώρα μικρότερη ενέργεια, αφού μετέφερε ένα μέρος της δυναμικής του  ενέργειας στο (7) μέσω του υλικού σημείου Η, ενώ πήρε και κάποια ενέργεια από το υλικό σημείο Ζ…

Πού κολλάνε όλα αυτά;  Μα στο συμπέρασμα που ανέφερε ο Στέργιος:

«Σ' αυτήν ακριβώς τη θέση η επιμήκυνση του ελαστικού μέσου θα είναι μέγιστη, άρα και η ελαστική δυναμική ενέργεια. Επίσης σ' αυτή τη θέση η κινητική ενέργεια θα είναι μέγιστη. Παράξενα πράματα! Αντίθετα στην ακραία θέση η ΚΕ και η ελαστική ΔΕ θα είναι μηδέν, εφόσον εκεί το μέσον δεν έχει ταθεί σχεδόν καθόλου πριν και μετά το εν λόγω σημείο. ΔΗΛΑΔΗ: Η συνολική ενέργεια δεν είναι σταθερή από σημείο σε σημείο, και αυτό δικαιολογεί την πρόταση ότι η ενέργεια διαδίδεται κατά μήκος του ελαστικού μέσου.»

Στο σημείο αυτό νομίζω αξίζει να τονισθούν δυο προτάσεις διατυπωμένες από το Διονύση Μητρόπουλο:

«Νομίζω πάντως ότι είναι δεδομένο πως τα στοιχειώδη τμήματα του νήματος  δεν κάνουν ΑΑΤ, αφού πρόκειται για εξαναγκασμένη ταλάντωση….. 

Υπάρχει δηλαδή και προσφορά ενέργειας (από το προηγούμενο τμήμα του νήματος) και απώλεια (προς το επόμενο τμήμα κατά τη φορά διάδοσης του κύματος).»

Με βάση τα παραπάνω νομίζω ότι είναι λογικό να διατυπωθούν τα παρακάτω συμπεράσματα:

1)  Τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου, δεν εκτελούν ΑΑΤ. Ταλαντώνονται με τη συχνότητα του διεγέρτη (της πηγής) εκτελώντας μια «εξαναγκασμένη» ταλάντωση, όχι όμως με τα ίδια χαρακτηριστικά αυτής που μελετάμε στο κεφάλαιο των ταλαντώσεων, αφού εδώ έχουμε και μεταφορά ενέργειας, ενώ εκεί η μεταβιβαζόμενη στον ταλαντωτή ενέργεια, αφαιρείται μέσω του έργου της δύναμης απόσβεσης.

2)  Αν εστιάσουμε την προσοχή μας σε μια στοιχειώδη μάζα δεν έχει νόημα να μιλάμε για την ενέργεια ταλάντωσής της. Πέρα από το ότι η ταλάντωσή της δεν είναι ΑΑΤ, δεν έχουμε ούτε καν ένα σώμα με μια σταθερή «στατική», «εγκλωβισμένη» ενέργεια που να μεταβάλλεται από δυναμική σε κινητική και αντίστροφα.

  

Στάσιμο κύμα.

Το παραπάνω μοντέλο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και κατά τη μελέτη ενός στάσιμου κύματος. Ας δούμε το παρακάτω σχήμα, όπου στο (α) τα σημεία βρίσκονται σε θέσεις πλάτους.

Σε ποιες θέσεις τα ελατήρια έχουν μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης; Προφανώς αυτά που είναι κοντά στα άκρα, δηλαδή κοντά στους δεσμούς, ενώ αντίθετα τα ελατήρια 3,4 έχουν τη μικρότερη επιμήκυνση. Κατά την κίνησή τους όμως μεγαλύτερη κινητική ενέργεια θα αποκτήσουν τα υλικά σημεία που είναι στο μέσον του τμήματος, γύρω από τις κοιλίες. Παρατηρούμε δηλαδή ότι στη διάρκεια της ταλάντωσης, έχουμε και εδώ μεταφορά ενέργειας, στο στιγμιότυπο (β) από τα άκρα προς το κέντρο, ενώ στο (δ) από το κέντρο (κοιλία) προς τα άκρα (δεσμούς), όπως φαίνεται στο σχήμα (πράσινα βελάκια).

