Ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης (I). Η περίπτωση της σταθερής δύναμης

  Στην εργασία κάνοντας χρήση της ολοκλήρωσης των εξισώσεων κίνησης στην απλή (μονοδιάστατη) περίπτωση  της σταθερής δύναμης, καταλήγουμε στη γνωστή μας σχέση για την ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.

Ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης (I). Η περίπτωση της σταθερής δύναμης

Το ηλεκτρικό ρεύμα και οι πηγές του. Μέρος 4ο.

4. Ηλεκτρικές πηγές και Χημεία.

Χρειαζόμαστε ένα είδος «πυκνωτή», που όμως το φορτίο του να μην «τελειώνει». Που να μπορεί να κρατά μια σταθερή διαφορά δυναμικού, μεταξύ δύο αγωγών που τους ονομάζουμε πόλους και, όπως υπάρχουν πηγές που αναβλύζουν νερό χωρίς διακοπή, να μπορούν να προκαλούν συνεχώς την διέλευση ρεύματος σε έναν αγωγό.

Δείτε τη συνέχεια με κλικ εδώ.

Το ηλεκτρικό ρεύμα και οι πηγές του. Μέρος 3ο.

3. Το ηλεκτρικό ρεύμα.

Το 3^ο μέρος και η συνέχεια των προηγούμενων αναρτήσεων «Το ηλεκτρικό ρεύμα και οι πηγές του», με κλικ εδώ.

Το ηλεκτρικό ρεύμα και οι πηγές του. Μέρος 2ο.

2. Δυναμικό και χωρητικότητα 

Η συνέχεια της εργασίας «Το ηλεκτρικό ρεύμα και οι πηγές του.» διαπραγματεύεται το δυναμικό και τη χωρητικότητα αγωγού αλλά και πυκνωτή, προσπαθώντας να απαντήσει γιατί χρειαζόμαστε πυκνωτές και με ποια λογική οδηγούμαστε σε τιμές δυναμικών στην περίπτωση κυκλωμάτων.

Η συνέχεια με κλικ εδώ.

Το ηλεκτρικό ρεύμα και οι πηγές του. Μέρος 1ο.

Μια διαδρομή σε μονοπάτια 
Φυσικής και  Χημείας

1. Φορτισμένος  αγωγός.

Η εργασία αυτή, αφιερώνεται στους νέους συναδέλφους Φυσικούς και Χημικούς, αφού περιλαμβάνει πράγματα, που με είχαν απασχολήσει κατά περιόδους και για μεγάλα χρονικά διαστήματα, στη διάρκεια της διδασκαλίας μου.

Πράγματα, που πάντα τα διδάσκαμε ασύνδετα και που θεωρώ ότι καλό είναι να τα έχουμε συνδέσει στο μυαλό μας, (άσχετα πόσα και ποια από αυτά θα χρειαστεί να διδάξουμε στους μαθητές μας…).

Ήταν κάτι που είχα πολλά χρόνια σκοπό να κάνω, αλλά που ποτέ δεν είχα το χρόνο…

Τώρα φαίνεται να τον βρήκα!

Η συνέχεια σε pdf το πρώτο μέρος, για φορτισμένους αγωγούς.

ΚΥΛΙΣΗ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Η εργασία μου αυτή αποτελεί συνέχεια ενός θέματος που δημοσιεύθηκε πριν λίγες μέρες στο δίκτυο Yλικονετ και αφορούσε  παραλλαγή μιας πολύ αξιόλογης εργασίας του Φυσικού Γιάννη Κυριακόπουλου. Δεν είχα πρόθεση να αναρτήσω την νέα μου εργασία αν δεν έπεφτε στο μάτι μου ένα περίεργο σχόλιο του Φυσικού Στέργιου Ναστόπουλου που κατά κάποιο τρόπο τον ξένιζε η έννοια της εξαναγκασμένης ταλάντωσης στην περίπτωση μιας κύλισης. Η προσπάθεια μου τίθεται στην οποαδή ποτε κριτική των συναδέλφων του δικτύου.

