Εκκρεμές με απόσβεση

Ακολούθως θα θεωρήσουμε την πιο «ρεαλιστική» περίπτωση της κίνησης του εκκρεμούς στον αέρα, όπου πλέον υπάρχει απόσβεση και το πλάτος της ταλάντωσης φθίνει με το χρόνο. Πιο συγκεκριμένα θα θεωρήσουμε ότι το εκκρεμές (με μήκος L=1m) ταλαντώνεται σε μικρές γωνίες και ότι μετά από 5 λεπτά (min) το πλάτος του είναι το 50% του αρχικού. Θα ονομάσουμε ω την κυκλική συχνότητα του εκκρεμούς με την απόσβεση και ω₀ την κυκλική συχνότητα του απλού (χωρίς απόσβεση) εκκρεμούς....

Εκκρεμές με απόσβεση

Ελατήριο ανάμεσα σε δύο μάζες. Ανηγμένη μάζα.

Στο παρακάτω σχήμα 1, στα άκρα Α και Β ελατηρίου με σταθερά k, είναι στερεωμένα δύο σώματα με μάζες m₁ και m₂, αντίστοιχα. Το ελατήριο θεωρείται χωρίς μάζα ενώ το σύστημα μάζες-ελατήριο μπορεί να ταλαντώνεται ελεύθερα (χωρίς τριβές) στο λείο οριζόντιο επίπεδο, στο οποίο στηρίζεται. Αρχικά τεντώνουμε το ελατήριο και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο. Να περιγραφεί η ταλάντωση του συστήματος.

Ελατήριο ανάμεσα σε δύο μάζες. Ανηγμένη μάζα.

Κατανομή Μαxwell-Boltzman

... Χρησιμοποιώντας την κατανομή Maxwell-Boltzmann, μπορούμε να υπολογίσουμε ένα αριθμό ποσοτήτων που είναι σπουδαίες για τη μοριακή φυσική. Για παράδειγμα, η μέση ταχύτητα των μορίων, η ενεργός ταχύτητα και η πιθανότερη ταχύτητα। Ξεκινάμε με τον υπολογισμό της μέσης ταχύτητας των μορίων...

Κατανομή Μαxwell-Boltzman

3 ΑΠΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ

Τα πιο ισχυρά quasars έχουν φωτεινότητα περίπου 10⁴⁰ W. Πόση ποσότητα μάζας ανά δευτερόλεπτο πρέπει να καταναλώνει η κεντρική μελανή οπή για να παράγει αυτή τη φωτεινότητα; Υπολογίστε πόσες ηλιακές μάζες καταβροχθίζει η μελανή οπή σ’ ένα έτος. Υποθέστε ότι μόνο το 10% της μάζας που καταναλώνεται ακτινοβολείται.

3 ΑΠΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ

Ο Φερμά, ο Σνελ και ...η QED

- Kαι πως κύριε «γνωρίζει» το φως ποια είναι η συντομότερη διαδρομή και την ακολουθεί; Όταν (εμείς) γνωρίζουμε το αρχικό και το τελικό σημείο της τροχιάς, μπορούμε να υπολογίσουμε και να βρούμε τη διαδρομή που επαληθεύει την αρχή του Fermat। Όταν όμως το φως ξεκινάει από κάποιο σημείο Α (ας πούμε στον αέρα) κινούμενο προς κάποιο σημείο Β (ας πούμε στο νερό) πως γνωρίζει ποια είναι η συντομότερη διαδρομή και την ακολουθεί;

Ο Φερμά, ο Σνελ και ...η QED

Η σταθερότητα των ατόμων

...Και βέβαια το κλασικό μοντέλο (Rutherford) αδυνατεί να εξηγήσει τη σταθερότητα των ατόμων. Τα άτομα π.χ. ενός αερίου βρίσκονται σε μια αδιάκοπη θερμική κίνηση , με εκατομμύρια αμοιβαίες κρούσεις το δευτερόλεπτο και με ταχύτητες της τάξης των δεκάδων χιλιάδων μέτρων ανά δευτερόλεπτο . Και όμως αναδύονται από τις αμοιβαίες αυτές κρούσεις τους τελείως αμετάβλητα. Αυτό δεν θα είχαμε καμιά δυσκολία να το αντιληφθούμε αν τα άτομα ήταν πραγματικά ά-τομα και άρα «εξαιρετέα από την αλλαγή και την φθορά » όπως λέει ο Επίκουρος. Αλλά δεν είναι. Συμμετέχουν σε χημικές αντιδράσεις. Και πάντοτε ξαναβγαίνουν τα ίδια . Σαν να μην έχουν ιστορία και προϊστορία . Σαν η μορφή τους να είναι προκαθορισμένη .