Με άλλα λόγια και στο στάσιμο κύμα έχουμε μεταφορά ενέργειας, απλά η ενέργεια αυτή έχει εγκλωβιστεί στο χώρο μεταξύ δύο δεσμών. Συνεπώς ούτε εδώ μπορούμε να μιλάμε για τη μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική για μια στοιχειώδη μάζα του ελαστικού μέσου. Εξάλλου, ούτε εδώ ένα υλικό σημείο εκτελεί ΑΑΤ, αφού και πάλι η ταλάντωσή του είναι εξαναγκασμένη….

Και στη συμβολή;

Αν έχουμε τώρα μια ανάκλαση κύματος σε σταθερό εμπόδιο όπως στο σχήμα;

Ο Νίκος Ανδρεάδης υποστήριξε ότι «Απλά μόλις σχηματίζεται ένας δεσμός αρχίζει η συμβολή του ενός κύματος με το ανακλώμενο του σε εκείνο τον δεσμό μέχρι να σχηματισθεί ο επόμενος δεσμός. Μετά τον σχηματισμό του δεύτερου δεσμού η ενέργεια που υπήρχε εκείνη τη στιγμή ανάμεσα στους δύο δεσμούς εγκλωβίζεται.»

Προχωρώντας τον ίδιο συλλογισμό ο Γιώργος Ρούσης υποστήριξε ότι και στην περίπτωση του σχήματος

Συμβαίνει ακριβώς το ίδιο Τα δύο κύματα συμβάλουν στο σημείο Δ, δημιουργώντας έναν δεσμό, όπου και ανακλώνται. Νομίζω ότι έχουν δίκιο αμφότεροι.

Πραγματικά αν δούμε τι συμβαίνει μετά το σχηματισμό του πρώτου δεσμού, θα δούμε ότι η μεταφορά ενέργειας γίνεται όπως στο σχήμα:

Δηλαδή η ενέργεια που έχει αποθηκευτεί μεταξύ του σημείου Δ₁ και του σημείου Μ του τοίχου, δεν περνάει αριστερότερα αλλά διαδίδεται όπως στο στάσιμο κύμα, προς την κοιλία. Αλλά τότε δεν θα περάσει και άλλη ενέργεια από το τρέχον κύμα προς την περιοχή της πρώτης ατράκτου.

Και ο συντονισμός;

Θα ήθελα να κλείσω και με μια τοποθέτηση- πρόταση.

Τι ακριβώς συμβαίνει με το στάσιμο;

« Όταν σχηματίζεται στάσιμο έχουμε φαινόμενο συντονισμού».

Τι νόημα έχει η παραπάνω πρόταση;

Μια γενική τοποθέτηση είναι ότι όταν έχουμε ένα νήμα με σταθερό το ένα του άκρο και θέσουμε σε ταλάντωση το άλλο του άκρο, δεν έχουμε πρόβλημα συντονισμού, απλά πάνω στο νήμα θα σχηματισθεί ένα στάσιμο, όπου στο ελεύθερο άκρο του, μπορούν να συμβούν τα πάντα. Δεσμός ή κοιλία ή κάποιο ενδιάμεσο πλάτος.

Φαινόμενο συντονισμού έχουμε στην περίπτωση που είναι καθορισμένο εξαρχής, λόγω συνθηκών, τι θα συμβεί πάνω στο νήμα. Αν π.χ. τα δυο του άκρα είναι σταθερά, εκεί θα σχηματισθούν δεσμοί, οπότε για να μπορεί να δημιουργηθεί στάσιμο και όχι μια πολύπλοκη κυματική κατάσταση θα πρέπει η συχνότητα του διεγέρτη να είναι ίση με μια από τις ιδιοσυχνότητες του νήματος.

Γιατί ιδιοσυχνότητες και όχι ιδιοσυχνότητα; Εδώ είναι η διαφορά μεταξύ της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου και μιας μάζας κατανεμημένης σε ορισμένη έκταση (ένα γραμμικό ελαστικό μέσο).

Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.

Y.Γ.

Και μια απόδειξη, περισσότερο μαθηματική.

Συμπέρασμα; Στις θέσεις που η χορδή έχει μεγάλη κλίση έχουμε μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια ή αν θέλετε, στο ανώτερο σημείο (σε μια κορυφή) σε ένα κύμα, αλλά και σε μια κοιλία σε ένα στάσιμο κύμα, η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν!!!

Διάδοση κύματος σε διακριτούς ταλαντωτές-Διασκεδασμός

Με αφορμή τους προβληματισμούς που έθεσε ο Διονύσης Μάργαρης στη συζήτηση για τη δυναμική ενέργεια των σημείων μιας χορδής κατά τη διάδοση ενός κύματος η "άσκηση" αυτή προσπαθεί να ρίξει λίγο φως.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται η διάταξη του σχήματος που αποτελείται από Ν (Ν→∞) όμοια σημειακά σώματα μάζας m το καθένα, τα οποία συνδέονται με όμοια ελατήρια σταθεράς k. Στα άκρα τα δύο σώματα μπορούν να κινούνται πάνω στους οδηγούς χωρίς τριβές. Στη θέση ισορροπίας του συστήματος οι μάζες απέχουν απόσταση α και τα ελατήρια είναι σε επιμήκυνση λόγω της δύναμης που ασκείται από τους οδηγούς (προένταση). Το σώμα που βρίσκεται στο αριστερό άκρο συνδέεται με κατάλληλη μηχανική διάταξη ώστε να εκτελεί αρμονική ταλάντωση.

α) Να βρεθεί η δύναμη επαναφοράς που επενεργεί σε κάθε σώμα.
β) Μπορούμε να αποδώσουμε δυναμική ενέργεια σε κάθε σώμα;
γ) Να βρεθεί το εύρος των συχνοτήτων για το οποίο η διαταραχή αυτή μπορεί να διαδοθεί χωρίς απώλειες. Πώς διαμορφώνεται το αποτέλεσμα για ένα συνεχές μέσο (χορδή); 
δ) Να δείξετε ότι η ταχύτητα διάδοσης του αρμονικού κύματος εξαρτάται από τη συχνότητα(διασκεδασμός). Πώς διαμορφώνεται το αποτέλεσμα για ένα συνεχές μέσο (χορδή); 

Να θεωρήσετε το πλάτος ταλάντωσης μικρό και την δύναμη προέντασης ισχυρή ώστε κάθε σώμα να ταλαντώνεται κάθετα στην ευθεία ισορροπίας του συστήματος. 

Απάντηση: εδώ

Ανάκλαση κύματος και εξαναγκασμένη ταλάντωση - Συντονισμός

Σε μία τεντωμένη χορδή μήκους L το ένα άκρο της Ο συνδέεται με μηχανική διάταξη που το αναγκάζει να εκτελέσει αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Το άλλο άκρο Σ της χορδής συνδέεται μέσω αβαρούς κρίκου με ελατήριο σταθεράς k κινούμενο πάνω σε ακλόνητο οδηγό χωρίς τριβές. Όταν η χορδή είναι στην κατάσταση ισορροπίας το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.

α) Δείξτε ότι το ανακλώμενο κύμα έχει το ίδιο πλάτος με το προσπίπτον.

β) Υπολογίστε το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Σ.

γ) Μελετήστε τις οριακές περιπτώσεις k = 0 και k = ∞ που αντιστοιχούν σε ελεύθερο άκρο και ακλόνητο άκρο αντίστοιχα.

δ) Πώς διαμορφώνονται τα παραπάνω συμπεράσματα στην περίπτωση που η διάταξη γίνεται οριζόντια και ο κρίκος έχει μάζα Μ ;

Θεωρούνται επίσης γνωστά: η γωνιακή συχνότητα ω της πηγής, η μάζα μ ανά μονάδα μήκους της χορδής και η ταχύτητα διάδοσης υ του κύματος. Το βάρος της χορδής θεωρείται αμελητέο και το πλάτος Α πολύ μικρότερο από το μήκος κύματος.

Η συνέχεια ΕΔΩ ή και ΕΔΩ.

 

Κίνηση οχήματος σε ανώμαλο δρόμο

Ένα όχημα μάζας m = 1tn εισέρχεται τη χρονική στιγμή t = 0 σε μακρύ ανώμαλο δρόμο (βλ. σχήμα) του οποίου το ύψος h μεταβάλλεται με την οριζόντια απομάκρυνση x σύμφωνα με τη σχέση: h=Hημ(2πx/λ), όπου H = 15 cm και λ = 3,14 m , ενώ η οριζόντια ταχύτητά του παραμένει σταθερή ίση με υ_ο .

