Ένα απλό επιταχυνσιόμετρο

      Ας θεωρήσουμε λοιπόν ένα σωλήνα,  λυγισμένο όπως φαίνεται στο σχήμα, ο οποίος περιέχει νερό, και ο οποίος με κάποιο τρόπο είναι στερεωμένος και τοποθετημένος σε ένα όχημα. Στη διάρκεια λοιπόν που το όχημα επιταχύνεται, το νερό στα δύο σκέλη του σωλήνα φτάνει σε ύψη  και Θεωρούμε ότι η διάμετρος του σωλήνα είναι μικρή (σε σχέση με τα ύψη και )....

Ένα απλό επιταχυνσιόμετρο

Ταλάντωση ημικυλινδρικής ράβδου

Δείξατε ότι αν μια ημικυλινδρική ράβδος εκτραπεί από την θέση της κατά μικρή γωνία αυτή εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και υπολογίσατε την περίοδό της.

Η ράβδος δεν ολισθαίνει στο έδαφος.

Απάντηση:

Ένα αρμονικό κύμα χωρίς ασυνέχειες και κόχες

Τα κύματα που μελετάμε είναι ανύπαρκτα. Παρουσιάζουν παθολογίες, οι οποίες δεν μπορούν να γίνουν αποδεκτές από έναν Φυσικό. Προεξάρχουσα παθολογία η ασυνέχεια της συνάρτησης v(x,t) στο μέτωπο του κύματος.
Με την παρούσα ανάρτηση προσπαθώ να εξομαλύνω την κατάσταση κάνοντάς τα πιο πραγματικά।

συνέχεια σε  ή  

Η αρχική φάση σε ένα κύμα δεν είναι πάντα αποτέλεσμα χρονικής καθυστέρησης

Θεωρούμε το επόμενο πρόβλημα
Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο ισορροπεί κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Ox ενός συστήματος συντεταγμένων।Απομακρύνουμε τα σημεία του μέσου από την θέση ισορροπίας τους κατά μήκος της καμπύλης

Την στιγμή t=0 τα σημεία του μέσου αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν και ταυτόχρονα η άκρη Ο αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση y=Aσυν(ωt), με αποτέλεσμα στο μέσο να διαδοθεί εγκάρσιο κύμα με ταχύτητα υ.
Αν ισχύει ότι υ=λf να βρεθούν
i) Η εξίσωση του παραγόμενου κύματος
ii) Το στιγμιότυπο τις στιγμές t=T/4, T/2, T
iii) Οι κυματομορφές για τα σημεία x=λ/8, λ/4, λ/2, λ

Η συνέχεια  σε   ή σε 

Δοχείο με νερό επιταχύνεται

Όταν ένα δοχείο επιταχύνεται πως συμπεριφέρεται το νερό;
Απάντηση:

ΜΙΑ ΑΣΚΗΣΗ… ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΙΑ ΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΣTO ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ

AΠΑΝΤΗΣΗ

Κίνηση με αντίσταση ανάλογη της n-οστής δύναμης της ταχύτητας

Ένα σώμα μάζας m κινείται κατά μήκος του άξονα των x, έτσι ώστε τη χρονική στιγμή t=0 να βρίσκεται  στη θέση x=0 και να έχει ταχύτητα υ = υ0. Το σώμα εισέρχεται σε μέσο που του ασκεί δύναμη της μορφής: F=-kυ^n (δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση και έχει μέτρο ανάλογο της νιοστής δύναμης της ταχύτητας). Με την είσοδο του σώματος στο μέσο, θεωρείστε ότι η μόνη δύναμη που του ασκείται είναι η αντίσταση του μέσου. Να μελετηθεί η κίνηση του σώματος.


Κίνηση με αντίσταση ανάλογη της n-οστής δύναμης της ταχύτητας

Κύλιση σε Μαγνητικό πεδίο.

To παραπάνω σχήμα αποτελείται  από δύο αγώγιμους χωρίς αντίσταση  ομογενείς λεπτότατους   δίσκους μάζας m=1Kg και  ακτίνας R που συνδέονται μεταξύ τους με λεπτότατη αγώγιμη  οριζόντια ράβδο χωρίς αντίσταση  μήκους L=1m που διέρχεται από το κέντρο των δύο δίσκων και είναι συγκολλημένο με αυτό .Το όλο σύστημα  μπορεί  να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε δύο αμελητέας ωμικής αντίστασης  ατσάλινα άκαμπτα σύρματα που σχηματίζουν γωνία κλίσης φ=30^ο με το οριζόντιο επίπεδο και στο κάτω άκρο τους είναι συνδεδεμένα με ωμική αντίσταση R₁=3Ω.Το όλο σύστημα βρίσκεται μέσα σε κατακόρυφο μαγνητικό πεδίο μαγνητικής επαγωγής Β=1Τ. Αν το μήκος των άκαμπτων συρμάτων είναι αρκετά μεγάλο και το σύστημα αφεθεί ελεύθερο  χωρίς αρχική ταχύτητα να βρεθούν:

A) To είδος της κίνησης που θα εκτελέσει το σύστημα

Β) Η μέγιστη κινητική ενέργεια του συστήματος

Γ) Ο τελικός ρυθμός μεταβολής δυναμικής ενέργειας του συστήματος

Για τον κάθε  δίσκο  I_cm= ½ mR². Nα υποτεθεί ότι οι δύο λεπτοί δίσκου βρίσκονται εκτός μαγνητικού πεδίου.

Απάντηση:

Κίνηση με αντίσταση ανάλογη της ταχύτητας

      Ένα σώμα μάζας m κινείται κατά μήκος του άξονα των x, έτσι ώστε τη χρονική στιγμή t=0 να βρίσκεται  στη θέση x=0 και να έχει ταχύτητα υ = υ0. Το σώμα εισέρχεται σε μέσο που του ασκεί δύναμη της μορφής: F=-kυ (δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση και έχει μέτρο ανάλογο της ταχύτητας). Με την είσοδο του σώματος στο μέσο, θεωρείστε ότι η μόνη δύναμη που του ασκείται είναι η αντίσταση του μέσου. Να μελετηθεί η κίνηση του σώματος.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Η ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΝ ΜΙΚΡΟΚΟΣΜΟ



ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Διατήρηση στροφορμής σε βαρυτικό πεδίο

Σε ένα πλανητάκο χωρίς ατμόσφαιρα βάλλεται από το έδαφος ένα σώμα με ταχύτητα υ μικρότερη της ταχύτητας διαφυγής, η οποία σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία θ.

Ποιο είναι η μεγαλύτερη απόσταση από το έδαφος;

Για ποια τιμή της γωνίας η απόσταση αυτή μεγιστοποιείται;

Ας αντιμετωπίσουμε το όλο θέμα χαλαρά και ας θεωρήσουμε ως δεδομένο οποιοδήποτε στοιχείο του πλανητάκου.

Μόνο ας θεωρηθεί σφαιρικός και ομογενής.

Απάντηση:

Οριακή ταχύτητα σταγόνων βροχής

      Θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε (προσσεγγιστικά) την οριακή ταχύτητα με την οποία μια σταγόνα βροχής προσκρούει στο έδαφος. Στα επόμενα θα θεωρήσουμε ότι:

α) Το σχήμα της σταγόνας είναι σφαιρικό (Θα περίμενε βέβαια κάποιος ένα πιο «πεπλατυσμένο» σχήμα κάτι σαν «χάμπουργκερ», λόγω της αντίστασης του αέρα).

β) Ότι πάνω στη σταγόνα ασκείται δύναμη της μορφής F=-kυ^2. (Η πτώση ενός  σώματος με αντίσταση ανάλογη του τετράγωνου της ταχύτητας έχει μελετηθεί από τον Βαγγέλη Κορφιάτη στην ανάρτηση: «Ελεύθερη πτώση» με αντίσταση του αέρα).

γ) Ότι η ταχύτητα της σταγόνας πριν την προσεδάφιση της έχει πάρει την οριακή τιμή της (ή τουλάχιστον θα βρίσκεται εξαιρετικά κοντά στην οριακή τιμή ώστε να θεωρήσουμε ότι πρακτικά φτάνει στο έδαφος με οριακή ταχύτητα)...

Οριακή ταχύτητα σταγόνων βροχής

Βρείτε τις δυνάμεις στήριξης στις ρόδες του αμαξιδίου

Το αμαξίδιο του σχήματος αποτελείται από λεπτή ομογενή ράβδο μάζας 2m = 2kg , μήκος 2m και έχει δυο κυλινδρικούς τροχούς με μάζες m = 1kg και ακτίνες 0,1 m. Η ράβδος απέχει από το οριζόντιο δάπεδο 0,3m έτσι το κέντρο μάζας του αμαξιδίου απέχει 0,2m από το δάπεδο. Μέσω νήματος ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη F = 10N που έχει τη διεύθυνση της ράβδου. Οι τροχοί δεν ολισθαίνουν στο δάπεδο.

