Η ταχύτητα ενός "τσουνάμι" με διαστατική ανάλυση

Σαν μια μικρή εφαρμογή των μεθόδων της διαστατικής ανάλυσης ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα με την οποία κινείται ένα tsunami. Με τον όρο tsunami (Ιαπωνικά: κύμα στο λιμάνι), εννοούμε μια σειρά από γιγαντιαία κύματα που προκαλούνται από διάφορες αιτίες (υποθαλάσσιους σεισμούς, ηφαιστειακές εκρήξεις, πυρηνικές δοκιμές, προσκρούσεις μετεωριτών κλπ). Για τα εν λόγω κύματα, είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι παίζει ρόλο η βαρύτητα (το g) καθώς και το βάθος h του ωκεανού, στην περιοχή που «δημιουργήθηκε» το tsunami।

Η ταχύτητα ενός "τσουνάμι"

Πλαστική κρούση υλικού σημείου με ελεύθερη ράβδο

Ο τίτλος της άσκησης που ακολουθεί θα μπορούσε να είναι
" Η απρόσεκτη χρήση της σχέσης L=Iω πιθανόν να δώσει λάθος αποτέλεσμα"
Στο διπλανό σχήμα εικονίζεται μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους ℓ=2m και μάζας Μ=1Kg, οποία ηρεμεί σε λείο οριζόντιο τραπέζι.
Στο άκρο Α τις ράβδου υπάρχει μια μικρή ακίδα κάθετη στην ράβδο.
Πάνω στο τραπέζι είναι χαραγμένο ένα ημικυκλικό αυλάκι με διάμετρο την ΑΒ.
Μια μικρή σφαίρα μάζας m=0,25Kg αμελητέας ακτίνας κινείται χωρίς να περιστρέφεται με ταχύτητα υ0=8m/s και «καρφώνεται» στην ακίδα της ράβδου.
Να υπολογιστούν:
1) Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου.
2) Η ταχύτητα του μέσου Μ της ράβδου αμέσως μετά την κρούση
3) Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας που μεταβιβάστηκε στην ράβδο.
4) Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας που μετατράπηκε σε θερμική.
Απάντηση

Η διάταξη εξαναγκασμένων ταλαντώσεων του σχολικού βιβλίου

Κατά την μαθηματική μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντωσης με αρμονικό διεγέρτη θεωρούμε ένα σώμα στο οποίο, εκτός από την δύναμη επαναφοράς –Dx και την δύναμη απόσβεσης –bυ, ασκείται και μια αρμονική δύναμη F=F0 ημ(ωt).
Στο διπλανό σχήμα εικονίζεται μια τυπική πειραματική διάταξη με την οποία μελετάται η εξαναγκασμένη ταλάντωση।
Σε μια υποσημείωση του σχολικού βιβλίου αναφέρεται ότι η καμπύλη συντονισμού τέμνει τον άξονα των πλατών σε ένα σημείο με τεταγμένη ίση με την απόσταση του σημείου πρόσδεσης του νήματος από το κέντρο του τροχού.
Δύο βασικά ερωτήματα προκύπτουν.
Πως ασκείται στο σώμα η δύναμη του διεγέρτη αφού το σώμα έρχεται σε επαφή μόνο με το ελατήριο;
Πως εξηγείται η παραπάνω ιδιότητα της καμπύλης συντονισμού;

Η παρούσα μελέτη αποτελείται από τα εξής μέρη:
Μια σύντομη υπενθύμιση των βασικών αποτελεσμάτων που αφορούν στην εξαναγκασμένη ταλάντωση με αρμονικό διεγέρτη.
Συσχετισμός της θεωρητικής μελέτης με την πειραματική διάταξη.
Διερεύνηση των προϋποθέσεων υπό τις οποίες τα νήματα που συνδέσουν το σώμα με το ελατήριο και τον τροχό με το ελατήριο δεν κάμπτονται τόσο στην περίπτωση που δεν υπάρχουν αποσβέσεις όσο και στην περίπτωση που b¹0
Ενδιαφέρον αποτέλεσμα της διερεύνησης είναι ότι για κατάλληλα μικρό μέγεθος του τροχού και κατάλληλα μεγάλη τιμή της σταθεράς απόσβεσης τα νήματα παραμένουν τεντωμένα για κάθε τιμή της συχνότητας του διεγέρτη.
Αναλυτικά