P.M. fysikos 

Τροχός μάζας m και ακτίνας R, εφάπτεται ενός οριζόντιου δοκαριού μάζας Μ με το οποίο παρουσιάζει αρκετά μεγάλο συντελεστή οριακής τριβής, ο οποίος επιτρέπει την κύλιση χωρίς ολίσθηση του τροχού πάνω στο δοκάρι. Το δοκάρι βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο και συνδέεται με το ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται ώστε το ελατήριο να είναι οριζόντιο (σχ.  ) Κάποια στιγμή που θεωρείται ως αρχή του χρόνου εξασκείται στο δοκάρι οριζόντια δύναμη F που μεταβάλλεται με τον χρόνο t σύμφωνα με την σχέση:

F=F₀συνωt∙i

όπου F₀, ω θετικές και σταθερές ποσότητες και i το μοναδιαίο διάνυσμα του οριζόντιου άξονα Ox. Να μελετηθεί η κίνηση του δοκαριού και του τροχού στο σύστημα αναφοράς του δαπέδου.

Να δεχθείτε ότι την στιγμή t=0 το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και ότι τόσο ο τροχός όσο και το δοκάρι είναι ακίνητα. Δίνεται ακόμη η ροπή αδράνειας Ι_C=mR²/2 του τροχού ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόμενο από το κέντρο του C και η επιτάχυνση g της βαρύτητας.

Απάντηση:

Μια απροσδόκητη κύλιση.

Η εργασία μου αυτή στηρίχθηκε σε μια εξαιρετική ανάρτηση του Φυσικού Γιάννη Κυριακόπουλου που φέρει τον τίτλο:

                           Tαλάντωση σε ταλαντευόμενο υπόβαθρο

Στην εργασία του αυτή ο Γιάννης Κυριακόπουλος αναλύει με  περισσή σαφήνεια και με λιτή διατύπωση  το δύσκολο φαινόμενο της κύλισης ενός κυλίνδρου πάνω σε ένα δοκάρι που ταλαντεύεται με την βοήθεια  ελατηρίου, δίνοντας τις εξισώσεις κίνησης  τόσο του δοκαριού όσο και του κυλίνδρου. Σκέφθηκα να αντικαταστήσω το ελατήριο με την δράση μιας οριζόντιας δύναμης αρμονικού χαρακτήρα και αν οι υπολογισμοί μου είναι σωστοί, κατέληξα σε απροσδόκητα συμπεράσματα τόσο για το δοκάρι όσο και για την κύλιση του δίσκου που βρίσκεται πάνω σ΄αυτό. Ελπίζω μελλοντικά να ασχοληθώ με την περίπτωση που το δοκάρι δέχεται τόσο ην δράση του ελατηρίου όσο και την δράση της ημιτονικής δύναμης, αν δε με προλάβει ο Γιάννης. Νομίζω, χωρίς να είμαι βέβαιος, ότι το θέμα αυτό έχει σχέση με την εξαναγκασμένη ταλάντω ση χωρίς απόσβεση.

P.M. fysikos

Απάντηση:

Μετασχηματισμοί Βαθμίδας (Ηλεκτρομαγνητισμός)

  Μια μικρή αναφορά στους μετασχηματισμούς βαθμίδας (και ειδικότερα στον ηλεκτρομαγνητισμό).
Μετασχηματισμοί Βαθμίδας (Ηλεκτρομαγνητισμός)

1. Σύστημα δυο τροχαλιών

Γύρω από μια τροχαλία ακτίνας R=0,2m και μάζας M=6kg έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου δένουμε μια δεύτερη τροχαλία m και ακτίνας r=0,1m, την οποία συγκρατούμε σε ύψος h από το έδαφος, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή αφήνουμε τη δεύτερη τροχαλία να πέσει και παίρνουμε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του κέντρου μάζας της Κ, σε συνάρτηση με το χρόνο, η μορφή της οποίας φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα.