1. Βρείτε την επιτάχυνση του αμαξιδίου και τη γωνιακή επιτάχυνση των τροχών.
2. Υπολογίσατε τις δυνάμεις τριβής και τις δυνάμεις στήριξης από το έδαφος.

Απάντηση:

«Ελεύθερη πτώση» με αντίσταση του αέρα

Την στιγμή t=0 αφήνουμε ένα σώμα να πέσει από μεγάλο ύψος.
Αν η αντίσταση του αέρα δεν είναι αμελητέα, να υπολογιστούν:
1) Η ταχύτητά του συναρτήσει του χρόνου.
2) Η μετατόπισή του συναρτήσει του χρόνου.
3) Η ταχύτητά του συναρτήσει της μετατόπισης।
Απάντηση

ή

«Ελεύθερη πτώση» με αντίσταση του αέρα

Κίνηση με αντίσταση ανάλογη του τετράγωνου της ταχύτητας

      Ένα σώμα μάζας m κινείται κατά μήκος του άξονα των x, έτσι ώστε τη χρονική στιγμή t=0 να βρίσκεται  στη θέση x=0 και να έχει ταχύτητα μέτρου υ0. Το σώμα εισέρχεται σε μέσο που του ασκεί δύναμη της μορφής: F=-kυ^2 (δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση και έχει μέτρο ανάλογο του τετράγωνου της ταχύτητας). Να μελετηθεί η κίνηση του σώματος.

Κίνηση με αντίσταση ανάλογη του τετράγωνου της ταχύτητας

Όταν ο άξονας περιστροφής δεν είναι κάθετος στην ράβδο

Μια λεπτή ομογενής ράβδος μήκους ℓ στρέφεται, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από κατακόρυφο άξονα έτσι ώστε η ράβδος να σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα περιστροφής.
Ο άξονας περιστροφής συνδέεται με το κάτω άκρο της ράβδου με άρθρωση και με το πάνω με αβαρές οριζόντιο νήμα.
Να υπολογιστούν:
α) Η δύναμη που ασκεί το νήμα στην ράβδο
β) Η δύναμη που ασκεί η άρθρωση στην ράβδο
Το πρόβλημα επιλύεται με δύο τρόπους
Ο ένας είναι εφαρμογή της έννοιας του τανυστή ροπής αδράνειας και των νόμων μεταβολής ορμής – στροφορμής.
Ο δεύτερος κάνει χρήση της φυγόκεντρου δύναμης στο σύστημα που η ράβδος ηρεμεί।

Απάντηση

Πλάκα πέφτει πάνω σε πατίνι

Το πατίνι του σχήματος έχει μάζα 2kg. Κάθε κυλινδρική του ρόδα έχει μάζα 1 kg.

Πέφτει από ψηλά μια λεπτή πλάκα με μάζα 2 kg η οποία κατά την επαφή της με το πατίνι έχει ταχύτητα 14 m/s που σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία 60^ο. Η κρούση είναι πλαστική.

Ποια θα είναι η τελική ταχύτητα που θα αποκτήσει το πατίνι.

Απάντηση:

Πόσο θα μετατοπιστεί το κάρο;

Το κάρο του σχήματος έχει μήκος 3m και μάζα Μ = 20kg. Έχει 4 ρόδες που κάθε μία έχει μάζα m = 5kg.

Ο εικονιζόμενος έχει μάζα 100kg και κινείται προς τα δεξιά με σταθερή επιτάχυνση ως προς το έδαφος διασχίζοντας το κάρο. Οι τροχοί δεν ολισθαίνουν στο οριζόντιο δάπεδο.

Πόσο μετατοπίζεται το κάρο;

 Αοπάντηση:

Απλή ολοκλήρωση εξισώσεων κίνησης.

      Ένα σώμα μάζας m, κινείται υπό την επίδραση δύναμης της μορφής:  F=F0 sinωt( F0 σταθερό διάνυσμα). Υποθέτοντας ότι υ(0)=0  και r(0)=0    (αρχικές συνθήκες), να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Τι σχήμα έχουν τα καλώδια της ΔΕΗ;

Ένα καλώδιο γραμμικής πυκνότητας μ και μήκους ℓ στερεώνεται σε δύο ακλόνητα σημεία που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και απέχουν απόσταση 2α.
Να βρεθούν:
α) Η εξίσωση της καμπύλης που περιγράφει το σχήμα του καλωδίου.
β) Η δύναμη που ασκεί το καλώδιο σε κάθε στήριγμα।

Λύση   ή  ΕΔΩ.