Εξαναγκασμένη ταλάντωση με περιοδικό διεγέρτη

Η συνήθης μελέτη μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης περιορίζεται σε αρμονικό διεγέρτη. Θεωρούμε δηλαδή μια δύναμη της μορφής
F=F0ημ(ωt+φ)=F0sημ(ωτ) + F0cσυν(ωt)
λύνουμε την διαφορική εξίσωση και βρίσκουμε την εξίσωση κίνησης του σώματος.
Αν στο σώμα επιδρά ένας περιοδικός διεγέρτης γωνιακής συχνότητας ω τότε η δύναμη του διεγέρτη αναπτύσσεται κατά Fourier σε αρμονικούς διεγέρτες γωνιακών συχνοτήτων 0, ω, 2ω,3ω,….
Για κάθε επιμέρους αρμονικό διεγέρτη βρίσκουμε την λύση και στην συνέχεια προσθέτοντας τις λύσεις βρίσκουμε την λύση για τον περιοδικό διεγέρτη.
Στην ουσία εφαρμόζουμε αρχή επαλληλίας παρόμοια με την αρχή επαλληλίας που εφαρμόζουμε στον ηλεκτρομαγνητισμό.
Επειδή η ΔΕ είναι γραμμική, αν Λ1, Λ2,.. είναι οι λύσεις για τα αίτια (φορτία , ρεύματα ή διεγέρτες) Α1,Α2,.. , τότε η Λ=Λ1+Λ2+… είναι η λύση για το αίτιο
Α=Α1+Α2+…
Μια «απλή εφαρμογή» είναι η περίπτωση ενός «ημιανορθωμένου διεγέρτη» δηλαδή ενός αρμονικού διεγέρτη που δρα πάντα στην ίδια κατεύθυνση για μισή περίοδο।
Αναλυτικά σε pdf

Εκκρεμές με απόσβεση

Ακολούθως θα θεωρήσουμε την πιο «ρεαλιστική» περίπτωση της κίνησης του εκκρεμούς στον αέρα, όπου πλέον υπάρχει απόσβεση και το πλάτος της ταλάντωσης φθίνει με το χρόνο. Πιο συγκεκριμένα θα θεωρήσουμε ότι το εκκρεμές (με μήκος L=1m) ταλαντώνεται σε μικρές γωνίες και ότι μετά από 5 λεπτά (min) το πλάτος του είναι το 50% του αρχικού. Θα ονομάσουμε ω την κυκλική συχνότητα του εκκρεμούς με την απόσβεση και ω₀ την κυκλική συχνότητα του απλού (χωρίς απόσβεση) εκκρεμούς....

Εκκρεμές με απόσβεση

Ελατήριο ανάμεσα σε δύο μάζες. Ανηγμένη μάζα.

Στο παρακάτω σχήμα 1, στα άκρα Α και Β ελατηρίου με σταθερά k, είναι στερεωμένα δύο σώματα με μάζες m₁ και m₂, αντίστοιχα. Το ελατήριο θεωρείται χωρίς μάζα ενώ το σύστημα μάζες-ελατήριο μπορεί να ταλαντώνεται ελεύθερα (χωρίς τριβές) στο λείο οριζόντιο επίπεδο, στο οποίο στηρίζεται. Αρχικά τεντώνουμε το ελατήριο και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο. Να περιγραφεί η ταλάντωση του συστήματος.

Ελατήριο ανάμεσα σε δύο μάζες. Ανηγμένη μάζα.

