Τροχαλία στόκος και ταλάντωση.

Mία τροχαλία μάζας Μ=2Kg και ακτίνας R=1m  μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα. Στο χαμηλότερο σημείο της τροχαλίας είναι κολλημένο σημειακό σώμα μάζας Μ₁. Μέσω κατακόρυφου μη εκτατού νήματος  που είναι περασμένο στην τροχαλία είναι δεμένο σώμα μάζας Μ₂=1kg  όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

 Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο χωρίς αρχική ταχύτητα με το νήμα τεντωμένο και κατακόρυφο. Να βρεθούν:

Α) Η σχέση που πρέπει να έχουν οι μάζες Μ₂ και Μ₁ για να μπορέσει τελικά το σώμα μάζας Μ₁ να διαγράψει γωνία θ=90^ο μέχρι να σταματήσει στιγμιαία.

Β) Να  βρεθεί η διαφορική εξίσωση  που περιγράφει την κίνηση του συστήματος. Το σώμα μάζας Μ₂ εκτελεί γ.α.τ.;

Γ) Να εκφράσετε την ταχύτητα του σώματος με μάζα Μ₂ σε συνάρτηση  με την μετατόπισή της.

Για την τροχαλία δίνεται Ι_cm=0,5MR².

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Φανταστικές δυνάμεις

Μια απλή παρουσίαση χωρίς πολλά Μαθηματικά.

Η παρουσίαση:

Πως να αποφύγετε μια διαφορική εξίσωση

Όταν σε ένα σώμα ασκείται περιοδική δύναμη η χρήση μη αδρανειακού παρατηρητή απλοποιεί το πρόβλημα.
Συνέχεια

Ερωτήσεις για την άνωση σε επιταχυνόμενο υγρό.

Μερικές ερωτήσεις με σύντομη απάντηση σχετικές με τον τίτλο.
Η συνέχεια:

Μετασχηματισμός Lorentz

Βασισμένο κατα κύριο λόγο σε ένα κεφάλαιο από ένα βιβλίο Μηχανικής που διάβασα στη διάρκεια του καλοκαιριού:
Μετασχηματισμός Lorentz

Κυματική εξίσωση και μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και Lorentz

    Μια απόδειξη του αναλλοίωτου της κυματικής εξίσωσης για ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα, κάτω από το μετασχηματισμό Lorentz.

Κυματική εξίσωση και μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και Lorentz 

Απόλυτοι Ταξιδιώτες & Σχετικός Άνεμος

Η Μαρία κι ο Σταύρος βρίσκονται για διακοπές στη Ζάκυνθο. Σε μια βόλτα τους στη Χώρα, έμαθαν για μια βάρκα που πλέει τον γύρο της νησιού, για όσους τουρίστες έχουν το κουράγιο να τον γευθούν. Αποφασίζουν να κάνουν κι αυτοί το γύρο του νησιού με τη βάρκα το πρωινό της επόμενης μέρας.

Το ίδιο βράδυ στο ραδιόφωνο ακούνε το δελτίο καιρού της επόμενης ημέρας από έναν τοπικό ραδιοφωνικό σταθμό. Πρόσεξαν ιδιαίτερα τις πληροφορίες για τον άνεμο.

Την επόμενη μέρα, καθώς η βάρκα κινούνταν νοτιοδυτικά (η πυξίδα που κρατούσε ο Σταύρος ήταν αδιάψευστη) με ταχύτητα 6 Κm/h (αυτό τουλάχιστον απάντησε ο καπετάνιος σε σχετική ερώτησή τους), οι επιβάτες της ένιωθαν δυτικό άνεμο. Όταν η ταχύτητα της βάρκας ελλατώθηκε στα 3 km/h, οι επιβάτες ένιωθαν βορειοδυτικό άνεμο. Ο Σταύρος κι η Μαρία κοιτάζονταν με απορία.

