Η Εξίσωση Klein-Gordon

    Μια μικρή περιγραφή της κυματικής  εξίσωσης Klein-Gordon συνοδευόμενη από μερικά ιστορικά στοιχεία.
Η Εξίσωση Klein-Gordon

Πάμε να φορτίσουμε έναν πυκνωτή;

Θέλουμε να φορτίσουμε έναν πυκνωτή, από μια πηγή ΗΕΔ Ε. Πώς μπορούμε να το κάνουμε;

Τι συμβαίνει αν η φόρτιση γίνει, μέσω μιας αντίστασης; Αν αντί για αντίσταση βάλουμε πηνίο;

Και τι θα γίνει αν στο κύκλωμα έχουμε και αντίσταση και πηνίο;

Δείτε το αρχείο με κλικ εδώ ή και  εδώ.

Φόρτιση πυκνωτή σε κύκλωμα RLC.

Στο διπλανό κύκλωμα το ιδανικό πηνίο έχει αυτεπαγωγή L=2mΗ και ο αφόρτιστος πυκνωτής χωρητικότητα C=20μF, ενώ η πηγή έχει ΗΕΔ  Ε=10V. Σε μια στιγμή κλείνουμε το διακόπτη.

Να βρεθεί το φορτίο του πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο όταν ο αντιστάτης έχει αντίσταση:

i)     R=2Ω.

ii)   R=40Ω

Να γίνουν οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις.

Απάντηση:

ή

Φόρτιση πυκνωτή σε κύκλωμα RLC.

Φόρτιση πυκνωτή σε κύκλωμα RLC.

Μία … ηλεκτρομηχανική ταλάντωση

 

Μπορούμε άραγε να έχουμε ηλεκτρική ταλάντωση σε ένα κύκλωμα χωρίς τη συνύπαρξη πηνίου L και πυκνωτή C;

Η πρώτη σκέψη είναι μάλλον «όχι» διότι όπως στη μηχανική είναι απαραίτητη προϋπόθεση η ύπαρξη «αδράνειας» m και «ελαστικότητας» D, η ικανότητα μ’ άλλα λόγια να αποθηκεύει το σύστημα κινητική και δυναμική ενέργεια, έτσι και στον ηλεκτρισμό το κύκλωμα θα πρέπει να μπορεί να αποθηκεύει ενέργεια μαγνητικού και ηλεκτρικού πεδίου.

Αν το δούμε λίγο πιο προσεκτικά όμως, η αυτεπαγωγή L μπορεί να είναι … αναντικατάστατη, αφού εκφράζει την «αδράνεια στις μεταβολές του ρεύματος», ισχύει όμως το ίδιο και για τη χωρητικότητα C;

Ο φορτισμένος πυκνωτής είναι μια αποθήκη ενέργειας, που κατά τη φόρτιση μετατρέπει το ηλεκτρικό έργο σε κάποια άλλη μορφή, ενώ κατά την εκφόρτιση συμβαίνει η αντίστροφη διαδικασία.

Μα αυτό ακριβώς δεν κάνει οποιαδήποτε επαναφορτιζόμενη πηγή;

Ο πυκνωτής βέβαια έχει και την ικανότητα να αλλάζει ταχύτατα πολικότητα και «συμπεριφορά» από αποδέκτης σε πηγή, κάτι που είναι πρακτικά αδύνατο π.χ. σε μια μπαταρία λιθίου ή μολύβδου, εξαιτίας των εμπλεκομένων χημικών αντιδράσεων.

Υπάρχουν όμως κι άλλες … «επαναφορτιζόμενες» μπαταρίες!

Ένα τέτοιο παράδειγμα θα δούμε στη συνέχεια.

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ...

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΣΕ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΑΥΞΗΣΗ ΜΕΓΕΘΟΥΣ

Τετράγωνο συρμάτινο πλαίσιο (ΑΚΛΜ) μάζας m, αντίστασης R και πλευράς α αφήνεται να πέσει κατακόρυφα μέσα σε Μη Ομογενές Μαγνητικό Πεδίο, του οποίου η μαγνητική επαγωγή δίνεται από τη σχέση Β=λ·y, όπου λ=3Τ/m = σταθ.. Το πλαίσιο τη χρονική στιγμή t=0 είναι εντός του Μαγνητικού πεδίου, με τη πάνω του πλευρά να βρίσκεται στη θέση y=0. Αν το Μαγνητικό είναι κάθετο στο επίπεδο του πλαισίου με φορά από τον αναγνώστη προς τη σελίδα:

1) Να προσδιορίστε τις συναρτήσεις u = f(t) και Ιεπ. = f(t)
2) Να δείξετε ότι το πλαίσιο (ΑΚΛΜ) θα αποκτήσει σταθερή (οριακή) ταχύτητα και να υπολογίσετε το μέτρο της.