Κατανομή Μαxwell-Boltzman

... Χρησιμοποιώντας την κατανομή Maxwell-Boltzmann, μπορούμε να υπολογίσουμε ένα αριθμό ποσοτήτων που είναι σπουδαίες για τη μοριακή φυσική. Για παράδειγμα, η μέση ταχύτητα των μορίων, η ενεργός ταχύτητα και η πιθανότερη ταχύτητα। Ξεκινάμε με τον υπολογισμό της μέσης ταχύτητας των μορίων...

Κατανομή Μαxwell-Boltzman

3 ΑΠΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ

Τα πιο ισχυρά quasars έχουν φωτεινότητα περίπου 10⁴⁰ W. Πόση ποσότητα μάζας ανά δευτερόλεπτο πρέπει να καταναλώνει η κεντρική μελανή οπή για να παράγει αυτή τη φωτεινότητα; Υπολογίστε πόσες ηλιακές μάζες καταβροχθίζει η μελανή οπή σ’ ένα έτος. Υποθέστε ότι μόνο το 10% της μάζας που καταναλώνεται ακτινοβολείται.

3 ΑΠΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ

Ο Φερμά, ο Σνελ και ...η QED

- Kαι πως κύριε «γνωρίζει» το φως ποια είναι η συντομότερη διαδρομή και την ακολουθεί; Όταν (εμείς) γνωρίζουμε το αρχικό και το τελικό σημείο της τροχιάς, μπορούμε να υπολογίσουμε και να βρούμε τη διαδρομή που επαληθεύει την αρχή του Fermat। Όταν όμως το φως ξεκινάει από κάποιο σημείο Α (ας πούμε στον αέρα) κινούμενο προς κάποιο σημείο Β (ας πούμε στο νερό) πως γνωρίζει ποια είναι η συντομότερη διαδρομή και την ακολουθεί;

Ο Φερμά, ο Σνελ και ...η QED

Η σταθερότητα των ατόμων

...Και βέβαια το κλασικό μοντέλο (Rutherford) αδυνατεί να εξηγήσει τη σταθερότητα των ατόμων. Τα άτομα π.χ. ενός αερίου βρίσκονται σε μια αδιάκοπη θερμική κίνηση , με εκατομμύρια αμοιβαίες κρούσεις το δευτερόλεπτο και με ταχύτητες της τάξης των δεκάδων χιλιάδων μέτρων ανά δευτερόλεπτο . Και όμως αναδύονται από τις αμοιβαίες αυτές κρούσεις τους τελείως αμετάβλητα. Αυτό δεν θα είχαμε καμιά δυσκολία να το αντιληφθούμε αν τα άτομα ήταν πραγματικά ά-τομα και άρα «εξαιρετέα από την αλλαγή και την φθορά » όπως λέει ο Επίκουρος. Αλλά δεν είναι. Συμμετέχουν σε χημικές αντιδράσεις. Και πάντοτε ξαναβγαίνουν τα ίδια . Σαν να μην έχουν ιστορία και προϊστορία . Σαν η μορφή τους να είναι προκαθορισμένη .

Μια προσπάθεια ερμηνείας της σταθερότητας των ατόμων με την βοήθεια της θεωρίας του Μπορ.
Η σταθερότητα των ατόμων

Για τις προσεγγίσεις

Το να μπορεί κανείς να κάνει τις σωστές προσεγγίσεις σε διάφορα προβλήματα Φυσικής (και όχι μόνο) είναι σίγουρα μια πολύ σημαντική ικανότητα। Κι΄ όμως στα περισσότερα (αν όχι όλα) σχολικά ή και Πανεπιστημιακά βιβλία δεν δίνεται (κατά τη γνώμη μου) ιδιαίτερη έμφαση στην «καλλιέργεια» αυτής της ικανότητας. Ούτε και υπάρχει κάποια συστηματική παρουσίαση του τρόπου με τον οποίο θα μπορούσε –ίσως- κάποιος να «εξασκηθεί» στο να επιλέγει την καλύτερη (ανάλογα με το πρόβλημα) δυνατή προσέγγιση....

Λίγα για τις προσεγγίσεις