Τί άκουσαν ο Σταύρος και η Μαρία για τον άνεμο από το δελτίο καιρού;

Απάντηση μόνον με διανυσματικό λογισμό:

Εξαναγκασμένη ταλάντωση: Η ασυνέχεια της καμπύλης Α-ω στο ω=0.

Η εργασία αναφέρεται στη μορφή της γραφικής παράστασης Α –ω στην εξαναγκασμένη ταλάντωση στο όριο ω0 .  Συγκεκριμένα, από τον τύπο:  

πηγαίνοντας στο όριο ω→0 προκύπτει Α=F₀/D , που κάποιοι το μεταφράζουν ως «πλάτος ταλάντωσης» και κάποιοι άλλοι ως «νέα θέση». Και οι δύο ερμηνείες είναι λανθασμένες αφού – όπως θα αποδειχθεί – η διαδικασία του ορίου είναι «παράνομη» !

 Έτσι προκύπτει ότι η  καμπύλη Α – ω  δεν είναι (εν γένει) συνεχής στο ω = 0 , παρά μόνο αν η διεγείρουσα δύναμη είναι της μορφής:   F=F_o συνωt.

Έχει σημασία αν επιλέξουμε  F=F_o ημωt ή F=F_o συνωt ή F=F_o ημ(ωt+φ) για να περάσουμε στο όριο ωà0 ;

Για να μη σας κουράσω με μαθηματικά, ας δούμε την απλή περίπτωση : F=F_o ημωt

Τότε στο όριο ω→0  η δύναμη μηδενίζεται και έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

α) Αν ο ταλαντωτής δεν παρουσιάζει αποσβέσεις (b =0) τότε

     i) αν ήταν διεγερμένος θα εξακολουθεί να εκτελεί ταλάντωση με το ίδιο «άγνωστο» πλάτος.

  ii) αν ήταν σε ηρεμία θα παραμείνει (Α=0)

β) Αν έχουμε αποσβέσεις τότε θα έχουμε μία φθίνουσα ταλάντωση που θα οδηγήσει σε Α=0 (αν φυσικά ήταν αρχικά διεγερμένος).

Συμπέρασμα 1^ο : Για δύναμη της μορφής F=F_o ημωt , στο όριο ωà0 το πλάτος Α μπορεί να είναι μηδέν αλλά μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή (όταν ο ταλαντωτής δεν παρουσιάζει αποσβέσεις και ήταν αρχικά διεγερμένος).

Μην μας εκπλήσσει αυτό το αποτέλεσμα αφού όταν ωà0 τότε F à0, δηλαδή δεν έχουμε «εξαναγκασμένη» ταλάντωση.

Η συνέχεια ΕΔΩ ή ΕΔΩ.

Εργαστηριακά "ατυχήματα"

Εργαστηριακά “ατυχήματα’’

ή

πως θα πείσουμε τους μαθητές μας ότι....

Συνέχεια:.pdf

Πότε αποκτά μεγαλύτερη ταχύτητα;

Ένας άνθρωπος στέκεται πάνω σε ένα ακίνητο πατίνι, κρατώντας στα χέρια του δυο μπάλες. Πότε θα αποκτήσει μεγαλύτερη ταχύτητα, όταν:

i)   Εκτοξεύει ταυτόχρονα και τις  δυο μπάλες προς την ίδια κατεύθυνση με ταχύτητα υ ως προς τον εαυτόν του.

i)  Εκτοξεύει πρώτα τη μια και μετά την άλλη, επίσης προς την ίδια κατεύθυνση, με ταχύτητα υ ως προς τον εαυτόν του.

Απάντηση:

ή

Πότε αποκτά μεγαλύτερη ταχύτητα;

Πεδίο Higgs και Μάζα

       Το πεδίο Higgs προσδίδει μάζα με διαφορετικούς τρόπους στα σωματίδια, ανάλογα με το είδος του σωματιδίου. Στο Καθιερωμένο Πρότυπο (Standard Model) υπάρχουν τέσσερεις διαφορετικοί τύποι σωματιδίων, που είναι φορείς δυνάμεων....

