Χρόνος κατάρρευσης του κλασσικού ατόμου

Στα επόμενα θα θεωρήσουμε το απλούστερο δυνατό άτομο, το άτομο του υδρογόνου। Μπορούμε να υπολογίσουμε την τάξη μεγέθους του χρόνου, που θα οδηγούσε στην «κατάρρευση» του «κλασσικού» ατόμου। Για να το κάνουμε αυτό θα χρησιμοποιήσουμε την «κλασσική» σχέση που μας δίνει την ακτινοβολούμενη ισχύ Ρ, από ένα επιταχυνόμενο ηλεκτρικό φορτίο. Σύμφωνα λοιπόν με την κλασσική ηλεκτροδυναμική, ο ρυθμός με τον οποίο ακτινοβολεί ενέργεια ένα επιταχυνόμενο φορτίο είναι ανάλογος του τετραγώνου της επιτάχυνσης του....

Η Κατάρρευση του κλασσικού ατόμου.

Η καμπύλωση της τροχιάς της σφαίρας από τους Mythbusters

Οι Mythbusters πυροβόλησαν στην μία άκρη του κεκαμμένου σωλήνα. Η σφαίρα βγαίνοντας από την άλλη άκρη καρφώθηκε σε μάζα ζελέ.

Ποιος ήταν ο λόγος της τελικής προς την αρχική ταχύτητα;

Θεωρήσατε τον σωλήνα ως οριζόντιο τεταρτοκύκλιο , και γνωστό τον συντελεστή τριβής ολίσθησης μ.

Απάντηση:

Όταν το ελατήριο έχει μάζα

Αφορμή για την παρούσα ανάρτηση ήταν η θέση που διατύπωσε ο Γιάννης ο Κυριακόπουλος όσον αφορά στην συχνότητα ταλάντωσης ενός σώματος, το οποίο είναι δεμένο σε ελατήριο όχι αμελητέας μάζας.
Το συνηθισμένο αποτέλεσμα για την γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του σώματος είναι:
όπου M η μάζα του σώματος, m η μάζα του ελατηρίου και k η σταθερά του ελατηρίου.
Σημαντικός προβληματισμός μου όσον αφορά το αποτέλεσμα αυτό ήταν το γεγονός ότι δεν μπορούσα να επαληθεύσω εκ των υστέρων την σχέση ΣF=-Μω^2x για το σώμα.
Βασική άποψη ήταν ότι πρέπει να μελετήσει κανείς τόσο την κίνηση του σώματος όσο και τα διαμήκη κύματα που διαδίδονται στο ελατήριο.
Η ορθή σχέση για τον θεμελιώδη τρόπο ταλάντωσης είναι:
Στην σύντομη αυτή πραγματεία κατ’ αρχάς εξάγεται (ως υπενθύμιση) η εξίσωση των διαμήκων κυμάτων σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο και εφαρμόζεται στην περίπτωση ενός ελατηρίου.
Στην συνέχεια ανευρίσκονται οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης του συστήματος ελατήριο - μάζα τόσο στην περίπτωση που το ελατήριο είναι οριζόντιο όσο και στην περίπτωση που το ελατήριο είναι κατακόρυφο.
Τέλος εξετάζεται βήμα το βήμα η κίνηση του σώματος.
Είναι εντυπωσιακό (κατά την γνώμη μου) το γεγονός ότι βήμα – βήμα χτίζεται από εκθετικές συναρτήσεις μια σχεδόν περιοδική κίνηση με συχνότητα αυτή του θεμελιώδη τρόπου ταλάντωσης.
Αναλυτικά σε pdf και word

Ταλάντωση διατομικού μορίου

Ας θεωρήσουμε ότι για κάποιο διατομικό μόριο, η δύναμη μεταξύ των ατόμων του μπορεί να προσεγγισθεί από τη σχέση:

όπου r η απόσταση μεταξύ των δύο ατόμων και όπου τα C και D είναι θετικές σταθερές:

α) Σχεδιάστε προσεγγιστικά την δύναμη ως προς την απόσταση των δύο ατόμων.

β) Βρείτε τη θέση ισορροπίας (rο).

γ) Αν , είναι μια πολύ μικρή μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας, δείξτε ότι η κίνηση για τέτοιες μετατοπίσεις είναι γραμμική αρμονική ταλάντωση.

(Θεωρούμε ότι τα δύο άτομα «απομακρύνονται» από τη θέση ισορροπίας τους και αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν).

δ) Βρείτε τη σταθερά του «ελατηρίου».

ε) Προσδιορίστε την περίοδο των ταλαντώσεων.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Η περιστροφή του βάρους προκαλεί ταλάντωση του καροτσιού

Το καροτσάκι του σχήματος έχει μάζα 2kg και οι τροχοί του έχουν αμελητέα μάζα και ροπή αδράνειας. Το κέντρο μάζας του βρίσκεται στη βάση του στύλου στο μέσον του καροτσιού.

Με μηχανισμό περιστρέφεται η αβαρής ράβδος του σχήματος μήκους 30 cm στην άκρη της οποίας είναι στερεωμένος δίσκος μάζας 1 kg. Ο δίσκος περιστρέφεται ελεύθερα περί άξονα χωρίς τριβές και μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο.

(Δες: http://ylikonet.gr/profiles/blogs/poia-harthrose-tha-dechtehi-1 )

Η περίοδος περιστροφής είναι 2 s και το επίπεδο περιστροφής είναι κατακόρυφο και παράλληλο στους τροχούς του καροτσιού. Η αβαρής ράβδος είναι τη στιγμή που αρχίζει η περιστροφή κατακόρυφη.

Δείξατε ότι το καροτσάκι εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και υπολογίσατε την περίοδο.

Απάντηση:

Πότε το κέντρο μάζας θα μείνει ακίνητο

Τα δύο σώματα έχουν κυκλική διατομή, ίδια ακτίνα και κινούνται χωρίς να ολισθαίνουν στο οριζόντιο επίπεδο του σχήματος. Συνδέονται με ιδανικό ελατήριο αμελητέας μάζας.

Το κέντρο μάζας του συστήματος θα παραμείνει ακίνητο αν:

1. Τα σώματα έχουν ίδια μάζα.
2. Τα σώματα είναι ίδιου είδους (π.χ. συμπαγείς κύλινδροι και τα δύο ή κοίλες σφαίρες και τα δύο.)

Απάντηση:

Δυο σώματα συνδεδεμένα με ελατήριο (διάγραμμα).

Τα δύο σώματα του σχήματος συνδέονται με ελατήριο αμελητέας μάζας και μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές σε οριζόντιο επίπεδο.

Απομακρύνουμε τα σώματα ώστε το ελατήριο να επιμηκυνθεί και τα αφήνουμε ελεύθερα να κινηθούν. Με τη βοήθεια αισθητήρων καταγράφουμε τις θέσεις τους.

Η μεταβολή των θέσεων φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα.

1. Εξηγήσατε γιατί τα δυο σώματα ακινητοποιούνται ταυτόχρονα.
2. Πόση είναι η m₂ ;
3. Ποιο είναι το φυσικό μήκος του ελατηρίου;
4. Ποια είναι η περίοδος και η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης κάθε σώματος;
5. Αποδείξατε ότι κάθε σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.
6. Βρείτε τη σταθερά του ελατηρίου.
7. Παραστήσατε γραφικά την δυναμική , την κινητική και την ολική ενέργεια του συστήματος συναρτήσει του χρόνου.

Απάντηση