Θεωρούμε ότι τo σύστημα ανάρτησης του οχήματος ισοδυναμεί με ένα ελατήριο σταθεράς k=16.10⁵N/m με μικρό συντελεστή απόσβεσης b και ότι η απόσταση μεταξύ των αξόνων περιστροφής των τροχών είναι λ .
α) Δείξτε ότι το αμάξωμα του οχήματος εκτελεί στον κατακόρυφο άξονα εξαναγκασμένη ταλάντωση ως προς την αρχική θέση ισορροπίας του.
β) Για ποια τιμή του μέτρου της οριζόντιας ταχύτητας υ_ο του οχήματος έχουμε συντονισμό;
γ) Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη τιμή της σταθεράς b ώστε όταν το όχημα έχει οριζόντια ταχύτητα υ_ο = 72 km/h το πλάτος ταλάντωσης του αμαξώματος να μην υπερβαίνει τα 20 cm ;
Θεωρείστε τη μάζα των τροχών αμελητέα και ότι οι τροχοί παραμένουν διαρκώς σε επαφή με το έδαφος. Δίνονται: π=3,14 , συν(α+β)=συνασυνβ - ημαημβ

Απάντηση:

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ - Ο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΚΔΟΧΕΣ ΤΟΥ

Κύκλωμα που αποτελείται από ωμική αντίσταση R, ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L και πυκνωτή χωρητικότητας C σε σειρά, τροφοδοτείται από πηγή εναλλασσόμενης τάσης...
ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μια διαφορετική προσέγγιση στο φαινόμενο Doppler

Ηχητική πηγή κινείται πάνω σε ευθεία, η οποία είναι κάθετη σε επίπεδη ανακλαστική επιφάνεια. Η πηγή μπορεί να εκπέμψει ήχο συχνότητας fs=1 Hz και κινείται προς την ανακλαστική επιφάνεια με σταθερή ταχύτητα υs=50 m/s. Η ανακλαστική επιφάνεια κινείται προς την πηγή με σταθερή ταχύτητα υο =50 m/s. Μεταξύ της πηγής και της ανακλαστικής επιφάνειας υπάρχει παρατηρητής Α, ο οποίος κινείται προς την πηγή με σταθερή ταχύτητα υ1=25 m/s. Ο παρατηρητής διαθέτει κατάλληλη συσκευή λήψης μη ακουστών ήχων, όπως αυτός που εκπέμπει η πηγή. Μια χρονική στιγμή που τη θεωρούμε ως αρχή μέτρησης του χρόνου (t=0) η πηγή αρχίζει να εκπέμπει έναν ηχητικό παλμό χρονικής διάρκειας μιας περιόδου. Την ίδια στιγμή η απόσταση πηγής-ανακλαστικής επιφάνειας είναι d=800m, ενώ η απόσταση ανακλαστικής επιφάνειας-παρατηρητή L=200m. Να υπολογίσετε:
Α) Το φαινόμενο μήκος κύματος του ήχου που λαμβάνει η συσκευή, που διαθέτει ο παρατηρητής, απευθείας από την πηγή.
Β) Τη χρονική στιγμή που η έναρξη του παλμού θα φθάσει στην ανακλαστική επιφάνεια.
Γ) Τη χρονική στιγμή (μετρούμενη από την αρχή μέτρησης του χρόνου) που η έναρξη του παλμού, μετά την ανάκλαση στην επιφάνεια, θα φθάσει στον παρατηρητή.
Δ) Τη χρονική στιγμή (μετρούμενη από την αρχή μέτρησης του χρόνου) που η συσκευή που διαθέτει ο παρατηρητής λαμβάνει τη λήξη του παλμού.
Ε) Τη φαινόμενη περίοδο του ήχου που λαμβάνει η συσκευή που διαθέτει ο παρατηρητής, καθώς και την αντίστοιχη συχνότητα.


Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου, προσεγγιστικά δίνεται: υ=350 m/s


ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μια πραγματικά σύνθετη άσκηση για καθηγητές

Η παραπάνω άσκηση ξεκίνησε από εδώ : http://ylikonet.blogspot.com/2010/02/blog-post_7503.html

Σκαλίζοντάς την δεν μου άρεσε ο χρόνος που έγινε η κρούση σε σχέση με την αντίστοιχη στιγμή που έστειλε η πηγή των κυμάτων το αντίστοιχο κύμα.Πρέπει λοιπόν, αν θέλουμε να είμαστε ακριβείς στην περίπτωση που η πηγή επιταχύνεται στο φαινόμενο Doppler  να γνωρίζουμε την ταχύτητα της πηγής την στιγμή που εκπέμπει το κύμα και όχι όταν αυτό έχει φτάσει στον ανιχνευτή.Bέβαια στην συγκεκριμένη άσκηση το τελικό αποτέλεσμα δεν διαφέρει και πολύ από το αρχικό αποτέλεσμα γιατί οι αποστάσεις είναι σχετικά μικρές.

 Διαβάστε τη συνέχεια από εδώ.

Και αν αφαιρεθεί το καρφί; Μια λύση με την βοήθεια του προγράμματος mathematica

Ομογενής και ισοπαχής ράβδος μάζας Μ=3Κg και μήκους  L=1m μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο  καρφί   Ο που βρίσκεται στο ένα του άκρο όπως στο παρακάτω σχήμα

Στο άλλο άκρο της ράβδου ασκείται  μεταβλητή  δύναμη F κάθετη πάντα στην ράβδο της οποίας το μέτρο μεταβάλλεται σύμφωνα με την σχέση F=112θ/π² (S.I.) όπου θ η γωνία που θα διαγράφει η ράβδος σε σχέση με την αρχική  οριζόντια θέση. Αν η ράβδος αφεθεί ελεύθερη από την οριζόντια θέση να βρεθούν:

Α)  Η γωνιακή ταχύτητα  της ράβδου όταν η ράβδος έχει διαγράψει γωνία 90^ο  σε σχέση με την αρχική της θέση.

 Β) Ποια η σχέση που θα μπορούσε να δίνει τη  γωνία για την οποία η ράβδος έχει αποκτήσει μέγιστη κινητική ενέργεια για πρώτη φορά μετά την εκκίνησή της.

Την στιγμή  t=0 που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη η δύναμη F καταργείται και αφαιρείται  ακαριαία το οριζόντιο καρφί που βρίσκεται στο σημείο Ο.

Γ)  Πόση είναι  το μέτρο της   γωνιακής ταχύτητας  της ράβδου μετά την αφαίρεση του καρφιού.

Δ)  Τι είδους κίνηση θα εκτελέσει η ράβδος και πόση η συνολική του κινητική ενέργεια την στιγμή t=1s.

Για την ράβδο Ιcm=1/12∙M∙L²

Απάντηση:

Ανύψωση αλυσίδας από το έδαφος

Για τους νοσταλγούς των Δεσμών ... μια απαιτητική άσκηση πάνω στα κεφάλαια 1-2 του παλαιού βιβλίου:

Αλυσίδα μήκους ℓ=2m και μάζας m=2kg βρίσκεται σωριασμένη στο δάπεδο. Την χρονική στιγμή μηδέν ασκούμε στο άκρο της κατακόρυφη δύναμη F τέτοια ώστε να το μετατοπίζει προς τα πάνω συνεχώς με σταθερή ταχύτητα υ=1m/sec. Με τον τρόπο αυτό ανυψώνεται σταδιακά όλη η αλυσίδα με ομαλό τρόπο και χωρίς οι κρίκοι της να κάνουν αναπηδήσεις.
1. Να βρεθεί το μέτρο της δύναμης F σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική παράσταση μέχρι τη στιγμή που το άκρο της αλυσίδας έχει φθάσει σε ύψος h=3m.
2. Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F μέχρι τη στιγμή που η αλυσίδα χάνει την επαφή της με το έδαφος, καθώς και η αύξηση της μηχανικής ενέργειας της αλυσίδας μέχρι τη στιγμή αυτή.
3. Να συγκριθούν οι δύο τιμές του προηγουμένου ερωτήματος και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα της σύγκρισης.