Πεδίο Higgs και Μάζα

Η ... Ηλικία του Ήλιου

Μια απλή εφαρμογή του νόμου των Stefan-Boltzmann    Προφανώς το μοντέλο μας είναι λανθασμένο, γι' αυτό και μας προκύπτει τόσο...νεαρός Ήλιος.

Η ... Ηλικία του Ήλιου

Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας και Μηχανισμός Higgs

        Τι είναι αυτό το πολυαναζητούμενο μποζόνιο Higgs; Τι σημαίνει ότι τα (αρχικά) άμαζα μποζόνια αποκτούν μάζα με την αλληλεπίδρασή τους με το Higgs; Πως "φαίνεται" αυτή η μάζα στη Λαγκρανζιανή; Ποιος ο ρόλος του αυτόματου σπάσιμου συμμετρίας; Μια πολύ εισαγωγική προσπάθεια απάντησης, μέσα από ένα απλό παράδειγμα...

ΑΥΘΟΡΜΗΤΟ  ΣΠΑΣΙΜΟ  ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ 

Μετωπική ελαστική κρούση

   Μια πολύ μικρή αναφορά στους νόμους της μετωπικής ελαστικής κρούσης, όπως (περίπου) μελετήθηκε από τον Huygens.
Μετωπική ελαστική κρούση

Ελαστική κρούση και ωθήσεις.

Και το αντίθετο, της προηγούμενης ανάρτησης, με τίτλο: " Κάτι περίεργο συμβαίνει στην ελαστική κρούση!!!"

Έστω μια ελαστική μετωπική κρούση δύο σφαιρών Α και Β, οι οποίες κινούνται στην ίδια ευθεία, όπως στο σχήμα:

Να αποδειχθεί ότι η ώθηση της δύναμης, που ασκείται στην σφαίρα Α, μέχρι τη στιγμή της μέγιστης παραμόρφωσης, είναι ίση με την ώθησή της, από κει και πέρα.

Απάντηση:
ή
Ελαστική κρούση και ωθήσεις

Εξισώσεις Maxwell και μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και Lorentz

Εξισώσεις Maxwell και μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και Lorentz

Κάτι περίεργο συμβαίνει στην ελαστική κρούση!!!

Μόνο για Καθηγητές

Έστω μια ελαστική μετωπική κρούση δύο σφαιρών Α και Β, οι οποίες κινούνται στην ίδια ευθεία, όπως στο σχήμα:

Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας Α μετά την κρούση, με δεδομένο ότι η ώθηση της δύναμης που ασκείται πάνω της μέχρι τη στιγμή της μέγιστης παραμόρφωσης, είναι ίση με την ώθησή της, από κει και πέρα.

Απάντηση:
ή
Κάτι περίεργο συμβαίνει στην ελαστική κρούση!!!

Δύο προβλήματα στα κύματα

Αν το περιεχόμενο της παρούσας ανάρτησης δεν είναι ολοκληρωτικά λάθος, τότε η ανάρτηση αυτή θα μπορούσε να έχει τον τίτλο

«Γιατί στην συμβολή κυμάτων ξεχνάμε τόσο τα Μαθηματικά όσο και την Φυσική;»

Συνηθίζουμε να λέμε ότι στην περίπτωση που έχουμε δύο πηγές σε φάση, τότε το μέσον Μ του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζουν είναι κοιλία. Τι θα λέγαμε σε κάποιον που θα διατύπωνε την άποψη: Στην περίπτωση που το μήκος του ελαστικού μέσου είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος τότε το σημείο Μ συμπεριφέρεται εναλλάξ σαν κοιλία και σαν δεσμός με περίοδο 2L/υ.

Θεωρούμε τα επόμενα δύο προβλήματα

Πρόβλημα 1

Δύο αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους Α και της  ίδιας συχνότητας και διαδίδονται σε  ένα γραμμικό ελαστικό μέσο μεγάλου μήκους με αντίθετες ταχύτητες.