Δίνεται η ροπή αδράνειας τροχαλίας μάζας Μ και ακτίνας R ως προς τον άξονά της Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

i)          Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στις δυο τροχαλίες.

ii)         Να υπολογιστεί η επιτάχυνση της τροχαλίας m.

iii)       Να βρεθεί το μέτρο της τάσης του νήματος (κατά την διάρκεια της πτώσης) και η μάζα m της τροχαλίας που πέφτει.

iv)      Ποιο είναι το ύψος h;

Απάντηση:

Γενικευμένοι νόμοι και ολίσθηση τροχού.

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας τροχός μάζας Μ=10kg και ακτίνας =0,5m, ο οποίος παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,4. Σε μια στιγμή t=0 ασκείται στο κέντρο Ο του τροχού οριζόντια δύναμη F, η τιμή της οποίας μεταβάλλεται όπως στο διάγραμμα.

i) Να αποδειχθεί ότι ο τροχός θα αρχίσει να περιστρέφεται, αλλά και να ολισθαίνει.

ii) Να βρεθεί η χρονική στιγμή που ο τροχός θα πάψει να ολισθαίνει και πλέον θα κυλίεται.

iii) Να υπολογιστεί η ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική, μέχρι την παραπάνω στιγμή, εξαιτίας της τριβής που ασκείται στον τροχό.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Γενικευμένοι νόμοι και ολίσθηση τροχού.

Μελέτη της κίνησης σώματος στο άκρο ελατηρίου

H συνέχεια από εδώ ή και  εδώ.

Tο μαγνητικό πεδίο εντός της ύλης

 

  

Mαγνητική διαπερατότητα υλικού

Θεωρούμε επίμηκες σωληνοειδές, του οποίου οι σπείρες διαρρέονται με ηλεκτρικό ρεύμα ορισμένης έντασης Ι. Tότε στο εσωτερικό του σωληνοειδούς υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο Β₀, που μπορεί να μετρηθεί από την ένδειξη του βαλιστικού γαλβανομέτρου (G), όταν διακοπεί το ρεύμα στο σωληνοειδές. Έστω τώρα ότι στο εσωτερικό του σωληνοειδούς τοποθετείται σιδερένιος πυρήνας (σχ. 2) και διακόπτεται πάλι το ηλεκτρικό ρεύμα σ’ αυτό. Tότε θα διαπιστώσουμε μεγαλύτερη ένδειξη του γαλβανομέτρου, γεγονός που σημαίνει ότι με την εισαγωγή του σιδη ροπυρήνα στο σωληοειδές αυξάνεται το πεδίο, μολονότι το ρεύμα παρέμεινε αμετάβλητο. Eάν Β είναι το πεδίο μετά την εισαγωγή του σιδηροπυρήνα, τότε το πηλίκο

 

                   Σχήμα 1                                   Σχήμα 2

B/Bο ορίζεται ως σχετική μαγνητική διαπερατότητα μ του υλικού του σιδηροπυρήνα, δηλαδή ισχύει:

Η συνέχεια σε pdf ή και από εδώ.

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος ή περί ανηγμένης μάζας και άλλα σχετικά.

Μια καλοκαιρινή  περιπλάνηση….

Τα  δυο σώματα Α και Β με ίσες μάζες m₁=m₂=m=1kg, ηρεμούν όπως στο σχήμα, όπου το ελατήριο έχει σταθερά k=100Ν/m, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h=0,2m από το έδαφος. Απομακρύνουμε κατακόρυφα προς τα πάνω το σώμα Α, κατά y₁=0,1m και σε μια στιγμή που θεωρούμε t=0, το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί εκτελώντας ΑΑΤ.

i) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση θετική.

ii) Να βρεθεί η εξίσωση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

iii) Τη στιγμή που η τάση του νήματος γίνεται ελάχιστη για τρίτη φορά, το νήμα κόβεται και τα σώματα πέφτουν. Με την κρούση με το έδαφος το σώμα Α προσκολλάται. Να βρεθεί η ενέργεια της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το Β σώμα.

Δίνεται g=10m/s².

Συνέχεια:

ή

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος ή περί ανηγμένης μάζας και άλλα σχετικά.

Συνισταμένη, κοίλη σφαίρα και μερικές άλλες εφαρμογές…Καλοκαιρινές!!!

Ας ξεκινήσουμε με ένα γνωστό παράδειγμα.

Παράδειγμα 1^ο:

Η λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ του διπλανού σχήματος έχει βάρος w=100Ν, μήκος ℓ=4m και ισορροπεί οριζόντια στηριζόμενη σε τρίποδο, σε απόσταση x=1m από το ένα της άκρο Α, ενώ δέχεται την επίδραση μιας κατακόρυφης δύναμης F, στο σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=3,5m. Να βρεθεί η δύναμη που ασκείται στη ράβδο από το τρίποδο.

Η συνέχεια σε pdf 

ή

Συνισταμένη, κοίλη σφαίρα και μερικές  άλλες εφαρμογές…

Μια παραλλαγή του θέματος Γ των εξετάσεων του 2013

Ένα σώμα μάζας m είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου αμελητέας μάζας και σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο (σχ. 2) Το σώμα βρίσκεται πάνω σε τραχύ οριζόντιο έδαφος με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής μ το δε ελατήριο βρίσκεται στην φυσική του κατάσταση. Κάποια στιγμή που θεωρείται ως αρχή μέτρησης του χρόνου το σώμα δέχεται απότομη ώθηση βραχείας διάρκειας που του προσδίνει οριζόντια ταχύτητα v₀ με αποτέλεσμα το ελατήριο να συσπειρώνεται και τελικά το σώμα ηρε μεί χωρίς όμως να αλλάξει φορά κίνησης.

i) Να δείξετε την σχέση:

όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

ii) Nα βρείτε τον χρόνο κίνησης του σώματος.

Απάντηση

Ένα κομμένο δαχτυλίδι κρέμεται από νήμα ή κατανομή ροπών και δυνάμεων σε μια δοκό

Ένας ομογενής  δακτύλιος ακτίνας α και γραμμικής πυκνότητας μ φέρει μια εγκάρσια εγκοπή σε ένα σημείο του Γ. Ο δακτύλιος αναρτάται με την βοήθεια νήματος από το σημείο Α αντιδιαμετρικό του Γ.

Να υπολογίσετε την κατανομή δυνάμεων και ροπών κατά μήκος του δακτυλίου.

Σε ποια σημεία κινδυνεύει να κοπεί και σε ποια σημεία κινδυνεύει να σπάσει;

Απάντηση σε pdf ή σε word

Όταν το σχοινί γλιστράει στην τροχαλία

Μια τροχαλία μάζας m και ακτίνας R μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της κάθετο στο επίπεδό της. Στο αυλάκι της τροχαλίας είναι περασμένο μη εκτατό νήμα αμελητέας μάζας.. Στα δύο  άκρα του νήματος έχουν προσδεθεί δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ μαζών m₁ και m₂ αντιστοίχως

Αν το νήμα γλιστράει στην τροχαλία

1. να υπολογιστούν οι επιταχύνσεις των δύο σωμάτων και η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας
2. για ποιες τιμές του συντελεστή τριβής ολισθήσεως νήματος – τροχαλίας το νήμα γλιστράει στην τροχαλία;
3. Επιβεβαιώστε ότι η απώλεια της ενέργειας του συστήματος είναι ίση με το έργο της τριβής λόγω της σχετικής κίνησης του νήματος στην τροχαλία

Απάντηση : σε pdf και σε doc

Πότε το νήμα δεν θα ολισθαίνει;

Ας επιστρέψουμε στο πρόβλημα που θέσαμε στην ανάρτηση: 

«Ποια ροπή επιταχύνει την τροχαλία;»

Δίνεται η διάταξη  του διπλανού σχήματος, όπου στα άκρα ενός αβαρούς και μη εκτατού νήματος, έχουμε δέσει δυο σώματα Α και Β με μάζες m₁=2kg και m₂=1kg. Το νήμα περνά από τροχαλία μάζας Μ=4kg και ακτίνας R=20cm. Το σύστημα ηρεμεί, αφού εμείς συγκρατούμε το σώμα Β στη θέση του. Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Β, το οποίο αρχίζει να ανέρχεται.

Να βρεθεί ο ελάχιστος συντελεστής στατικής οριακής τριβής μεταξύ νήματος και τροχαλίας, ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση του νήματος.

Για την τροχαλία δίνεται Ι= ½ ΜR².

Απάντηση:

ή

Πότε το νήμα δεν θα ολισθαίνει;

Αλληλεπίδραση τροχαλίας με το σχοινί της.

Η μικρή αυτή εργασία είχε ως αφετηρία την εξαιρετική ανάρτηση του Φυσικού Διονύση Μαργαρη που φέρει τον τίτλο:

Ποια ροπή επιταχύνει την τροχαλία;

Στην ανάρτηση αυτή περιγράφεται με ακραία σαφήνεια η αλληλεπίδραση μιας τροχαλίας με το τμήμα του σχοινιού που περιβάλλει το αυλάκι της στην περίπτωση που το σχοινί είναι αβαρές και δεν ολισθαίνει πάνω στο αυλάκι. Επειδή με ενθουσίασε ο όμορφος τρόπος με τον οποίο ο Διονύσης  αναπτύσσει το θέμα, θέλησα να τον τιμή σω προσφέροντας στο δίκτυο δύο παραδείγματα που σχετίζονται άμεσα με το περιεχόμενο της εργασίας του αυτής. Tα παραδείγματα αυτά χρονολογούνται από το αρχέγονο παρελθόν, δηλαδή με απασχόλησαν ως φοιτητή, αλλά η εργασία του Διονύση τα κατέστησε επίκαιρα.

P.M. fysikos

Ένα αβαρές σχοινί περιβάλλει το αυλάκι μιας σταθερής τροχαλίας, η οποία μπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Eάν φ0 είναι η γωνία υπό την οποία φαίνεται εκ του κέντρου της τροχαλίας το τμήμα του σχοινιού που είναι σ’ επαφή με την τροχαλία και μ ο συντελεστής οριακής τριβής ανάμεσα στο σχοινί και την τροχαλία, να δείξετε ότι για να ισορροπεί η τροχαλία πρέπει τα μέτρα των τάσεων F₁ και F₂  του σχοινιού να ικανοποιούν την σχέση:

Η συνέχεια  σε pdf. ή και από εδώ.

Ποια ροπή επιταχύνει την τροχαλία;

Η άσκηση αυτή δεν απευθύνεται σε μαθητές-υποψήφιους.

Πώς στρέφεται μια τροχαλία με τη βοήθεια ενός νήματος;

Είναι η τάση του νήματος, η ροπή της οποίας, προκαλεί την γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας;

Παίζουν κάποιο ρόλο οι τριβές μεταξύ νήματος και τροχαλίας και αν ναι, ποιον;

Ας κάνουμε μια διερεύνηση της κατάστασης που επικρατεί, μέσω ενός παραδείγματος.

Δίνεται η διάταξη  του διπλανού σχήματος, όπου στα άκρα ενός αβαρούς και μη εκτατού νήματος, έχουμε δέσει δυο σώματα Α και Β με μάζες m₁=2kg και m₂=1kg. Το νήμα περνά από τροχαλία μάζας Μ=4kg και ακτίνας R=20cm. Το σύστημα ηρεμεί, αφού εμείς συγκρατούμε το σώμα Β στη θέση του. Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Β, το οποίο αρχίζει να ανέρχεται, χωρίς να γλιστρά το νήμα στο αυλάκι της τροχαλίας.

Να βρεθεί η ροπή που επιταχύνει την τροχαλία.

Απάντηση:

ή

Ποια ροπή επιταχύνει την τροχαλία;

και. λίγο περισσότερα:

Ποια ροπή επιταχύνει την τροχαλία και τι συμβαίνει με την τριβή_