Προβολή...

Download...

www.in2wphysics.tk

Εκθετική αύξηση μεγέθους. Πέντε εφαρμογές.

Παρακάτω δίνονται πέντε παραδείγματα-εφαρμογές διαφορετικών φαινομένων, που όμως περιγράφονται από μια διαφορική εξίσωση της μορφής:

Η εξίσωση αυτή έχει λύση της μορφής:

Απάντηση:

Η με κλικ ΕΔΩ.

Ροπή Αδράνειας σφαίρας

            Εισάγοντας την έννοια της "ροπής αδράνειας ως προς σημείο", διευκολύνουμε κατά πολύ τους υπολογισμούς μας.

          Φυσικά η «ροπή αδράνειας ως προς σημείο» δεν έχει κάποιο φυσικό νόημα, είναι μια... βοηθητική ευθεία.

Ροπή Αδράνειας σφαίρας

Ροπή αδράνειας σφαιρικού φλοιού

             Στα επόμενα κάνουμε χρήση της  χωρίς κάποιο φυσικό νόημα «ροπής αδράνειας ως προς σημείο» για να διευκολύνουμε τους υπολογισμούς μας

         Φυσικά η «ροπή αδράνειας ως προς σημείο» δεν έχει κάποιο φυσικό νόημα, είναι μια... βοηθητική ευθεία.

Ροπή αδράνειας σφαιρικού φλοιού

Κίνηση αγωγού σε μαγνητικό πεδίο και φόρτιση πυκνωτή

Δύο κατακόρυφοι αγωγοί Αx και Γy μεγάλου μήκους συνδέονται στα πάνω άκρα τους με πυκνωτή χωρητικότητας C. Τρίτος αγωγός μήκους ℓ και μάζας m μπορεί να γλιστράει χωρίς τριβές κατά μήκος τους, με τη βοήθεια δακτυλίων, παραμένοντας οριζόντιος. Κάθετα στο επίπεδο των αγωγών υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β.

Ο οριζόντιος αγωγός συγκρατείται αρχικά κοντά στα άκρα Α και Γ και τη στιγμή t = 0 αφήνεται ελεύθερος.

Α) Να μελετήσετε το είδος της κίνησής του.

Β) Πόση ενέργεια U_Ε έχει αποκτήσει ο πυκνωτής όταν ο αγωγός έχει κατέλθει κατά ύψος Η;

(Όλοι οι αγωγοί έχουν μηδενική αντίσταση. Δίνεται g).

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ...

Χρονοκύκλωμα με κατάληξη LC

Δύο άπειροι αγωγοί xx΄ και ψψ΄ χωρίς αντίσταση είναι παράλληλα τοποθετημένοι μεταξύ τους και κάθετα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β=1Τ και απέχουν μεταξύ τους απόσταση L=1m. Αγωγός ΚΛ αμελητέας εσωτερικής αντίστασης και μήκους L=1m μπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω στους  άπειρους αγωγούς με ταχύτητα παράλληλη σε αυτούς τους αγωγούς. Στα άκρα xψ συνδέουμε σε σειρά μία ωμική αντίσταση R=10Ω και ιδανικό πυκνωτή χωρητικότητας C=10^-2F.Σε μία θέση λίγο πιο πέρα συνδέουμε μία όμοια ωμική αντίσταση R=10Ω και ένα ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L =1Η όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

Ο πυκνωτής και το πηνίο συνδέονται μέσω των μεταγωγών (1) και (2) που μπορούν να μεταφερθούν αυτόματα στην θέση (3).

Τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε τον αγωγό ΚΛ με αρχική ταχύτητα Uo=10  m/s και ταυτόχρονα ασκούμε σταθερή δύναμη F=1 N.

Α)Nα αποδείξετε  ότι ο αγωγός θα εκτελεί ομαλή κίνηση .

Την χρονική στιγμή t=1sec  οι μεταγωγοί (1) και (2) μεταφέρονται στην θέση (3) αυτόματα και χωρίς απώλεια ενέργειας και εκείνη την στιγμή καταργείται η δύναμη F.

Β)Nα βρεθεί τι ποσοστό του έργου της δύναμης έγινε θερμότητα πάνω στις αντιστάσεις.

Γ)Ποια η ολική ενέργεια του κυκλώματος LC που δημιουργηθεί μετά την μεταφορά των μεταγωγών στη θέση (3)

Δ)Να γίνει ποιοτικά η γραφική παράσταση του φορτίου του πυκνωτή.

 ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ένα χρονοκύκλωμα

Δύο άπειροι αγωγοί xx΄ και ψψ΄ χωρίς αντίσταση είναι παράλληλα τοποθετημένοι μεταξύ τους και κάθετα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β=1Τ και απέχουν μεταξύ τους απόσταση L=1m.Αγωγός ΚΛ αμελητέας εσωτερικής αντίστασης και μήκους L=1m μπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω στους  άπειρους αγωγούς με ταχύτητα παράλληλη σε αυτούς τους αγωγούς. Στα άκρα xψ συνδέουμε σε σειρά μία ωμική αντίσταση R και ιδανικό πυκνωτή χωρητικότητας C. Σε μία θέση λίγο πιο πέρα συνδέουμε μία όμοια ωμική αντίσταση R και ένα ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L  όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

Τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε τον αγωγό ΚΛ με αρχική ταχύτητα Uo=10  m/s και ταυτόχρονα ασκούμε σταθερή δύναμη F=1 N.Παρατηρούμε ότι ο αγωγός ΚΛ εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Να βρεθούν:

Α) Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό ΚΛ .

Β) Η σχέση που πρέπει να συνδέουν την ωμική αντίσταση των αντιστατών του κυκλώματος με την χωρητικότητα  του πυκνωτή και τον συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου για να εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ο αγωγός ΚΛ.

Γ)  Αν η μάζα του αγωγού ΚΛ είναι m=1Kg   και ο συντελεστής αυτεπαγωγής είναι L=1H και μετά από αρκετό χρονικό διάστημα η δύναμη F καταργηθεί να βρεθεί η συνολική θερμότητα που θα παραχθεί στο κύκλωμα μετά την κατάργηση της δύναμης F.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

ΜΙΑ... ΑΠΕΙΡΗ ΣΥΝΔΕΣΜΟΛΟΓΙΑ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ

          Στο παρακάτω κύκλωμα να βρείτε την ολική αντίσταση μεταξύ των σημείων Α και Β. Όλες οι αντιστάσεις είναι ίσες με R....

ΜΙΑ... ΑΠΕΙΡΗ ΣΥΝΔΕΣΜΟΛΟΓΙΑ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ

Όταν η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με την κρίσιμη, τότε το κύμα ανακλάται μερικώς ή ολικώς;

Η συζήτηση στο ylikonet για το θέμα αυτό είναι αρκετά παλαιά.

Η απάντηση που δίνει το σχολικό εγχειρίδιο στο παραπάνω ερώτημα είναι: μερικώς.

Με αφορμή το θέμα Β1 των εφετινών πανελλαδικών εξετάσεων αποφάσισα να «ξεσκονίσω» κάποιες παλιές σημειώσεις που είχα γράψει για μια φοιτήτρια του Φυσικού Πατρών.

Όλο το φυσικό περιεχόμενο της διάδοσης – ανάκλασης και διάθλασης των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων περιέχεται στις τέσσερις εξισώσεις του Maxwell.

Στον παρακάτω αρχείο περιέχεται μια προσπάθεια εξαγωγής όλων των ιδιοτήτων των επίπεδων ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων «από το μηδέν»

• Μελετάται η διάδοση ενός επίπεδου ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε ένα μη αγώγιμο μέσο
• Μελετάται η ανάκλαση και διάδοσή του όταν προσπίπτει κάθετα στην διαχωριστική επιφάνεια  δύο οπτικών μέσων.
• Παράγεται ο νόμος του Snell στην περίπτωση της πλάγιας πρόσπτωσης σαν αποτέλεσμα των συνοριακών συνθηκών που ισχύουν στην διαχωριστική επιφάνεια
• Υπολογίζεται το ποσοστό της προσπίπτουσας ενέργειας που ανακλάται και το ποσοστό που διαθλάται.

Το συμπέρασμα που προκύπτει από την μελέτη τόσο για πόλωση παράλληλη στο επίπεδο πρόσπτωσης όσο και για κάθετη στο επίπεδο πρόσπτωσης είναι ότι:

Στην περίπτωση που το κύμα διαδίδεται από οπτικώς πυκνότερο μέσο σε οπτικώς αραιότερο και η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με την κρίσιμη, τότε το κύμα ανακλάται ολικά.