Τα στιγμιότυπα των δύο κυμάτων την στιγμή t=0 είναι όπως στο επόμενο σχήμα.

Το σημείο Μ είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΟΒ.

Να υπολογίσετε τις απομακρύνσεις από την θέση ισορροπίας τους των σημείων Ο, Α, Β κάποια  χρονική στιγμή t με t>L/υ.

Εφαρμογή όταν ΟΒ=L=3λ/2 και t=19L/12υ

2^ο Πρόβλημα

Θεωρούμε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο μήκους L το οποίο ηρεμεί στο διάστημα [0,L] ενός συστήματος συντεταγμένων. Την στιγμή t=0 τα άκρα Ο και Β του μέσου αρχίζουν ταυτόχρονα να ταλαντώνονται κάθετα στην διεύθυνση του μέσου με εξίσωση y=Aημ(ωt).

Ως αποτέλεσμα της κίνησης των δύο άκρων στο μέσο διαδίδονται κύματα με αντίθετες ταχύτητες.

Έστω Μ το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΟΒ.

1. Να υπολογίσετε τις απομακρύνσεις από την θέση ισορροπίας τους των σημείων Ο, Α, Β κάποια  χρονική στιγμή t με 3L/2υ < t <2L/υ.
   Εφαρμογή όταν ΟΒ=L=3λ/2 και t=19L/12υ.
2. Να αποδείξετε ότι αν το μήκος L του μέσου είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος τότε το μέσον Μ του ελαστικού μέσου συμπεριφέρεται διαδοχικά ως δεσμός και κοιλία για χρονικά διαστήματα μεγέθους L/υ.

Ο επόμενος σύνδεσμος παραπέμπει σε ένα zip αρχείο στο οποίο περιέχεται η απάντηση και μια προσομοίωση σε VB.

Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων;

Στο σχολικό βιβλίο και στην ενότητα περί σύνθεσης ταλαντώσεων περιγράφεται μια διάταξη παρεμφερής της διάταξης του παρακάτω σχήματος.

Λίγο ως πολύ η παρουσίαση των συγγραφέων είναι η εξής:

Το σώμα Σ₂ κινούμενο πάνω σε μια σταθερή πλατφόρμα θα εκτελούσε μια αατ με περίοδο Τ₂.

Μόνη της η πλατφόρμα θα εκτελούσε μια εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση περιόδου Τ₁. Αν συνυπάρχουν τα δύο σώματα τότε το Σ₂ εκτελεί σύνθετη κίνηση, η οποία είναι σύνθεση δύο ταλαντώσεων με περιόδους Τ₁ και Τ₂.

Η σημαντικότερη ένσταση, που μπορεί να προβάλει κανείς, βρίσκεται στο γεγονός ότι το δεύτερο ελατήριο θα επηρεάσει την κίνηση του σώματος Σ₁. Επειδή δεν είχα αντιμετωπίσει στο παρελθόν παρεμφερές πρόβλημα αποφάσισα να δω πως ακριβώς συμπεριφέρεται το σύστημα υπό «καθεστώς σύζευξης».

Το κύριο συμπέρασμα της μελέτης είναι ότι και τα δύο σώματα εκτελούν σύνθετες κινήσεις με ίδιες επιμέρους συχνότητες (κανονικοί τρόποι ταλάντωσης) διαφορετικές των συχνοτήτων των ανεξαρτήτων ταλαντώσεων.

Περισσότερα

Κλίμακες Ενέργειας και Αρχή της Αβεβαιότητας

         

       Στα επόμενα θα δούμε πως η αρχή της αβεβαιότητας (απροσδιοριστίας) του Heisenberg, θέτει ένα κάτω όριο στην ελάχιστη κινητική ενέργεια που μπορεί να έχει ένα σωματίδιο του μικρόκοσμου, που είναι «εγκλωβισμένο» σε μια περιοχή του χώρου...

Κλίμακες Ενέργειας και Αρχή της Αβεβαιότητας