Η ομορφιά της συμμετρίας και το εγκώμιο της ατέλειας , Αρθρογραφία, ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΖΩΝΗ

Η ομορφιά της συμμετρίας και το εγκώμιο της ατέλειας , Αρθρογραφία, ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΖΩΝΗ

Πόσο νερό θα βγει από κάθε τρύπα;

Έχουμε ένα κυλινδρικό δοχείο γεμάτο νερό.

Κοντά στον πάτο και στη μέση έχουμε δυο εντελώς όμοιες τρύπες ταπωμένες.

Βγάζουμε τις τάπες ταυτόχρονα.

Πόσο νερό θα βγει από κάθε τρύπα;

Συνέχεια:

Πόση είναι τελικά η παροχή;

Βρίσκω σε σημειώσεις που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο μία απόπειρα υπολογισμού του χρόνου αδειάσματος ενός δοχείου.

Το άδειασμα δοχείου έχει (κατά το δημοσίευμα) μαθηματική ομοιότητα με την εκφόρτιση πυκνωτή.

Κάτι δεν μου αρέσει. Αρχικά διότι, ενώ καταλήγει σε κάτι ελκυστικό, πολυπλοκοποιεί κάτι που θεωρούσα πολύ απλό.

Τι συμβαίνει τελικά;

Συνέχεια σε pdf:

Μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Είδα πως ο Διονύσης ανέβασε πρόσφατα μια συζήτηση του 2009.

Η συζήτηση ξεκίνησε από τον Κώστα Μυσίρη. Ήταν η:

 «1ο Μέρος. Διάταξη σύνθεσης ταλαντώσεων; Η μήπως … συντονισμού;»

Τότε πλησίαζε η μέρα της παρουσίασης του βιβλίου των Θ. Μαχαίρα και Στ. Λέτη «Θέματα Φυσικής».

Το θέμα αντιμετωπίζεται με λεπτομέρειες στο βιβλίο, στο Κεφάλαιο 3.

Ένας διεγέρτης-παιγνίδι:

Ένα καροτσάκι δεμένο με δυο ελατήρια.

Ένα μοτεράκι περιστρέφει έναν ελαφρύ δίσκο, στην περιφέρεια του οποίου έχουμε ένα βαράκι.

Θα εκτελέσει εξαναγκασμένη ταλάντωση το καροτσάκι;

Συνέχεια:

Ράβδος εν γωνία άρα ταλαντεύεται

Το ραβδί έχει μάζα 10kg και μήκος 5m.

Τα ροδάκια έχουν αμελητέες μάζες και κυλίονται μια χαρά στον τοίχο και το πάτωμα, ότι και να γίνει.

Το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και σταθερά 100Ν/m.

Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι «ασκησιακή».

1. Σε ποια θέση θα ακινητοποιηθεί στιγμιαία;

2. Ποια είναι η θέση ισορροπίας;

3. Ποια η περίοδος της ταλάντωσης;

Συνέχεια:

Το παράδοξο του, έχοντος μάζα, ελατηρίου

Κρατώ το σώμα μάζας Μ έτσι ώστε το ελατήριο μάζας m και σταθεράς k να είναι τεντωμένο κατά Α.

Προφανώς ασκώ δύναμη μέτρου k.A.

Το ελατήριο ασκεί δύναμη στο σώμα μέτρου επίσης k.A και αφού ισορροπεί δέχεται από τον τοίχο δύναμη ίδιου μέτρου.

Μόλις αφήνω το σώμα, το ελατήριο έχει παραμόρφωση Α.

Ποιες είναι οι δυνάμεις που το ελατήριο ασκεί στο σώμα και ο τοίχος στο ελατήριο;

Είναι πάλι k.A διότι το ελατήριο έχει ίδια παραμόρφωση;

Συνέχεια:

Η δύναμη που ασκεί το λάστιχο στο καρφί

Έχουμε ένα λάστιχο μάζας m, μήκους L και σταθεράς k.

Το τεντώνουμε κατά Α και το αφήνουμε.

Ποια είναι η δύναμη που δέχεται ο τοίχος όταν η παραμόρφωση του λάστιχου είναι x;

Συνέχεια:

Το κυκλικό μπιλίαρδο

Έχ 

Έχουμε ένα κυκλικό μπιλιάρδο.

Η κόκκινη μπίλια κινείται χωρίς τριβές στην ιδανική τσόχα του.

Οι κρούσεις με την σπόντα του είναι ελαστικές και απαλλαγμένες τριβών.

Πως πρέπει να χτυπήσουμε την μπίλια ώστε να ξαναγυρίσει στο σημείο εκκίνησης;

Προφανώς μία λύση είναι να κινηθεί κατά την διάμετρο στην οποία ανήκει και να χτυπήσει δυο φορές στην σπόντα.

         Άλλες λύσεις υπάρχουν;

Συνέχεια:

Βρείτε τις δύο περιόδους

Βρείτε τις δύο περιόδους.

Το σώμα μάζας M είναι ομογενής δίσκος.

Κυλίεται συνεχώς χωρίς να παρατηρείται ολίσθηση κατά την διάρκεια του πειράματος.

Το νήμα και η τροχαλία έχουν ασήμαντες μάζες.

Βρείτε τις περιόδους των ταλαντώσεων των δύο σωμάτων.

Θεωρήσατε ότι ο δίσκος δεν συγκρούεται με το νήμα.

Απάντηση:

Μια ταλάντωση, κατά προσέγγισιν αρμονική.

Δείξατε ότι αν το κεντρικό σώμα εκτραπεί ελάχιστα από την θέση ισορροπίας του εκτελεί, κατά προσέγγισιν, αρμονική ταλάντωση.

Υπολογίσατε την περίοδο.

Οι κρεμασμένες μάζες είναι τέτοιες ώστε το σώμα να μην ανασηκωθεί κατά την κίνησή του.

Συνέχεια:

Δυο μπαλάκια και ένας κρίκος

Δυο ολόιδια μπαλάκια, μάζας m, είναι δεμένα με αβαρή νήματα σε αβαρή κρίκο, όπως στο σχήμα. Οι ακτίνες τους είναι αμελητέες προ του μήκους των νημάτων.

Ο κρίκος δέχεται σταθερή δύναμη, κάθετη αρχικά στα δύο νήματα.

Θέλουμε να βρούμε τις ταχύτητες των μπαλακίων και του κρίκου, την στιγμή που αυτά συγκρούονται.

Θέλουμε επίσης να βρούμε ποια στιγμή συγκρούονται, πόσο έχει μετακινηθεί ο κρίκος και ότι άλλο μπορούμε να βρούμε.

Θέλουμε επίσης να κουραστούμε όσο λιγότερο γίνεται.

Επιτρέπεται χρήση υπολογιστή.

Συνέχεια: