Ταλάντωση διατομικού μορίου

Ας θεωρήσουμε ότι για κάποιο διατομικό μόριο, η δύναμη μεταξύ των ατόμων του μπορεί να προσεγγισθεί από τη σχέση:

όπου r η απόσταση μεταξύ των δύο ατόμων και όπου τα C και D είναι θετικές σταθερές:

α) Σχεδιάστε προσεγγιστικά την δύναμη ως προς την απόσταση των δύο ατόμων.

β) Βρείτε τη θέση ισορροπίας (rο).

γ) Αν , είναι μια πολύ μικρή μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας, δείξτε ότι η κίνηση για τέτοιες μετατοπίσεις είναι γραμμική αρμονική ταλάντωση.

(Θεωρούμε ότι τα δύο άτομα «απομακρύνονται» από τη θέση ισορροπίας τους και αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν).

δ) Βρείτε τη σταθερά του «ελατηρίου».

ε) Προσδιορίστε την περίοδο των ταλαντώσεων.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Η περιστροφή του βάρους προκαλεί ταλάντωση του καροτσιού

Το καροτσάκι του σχήματος έχει μάζα 2kg και οι τροχοί του έχουν αμελητέα μάζα και ροπή αδράνειας. Το κέντρο μάζας του βρίσκεται στη βάση του στύλου στο μέσον του καροτσιού.

Με μηχανισμό περιστρέφεται η αβαρής ράβδος του σχήματος μήκους 30 cm στην άκρη της οποίας είναι στερεωμένος δίσκος μάζας 1 kg. Ο δίσκος περιστρέφεται ελεύθερα περί άξονα χωρίς τριβές και μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο.

(Δες: http://ylikonet.gr/profiles/blogs/poia-harthrose-tha-dechtehi-1 )

Η περίοδος περιστροφής είναι 2 s και το επίπεδο περιστροφής είναι κατακόρυφο και παράλληλο στους τροχούς του καροτσιού. Η αβαρής ράβδος είναι τη στιγμή που αρχίζει η περιστροφή κατακόρυφη.

Δείξατε ότι το καροτσάκι εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και υπολογίσατε την περίοδο.

Απάντηση:

Πότε το κέντρο μάζας θα μείνει ακίνητο

Τα δύο σώματα έχουν κυκλική διατομή, ίδια ακτίνα και κινούνται χωρίς να ολισθαίνουν στο οριζόντιο επίπεδο του σχήματος. Συνδέονται με ιδανικό ελατήριο αμελητέας μάζας.

Το κέντρο μάζας του συστήματος θα παραμείνει ακίνητο αν:

1. Τα σώματα έχουν ίδια μάζα.
2. Τα σώματα είναι ίδιου είδους (π.χ. συμπαγείς κύλινδροι και τα δύο ή κοίλες σφαίρες και τα δύο.)

Απάντηση:

Δυο σώματα συνδεδεμένα με ελατήριο (διάγραμμα).

Τα δύο σώματα του σχήματος συνδέονται με ελατήριο αμελητέας μάζας και μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές σε οριζόντιο επίπεδο.

Απομακρύνουμε τα σώματα ώστε το ελατήριο να επιμηκυνθεί και τα αφήνουμε ελεύθερα να κινηθούν. Με τη βοήθεια αισθητήρων καταγράφουμε τις θέσεις τους.

Η μεταβολή των θέσεων φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα.

1. Εξηγήσατε γιατί τα δυο σώματα ακινητοποιούνται ταυτόχρονα.
2. Πόση είναι η m₂ ;
3. Ποιο είναι το φυσικό μήκος του ελατηρίου;
4. Ποια είναι η περίοδος και η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης κάθε σώματος;
5. Αποδείξατε ότι κάθε σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.
6. Βρείτε τη σταθερά του ελατηρίου.
7. Παραστήσατε γραφικά την δυναμική , την κινητική και την ολική ενέργεια του συστήματος συναρτήσει του χρόνου.

Απάντηση

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΣ

Σφυροβόλος πετάει τη σφαίρα από ύψος h και γωνία φ ως προς τον ορίζοντα. Παρατηρούμε ότι το αβαρές νήμα που παρασύρεται με τη σφαίρα κάνει Ν περιστροφές μέχρι να πέσει στο έδαφος. 

Αν γνωρίζετε την ακτίνα R περιστροφής του κέντρου της σφαίρας πριν τη ρίψη, να δείξετε ότι το βεληνεκές είναι x_A = 2πΝRσυνφ.

Αντίσταση του αέρα παραλείπεται.                                               

Απάντηση:

Όταν το σχοινί δεν έχει αμελητέα μάζα

Αβαρής τροχαλία ακτίνας R μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχαλίας και διέρχεται από το κέντρο της.
Ένα μη εκτατό σχοινί μάζας m κα μήκους ℓ έχει τοποθετηθεί στο αυλάκι της τροχαλίας. Αρχικά το σχοινί βρίσκεται σε ισορροπία όπως στο σχήμα. Δίνουμε μια μικρή ώθηση στο άκρο Δ του σχοινιού με αποτέλεσμα το άκρο Δ να κατεβαίνει και το άκρο Α να ανεβαίνει.
Να βρεθούν συναρτήσει της μετατόπισης y του άκρου Δ του σχοινιού:
Α) Το μέτρο της ταχύτητας των σημείων του σχοινιού.
Β) Το μέτρο της επιτάχυνσης του άκρου Δ του σχοινιού.
Γ) Η δύναμη που ασκείται στην τροχαλία από τον άξονα।
Απάντηση

Τροχαλία προσαρμοσμένη σε ράβδο

Λύση:

Συμβολή ή διακρότημα;

Έστω δυο πηγές αρμονικού ήχου στις θέσεις x=0 και x₂=6m, ενός ακίνητου συστήματος αναφοράς xΟy, όπως στο σχήμα, όπου στη θέση x₁=1m βρίσκεται ακίνητος ο παρατηρητής Α.

Τη στιγμή t=0 οι δυο πηγές αρχίζουν ταυτόχρονα να ταλαντώνονται με εξίσωση:

y= A∙ημ340πt  (μονάδες στο S.Ι.)

οπότε παράγονται δύο ήχοι που διαδίδονται στη διεύθυνση x, με ταχύτητα υ=340m/s.

(Στα παρακάτω, θα αντιμετωπίσουμε τον ήχο με τις γνωστές εξισώσεις όπως και στα εγκάρσια κύματα, αφού μας είναι πιο οικεία τα πράγματα, παρότι στα διαμήκη τα πράγματα είναι μάλλον αντίστροφα, αφού αυτό που ενδιαφέρει είναι οι μεταβολές της πίεσης και όχι η απομάκρυνση, με αποτέλεσμα π.χ. στους δεσμούς να έχουμε μέγιστο πλάτος. Μπορείτε να δείτε κάτι σχετικό από εδώ.).

Ποιες είναι οι εξισώσεις των κυμάτων που παράγονται; Από την εξίσωση υ=λ∙f, βρίσκουμε:

Η συνέχεια σε pdf.

Με τον εσωτερικό μπροστινό τροχό στον αέρα !

Ή αλλιώς με το ... traction-control στη θέση OFF !
 

Οι πιο πάνω εικόνες, το «σήκωμα» δηλαδή του εσωτερικού τροχού στον αέρα, πάνω στην κορυφή μιας στροφής, ήταν συνηθισμένες στα «πισωκίνητα» αυτοκίνητα που συμμετείχαν στους αγώνες αυτοκινήτων των δεκαετιών 1960 – 70.
Ιδιαίτερα, μόλις ο οδηγός πατούσε γκάζι για να επιταχύνει εξερχόμενος από τη στροφή, τα πιο ισχυρά αυτοκίνητα είχαν την τάση να ανασηκώνουν τον εσωτερικό τροχό στον αέρα και η εικόνα αυτή είχε γίνει «σήμα κατατεθέν» μερικών αυτοκινήτων της εποχής που παρουσίαζαν έντονα την τάση αυτή στις αγωνιστικές εκδόσεις τους, όπως π.χ. οι BMW 2002, Alfa Romeo Junior (GTA, GTAm), NSU 1200ΤΤ, κλπ.
Το φαινόμενο αυτό ήταν ιδιαίτερα έντονο στις σχετικά κλειστές στροφές των σιρκουί και των αναβάσεων.
Η καλύτερη θέση για να το «απολαύσει» κανείς και να το φωτογραφήσει ήταν η εξωτερική κορυφή προς την έξοδο της στροφής, που όμως ήταν και το σημείο στο οποίο κατέληγε το αυτοκίνητο, αν «αποφάσιζε» να εγκαταλείψει το δρόμο!
Στα σημερινά αυτοκίνητα δεν παρατηρείται πλέον κάτι τέτοιο, διότι η εξέλιξη στην τεχνολογία των αναρτήσεων, των αντιστρεπτικών δοκών και γενικότερα στη σχεδίαση του αμαξώματος δεν επιτρέπουν πλέον σ’ αυτό να παίρνει περίεργες κλίσεις και το αναγκάζουν να διατηρείται κατά το δυνατόν οριζόντιο.
Πώς ερμηνεύεται λοιπόν αυτό το φαινόμενο;
Διαβάστε τη συνέχεια ΕΔΩ

"ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

Είναι παλιά η συζήτηση για το εάν τα μαθηματικά υπηρετούν τις ανάγκες της Φυσικής ή οι δύο αυτές επιστήμες είναι συνυφασμένες τόσο στενά μεταξύ τους,...Συνέχεια

Δύο δίσκοι με ιμάντα και οι γωνιακές τους ταχύτητες

Πώς σχετίζονται οι γωνιακές ταχύτητες δύο δίσκων συνδεδεμένων με ιμάντα;

Ισχύει πάντα ω₁·R₁ = ω₂·R₂ ;

Διαβάστε τη συνέχεια … ΕΔΩ

Μια σύνθετη κίνηση ράβδου.

Μόνο για καθηγητές

Μια ομογενής ράβδος μάζας 0,4kg και μήκους l=2,4m ηρεμεί στην επιφάνεια μιας παγωμένης λίμνης. Σε μια στιγμή δέχεται στιγμιαίο λάκτισμα στο ένα της άκρο Α. Αν δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου Ι=1/12 Μℓ²:

i)  Να βρεθεί ένα σημείο της ράβδου Ρ, το οποίο να έχει μηδενική ταχύτητα, αμέσως μετά το λάκτισμα.

ii) Αν ω=12rad/s να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια που απέκτησε η ράβδος.

Απάντηση:

ή με κλικ ΕΔΩ.

Δυο δαχτυλίδια συγκρούονται

Δυο εντελώς ίδια δαχτυλίδια μάζας m βρίσκονται σε λεία οριζόντια επιφάνεια. Το πρώτο κινείται με ταχύτητα υ και στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω και το δεύτερο είναι ακίνητο. Συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά και η μεταξύ τους τριβή τα αναγκάζει όταν αποκολλώνται να περιστρέφονται χωρίς να παρατηρείται ολίσθηση μεταξύ τους.

1. Υπολογίσατε την ταχύτητα και την γωνιακή ταχύτητα κάθε δαχτυλιδιού μετά την κρούση.

2. Ποιος πρέπει να είναι ο ελάχιστος συντελεστής τριβής ώστε να παρατηρηθούν τα ανωτέρω ;

3. Αν ο συντελεστής τριβής έχει μικρότερη τιμή από την ανωτέρω να υπολογίσετε την ταχύτητα και την γωνιακή ταχύτητα κάθε δαχτυλιδιού μετά την κρούση.

4. Διατηρείται η μηχανική ενέργεια ;

Απάντηση:

1ος και 2ος νόμος του Euler

Η άσκηση μιας δύναμης σ’ ένα σημείο ενός στερεού προκαλεί μεταφορά ή και περιστροφή όλων των υλικών του σημείων. Πως μεταφέρεται αυτή η δύναμη στα υπόλοιπα σημεία του στερεού;

Απάντηση

Και τελικά τι κάνει η σφαίρα;

Η άσκηση Μια σφαίρα  σε σωλήνα είχε ένα ακόμη ερώτημα. Προβληματίστηκα αν θα πρέπει να το δώσω, θεωρώντας το δύσκολο. Έτσι δεν υπήρχε στην αρχική ανάρτηση. Αυτές τις μέρες σκεφτόμουν, ότι πολλές φορές όταν εφαρμόζουμε την αρχή διατήρηση της στροφορμής, οι μαθητές μας συναντούν ιδιαίτερη δυσκολία να κατανοήσουν τι συμβαίνει με τις ενέργειες ή τους φαίνεται περίεργη η κατάσταση. Δίνω λοιπόν το ερώτημα αυτό, απευθύνοντάς το όμως, μόνο στους συναδέλφους και όχι σε μαθητές.

……………………………..

Ένας σωλήνας μήκους ℓ₁=6m, μπορεί να περιστρέφεται οριζόντια, γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο του Ο και είναι ακίνητος. Τοποθετούμε στο εσωτερικό του μια σφαίρα μάζας 4kg την οποία δένουμε με ελατήριο σταθεράς k=50Ν/m με μήκος 2m, το άλλο άκρο του οποίου δένεται στη βάση του σωλήνα. Κάποια στιγμή ασκούμε στο άλλο άκρο του σωλήνα Α οριζόντια δύναμη  σταθερού μέτρου F=10Ν, η οποία παραμένει συνεχώς κάθετη στον άξονα του σωλήνα.

 Έτσι το σύστημα αρχίζει να περιστρέφεται. Μετά από λίγο καταργούμε τη δύναμη και παρατηρούμε ότι τελικά^* η σφαίρα εκτελεί κυκλική κίνηση και το μήκος του ελατηρίου είναι πλέον 4m. Αν δεν υπάρχουν τριβές και η ροπή αδράνεια του σωλήνα ως προς τον άξονα περιστροφής είναι Ι=120kg∙m², ζητούνται:

    i)   Η τελική γωνιακή ταχύτητα του σωλήνα.

ii)  Ο αριθμός των περιστροφών του σωλήνα για όσο χρόνο ασκείται η δύναμη F.

iii) Σε μια στιγμή ενώ έχει αποκατασταθεί μόνιμη κατάσταση, η σφαίρα λύνεται από το ελατήριο. Ποια θα είναι τελικά η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σωλήνα;

iv)  Τη στιγμή που η σφαίρα εγκαταλείπει το σωλήνα, ποια γωνία θα σχηματίζει η ταχύτητά της με τον άξονα του σωλήνα;

^*Τελικά: Η σφαίρα θα εκτελεί για αρκετό  διάστημα μια ιδιόμορφη ταλάντωση μέχρι που να αποκατασταθεί μόνιμη κατάσταση.

Απάντηση:
ή

Και τελικά τι κάνει η σφαίρα;