Συνέχεια ΕΔΩ

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ (२)

Σε συνέχεια προηγούμενης ανάρτησης μου με τίτλο
"Στρεφόμενοι δίσκοι και περί
στροφορμής" εδώ και με αφορμή παλαιότερη ανάρτηση του φίλου Δ. Μάργαρη "Ισορροπία – ροπές και κάθετη αντίδραση"
εδώ και τη σχετικά πρόσφατη του συναδέλφου κ. Γ. Μιχαλόπουλου "Σημείο εφαρμογής παράλληλων δυνάμεων" εδώ,
θα επιχειρήσω να δώσω μία θεωρητική απόδειξη για το πότε ένα στερεό σώμα
βρίσκεται σε στροφική ισορροπία, δηλαδή δεν επιταχύνεται στροφικά (αγων=0).
Καταρχάς ο γενικευμένος νόμος της στροφικής κίνησης dL/dt=Στεξ γράφεται με τη μορφή αυτή με την προϋπόθεση ότι η
στροφορμή του σώματος (ή συστήματος) και οι ροπές των εξωτερικών δυνάμεων
υπολογίζονται ως προς ένα αδρανειακό
σύστημα συντεταγμένων. Αν η προϋπόθεση αυτή δεν ισχύει τότε, όπως έχω δείξει σε
προηγούμενη ανάρτηση με τίτλο "Στρεφόμενοι
δίσκοι και περί στροφορμής", η έκφραση του γενικευμένου νόμου είναι...
ΣΥΝΕΧΕΙΑ

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΙ ΔΥΟ ΡΑΒΔΟΥΣ (ΑΡΧΗ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ)

Στη διάταξη του παρακάτω σχήματος οι ράβδοι ΑΒ & ΒΓ έχουν μάζα m=0,2Kg η κάθε μια & μήκη ℓ₁, ℓ₂ αντίστοιχα. Αν το όλο σύστημα ισορροπεί με τη βοήθεια οριζόντιας δύναμης F=√3Ν, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, να προσδιοριστούν:

1. οι γωνίες θ₁ και θ₂.

2. η δύναμη που ασκεί η άρθρωση στο άκρο Α της ράβδου ΑΒ.

Δίνεται: g=10m/s^2

Απάντηση:

Γιατί γενικευμένος νόμος του Νεύτωνα;

Για ένα στερεό διδάσκουμε το Θεμελιώδη νόμο της μηχανικής Στ=Ι∙α_γων και μετά στηριζόμενοι σε αυτόν αποδεικνύουμε την εξίσωση dL/dt=Στ την οποία βαφτίζουμε γενικευμένο νόμο του Νεύτωνα. Γιατί να το κάνουμε αυτό; Τι νέο μας προσφέρει; Γιατί το ίδιο πράγμα να το κάνουμε με νέο τρόπο; Δείτε παρακάτω μια άσκηση που προσπαθεί να δείξει τη διαφορά μεταξύ των δύο παραπάνω διατυπώσεων στη περίπτωση που έχουμε ένα σύστημα, ή αν προτιμάτε αν η ροπή αδράνειας δεν παραμένει σταθερή.

Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής συστήματος.

Ένας σωλήνας μήκους ℓ=4m και μάζας 3kg μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο του Α. Στο εσωτερικό του σωλήνα υπάρχει ένα μικρό σώμα Σ μάζας 1kg που θεωρείται υλικό σημείο και το σύστημα ισορροπεί σε οριζόντια θέση.

Σε μια στιγμή αφήνουμε το σωλήνα να κινηθεί. Τη στιγμή που ο σωλήνας σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ=60°, το σώμα Σ έχει γλιστρήσει στο εσωτερικό του απέχοντας x=3m από το άκρο Α. Τη στιγμή αυτή, ο σωλήνας έχει γωνιακή ταχύτητα ω=2,4rad/s, ενώ το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Β μεταβάλλεται με ρυθμό 6,4m/s². Για την παραπάνω χρονική στιγμή ζητούνται:

i)  Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής του.

ii)  Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σωλήνα ως προς τον άξονα περιστροφής του.

iii) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος Σ ως προς τον άξονα περιστροφής.

ii)  Η ταχύτητα με την οποία γλιστρά η σφαίρα μέσα στο σωλήνα.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του σωλήνα ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι=1/3mℓ² και g=10m/s².

Απάντηση:

Γωνιακή επιτάχυνση και στροφορμή

Σαν συνέχεια της ανάρτησης Στροφορμή και μεταβολή στροφορμής. Και με αφορμή ένα σχόλιο του Νίκου Ανδρεάδη, ας δούμε μια «προχωρημένη» εκδοχή, που απευθύνεται βέβαια μόνο σε συναδέλφους και όχι για μαθητές.

Η ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος, έχει μήκος ℓ=2m και μάζα Μ=3kg και μπορεί να στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα z ο οποίος περνά από το άκρο της Ο. Στο μέσον της ράβδου έχει προσδεθεί ένα σώμα Σ που θεωρείται υλικό σημείο  μάζας m₁=4kg. Το στερεό Π, που δημιουργήσαμε με τον τρόπο στρέφεται έχοντας γωνιακή ταχύτητα ω₁=1,25rad/s.

Σε μια στιγμή το σώμα Σ ξεκολλά από τη θέση του και γλιστρά κατά μήκος της ράβδου. Σε μια στιγμή απέχει x=1,5m από το Ο και κινείται με ταχύτητα υ=0,169m/s ως προς τη ράβδο. Για τη στιγμή αυτή, να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα z,  Ι=1/3 Μℓ².

Απάντηση:

ΜΙΑ ΧΡΗΣΙΜΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ

Ένα μη εκτατό νήμα αμελητέας μάζας και διατομής τυλίγεται γύρω από δοκό κυκλικής διατομής ακτίνας R. Στο ένα άκρο του κατακόρυφου τμήματος του νήματος έχει συνδεθεί σώμα βάρους W.Στο άλλο άκρο ασκείται δύναμη μέτρου F από έναν άνθρωπο που το κρατάει. Ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ νήματος και δοκού είναι μs.
Αν το τμήμα του νήματος που είναι τυλιγμένο στη δοκό μόλις δεν ολισθαίνει πάνω στη δοκό,να βρεθεί η σχέση που συνδέει το μέτρο της δύναμης του βάρους του σώματος με το μέτρο της δύναμης F που ασκεί ο άνθρωπος και τη γωνία Θ που αντιστοιχεί στο τμήμα του νήματος που είναι τυλιγμένο στη δοκό και ορίζεται από τις ακτίνες που αντιστοιχούν στα ακραία σημεία επαφής του νήματος με τη δοκό.Δίνεται ότι το βάρος του σώματος W είναι μικρότερο από το όριο θραύσης του νήματος.
Απάντηση

Ελαστικότητα Σωμάτων

Τι σημαίνει η φράση: "Ένα σώμα έχει μικρή/μεγάλη ελαστικότητα";

Απάντηση

Δυο κρούσεις σε μια τραμπάλα

Σε μια τραμπάλα, μήκους L και μάζας Μ, της οποίας το μέσο στηρίζεται σε βάση ύψους hT, αφήνουμε να πέσει στο ένα άκρο της, από ύψος h πάνω από το έδαφος, σφαιρίδιο μάζας m1 ενώ στο άλλο άκρο της έχουμε τοποθετήσει σφαιρίδιο μάζας m2. Να βρείτε σε ποια απόσταση s από την αρχική του θέση θα προσγειωθεί το σώμα m2 αν η κρούση του m1 με την τραμπάλα είναι α) πλαστική και β) ελαστική.

Απάντηση

Και αν σπάσει ο άξονας;

Ένα πρόβλημα, που έχει κατά την γνώμη μου ιδιαίτερη δυσκολία, αλλά προσφέρει και την ευχαρίστηση σε όποιον αρέσκεται σε προχωρημένα θέματα Φυσικής. Ξεφεύγει κατά την γνώμη μου από τα πλαίσια του Λυκείου, αλλά αξίζει τον κόπο να ασχοληθεί κάποιος μαζί του....

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το άκρο της Α. Φέρνουμε τη ράβδο σε οριζόντια θέση και την αφήνουμε να κινηθεί, οπότε τη στιγμή που έχει στραφεί κατά γωνία θ, το μέσον Ο της ράβδου έχει ταχύτητα υ₁=4m/s. Τη στιγμή αυτή ο άξονας περιστροφής σπάει και αμέσως μετά η ράβδος αρχίζει να στρέφεται γύρω από δεύτερο σταθερό οριζόντιο άξονα, κάθετο στη ράβδο, ο οποίος περνά από το άκρο της Β. Με ποια ταχύτητα υ₂ αρχίζει το μέσον Ο της ράβδου να στρέφεται γύρω από τον άξονα που περνά από το άκρο Β;

Μπορείτε να δείτε την εξέλιξη της κίνησης σε αρχείο Interactive Physics

Απάντηση:

αλλά και με κλικ ΕΔΩ.