Μια προσπάθεια ερμηνείας της σταθερότητας των ατόμων με την βοήθεια της θεωρίας του Μπορ.
Η σταθερότητα των ατόμων

Για τις προσεγγίσεις

Το να μπορεί κανείς να κάνει τις σωστές προσεγγίσεις σε διάφορα προβλήματα Φυσικής (και όχι μόνο) είναι σίγουρα μια πολύ σημαντική ικανότητα। Κι΄ όμως στα περισσότερα (αν όχι όλα) σχολικά ή και Πανεπιστημιακά βιβλία δεν δίνεται (κατά τη γνώμη μου) ιδιαίτερη έμφαση στην «καλλιέργεια» αυτής της ικανότητας. Ούτε και υπάρχει κάποια συστηματική παρουσίαση του τρόπου με τον οποίο θα μπορούσε –ίσως- κάποιος να «εξασκηθεί» στο να επιλέγει την καλύτερη (ανάλογα με το πρόβλημα) δυνατή προσέγγιση....

Λίγα για τις προσεγγίσεις

Χρόνος κατάρρευσης του κλασσικού ατόμου

Στα επόμενα θα θεωρήσουμε το απλούστερο δυνατό άτομο, το άτομο του υδρογόνου। Μπορούμε να υπολογίσουμε την τάξη μεγέθους του χρόνου, που θα οδηγούσε στην «κατάρρευση» του «κλασσικού» ατόμου। Για να το κάνουμε αυτό θα χρησιμοποιήσουμε την «κλασσική» σχέση που μας δίνει την ακτινοβολούμενη ισχύ Ρ, από ένα επιταχυνόμενο ηλεκτρικό φορτίο. Σύμφωνα λοιπόν με την κλασσική ηλεκτροδυναμική, ο ρυθμός με τον οποίο ακτινοβολεί ενέργεια ένα επιταχυνόμενο φορτίο είναι ανάλογος του τετραγώνου της επιτάχυνσης του....

Η Κατάρρευση του κλασσικού ατόμου.

Η καμπύλωση της τροχιάς της σφαίρας από τους Mythbusters

Οι Mythbusters πυροβόλησαν στην μία άκρη του κεκαμμένου σωλήνα. Η σφαίρα βγαίνοντας από την άλλη άκρη καρφώθηκε σε μάζα ζελέ.

Ποιος ήταν ο λόγος της τελικής προς την αρχική ταχύτητα;

Θεωρήσατε τον σωλήνα ως οριζόντιο τεταρτοκύκλιο , και γνωστό τον συντελεστή τριβής ολίσθησης μ.

Απάντηση:

Όταν το ελατήριο έχει μάζα

Αφορμή για την παρούσα ανάρτηση ήταν η θέση που διατύπωσε ο Γιάννης ο Κυριακόπουλος όσον αφορά στην συχνότητα ταλάντωσης ενός σώματος, το οποίο είναι δεμένο σε ελατήριο όχι αμελητέας μάζας.
Το συνηθισμένο αποτέλεσμα για την γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του σώματος είναι:
όπου M η μάζα του σώματος, m η μάζα του ελατηρίου και k η σταθερά του ελατηρίου.
Σημαντικός προβληματισμός μου όσον αφορά το αποτέλεσμα αυτό ήταν το γεγονός ότι δεν μπορούσα να επαληθεύσω εκ των υστέρων την σχέση ΣF=-Μω^2x για το σώμα.
Βασική άποψη ήταν ότι πρέπει να μελετήσει κανείς τόσο την κίνηση του σώματος όσο και τα διαμήκη κύματα που διαδίδονται στο ελατήριο.
Η ορθή σχέση για τον θεμελιώδη τρόπο ταλάντωσης είναι:
Στην σύντομη αυτή πραγματεία κατ’ αρχάς εξάγεται (ως υπενθύμιση) η εξίσωση των διαμήκων κυμάτων σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο και εφαρμόζεται στην περίπτωση ενός ελατηρίου.
Στην συνέχεια ανευρίσκονται οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης του συστήματος ελατήριο - μάζα τόσο στην περίπτωση που το ελατήριο είναι οριζόντιο όσο και στην περίπτωση που το ελατήριο είναι κατακόρυφο.
Τέλος εξετάζεται βήμα το βήμα η κίνηση του σώματος.
Είναι εντυπωσιακό (κατά την γνώμη μου) το γεγονός ότι βήμα – βήμα χτίζεται από εκθετικές συναρτήσεις μια σχεδόν περιοδική κίνηση με συχνότητα αυτή του θεμελιώδη τρόπου ταλάντωσης.
Αναλυτικά σε pdf και word