Αναλυτικότερα

Μια ελαστική κρούση ράβδων.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ₀=3,8m/s μια ομογενής ράβδος (α) μάζας Μ και μήκους ℓ=1m, χωρίς να στρέφεται, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή συγκρούεται ελαστικά με δεύτερη όμοια ράβδο (β), το μέσον Μ της οποίας βρίσκεται σε ευθεία ε, παράλληλης προς την ταχύτητα υ₀, η οποία περνά από το άκρο Β της πρώτης ράβδου. Το σημείο σύγκρουσης είναι το μέσον της (ΟΒ) και κατά τη διάρκεια της κρούσης δεν αναπτύσσεται δύναμη τριβής μεταξύ των δύο ράβδων. Να υπολογιστούν οι ταχύτητες και οι γωνιακές ταχύτητες των δύο ράβδων μετά την κρούση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=Μℓ²/12.

Απάντηση:

Σύγκρουση ράβδων και στροφορμές.

Δίνονται  δύο ομογενείς ράβδοι της ίδιας μάζας και με μήκη ℓ και 2ℓ, οι οποίες μπορούν να στρέφονται γύρω από οριζόντιους σταθερούς άξονες, που διέρχονται από το ένα άκρο τους και οι οποίες ισορροπούν σε κατακόρυφη θέση, όπως στο σχήμα, όπου η απόσταση μεταξύ τους είναι 1mm.  Εκτρέπουμε την μικρή από τη θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε να κινηθεί. Φτάνοντας στην θέση ισορροπίας της έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω₀=2rad/s και συγκρούεται ελαστικά με την δεύτερη. Εξαιτίας της μικρής μεταξύ τους απόστασης, το άκρο Α της πρώτης, συγκρούεται με το άκρο Β της δεύτερης. 

Να βρεθούν οι γωνιακές ταχύτητες των δύο ράβδων μετά την κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το ένα της άκρο Ι= 1/3 Μℓ².
Απάντηση:

ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΩΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

       Στα επόμενα θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε την κβάντωση της στροφορμής στο ημικλασσικό μοντέλο του Bohr για το άτομο του υδρογόνου. Στα περισσότερα εισαγωγικά βιβλία κβαντομηχανικής η κβάντωση της στροφορμής αναφέρεται σαν μια από τις δύο συνθήκες που εισήγαγε ο Bohr για το μοντέλο του υδρογόνου. Και βέβαια εύλογη είναι η απορία πως κατέληξε ο Bohr στη συγκεκριμένη συνθήκη, ή γιατί θεώρησε την στροφορμή ακέραιο πολλαπλάσιο του h bar  και όχι του h ή κάποιας άλλης σταθεράς.

       Αλλά ας δούμε πως περιγράφει ο ίδιος ο Bohr τις δύο «συνθήκες» του:

ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΩΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

Μισό-μισό.

Ομογενής ράβδος μήκους l και μάζας M είναι αναρτημένη από οριζόντιο άξονα Α, γύρω από τον οποίο μπορεί να περιστραφεί από κατακόρυφο επίπεδο. Στον ίδιο άξονα Α είναι δεμένο αβαρές νήμα με το ίδιο μήκος l, στο άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σφαιρίδιο μάζας m .Αρχικά το νήμα είναι τεντωμένο στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο και το σφαιρίδιο βρίσκεται σε  πολύ  μικρό ύψος h πάνω από το κατώτερο σημείο της ράβδου. Στη συνέχεια το σφαιρίδιο αφήνεται ελεύθερο και προσκρούει στο άκρο της ράβδου και συγκρούεται με αυτή ελαστικά. Μετά την κρούση το σφαιρίδιο ακινητοποιείται. Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες.

Α)Ποια η σχέση των μαζών του σφαιριδίου και της ράβδου για επαναλαμβάνεται το γεγονός αυτό περιοδικά;

B) Ποια η περίοδος του παραπάνω φαινομένου.

Δίνεται για την ράβδο Ia=1/3 Mℓ²

Απάντηση:

Το πρόβλημα 5.41 με τριβή

Ας θυμηθούμε το πρόβλημα του σχολικού βιβλίου όπου μια σφαίρα κινούμενη με ταχύτητα προσέπιπτε σε ακίνητη ίδιας μάζας και δείχναμε ότι αν η κρούση ήταν ελαστική οι δυο σφαίρες μετά την κρούση εκινούντο σε διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους.

Αν όμως υπάρχει τριβή;

Συνέχεια:

Η πολυθρόνα λίκνισης* (The rocking chair)

Η πολυθρόνα λίκνισης* (The rocking chair)

Ο ΤΡΙΤΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ KEPLER (ΜΕ ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ)

        Με αφορμή την ανάρτηση του Δημήτρη Αναγνώστου: «Άσκηση με Κίνηση Δορυφόρου»  μια προσπάθεια «εξαγωγής» του τρίτου νόμου του Kepler με τη βοήθεια της διαστατικής ανάλυσης....

Ο ΤΡΙΤΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ KEPLER (ΜΕ ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ)