Η ομορφιά της συμμετρίας και το εγκώμιο της ατέλειας , Αρθρογραφία, ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΖΩΝΗ

Η ομορφιά της συμμετρίας και το εγκώμιο της ατέλειας , Αρθρογραφία, ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΖΩΝΗ

Πόσο νερό θα βγει από κάθε τρύπα;

Έχουμε ένα κυλινδρικό δοχείο γεμάτο νερό.

Κοντά στον πάτο και στη μέση έχουμε δυο εντελώς όμοιες τρύπες ταπωμένες.

Βγάζουμε τις τάπες ταυτόχρονα.

Πόσο νερό θα βγει από κάθε τρύπα;

Συνέχεια:

Πόση είναι τελικά η παροχή;

Βρίσκω σε σημειώσεις που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο μία απόπειρα υπολογισμού του χρόνου αδειάσματος ενός δοχείου.

Το άδειασμα δοχείου έχει (κατά το δημοσίευμα) μαθηματική ομοιότητα με την εκφόρτιση πυκνωτή.

Κάτι δεν μου αρέσει. Αρχικά διότι, ενώ καταλήγει σε κάτι ελκυστικό, πολυπλοκοποιεί κάτι που θεωρούσα πολύ απλό.

Τι συμβαίνει τελικά;

Συνέχεια σε pdf:

Μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Είδα πως ο Διονύσης ανέβασε πρόσφατα μια συζήτηση του 2009.

Η συζήτηση ξεκίνησε από τον Κώστα Μυσίρη. Ήταν η:

 «1ο Μέρος. Διάταξη σύνθεσης ταλαντώσεων; Η μήπως … συντονισμού;»

Τότε πλησίαζε η μέρα της παρουσίασης του βιβλίου των Θ. Μαχαίρα και Στ. Λέτη «Θέματα Φυσικής».

Το θέμα αντιμετωπίζεται με λεπτομέρειες στο βιβλίο, στο Κεφάλαιο 3.

Ένας διεγέρτης-παιγνίδι:

Ένα καροτσάκι δεμένο με δυο ελατήρια.

Ένα μοτεράκι περιστρέφει έναν ελαφρύ δίσκο, στην περιφέρεια του οποίου έχουμε ένα βαράκι.

Θα εκτελέσει εξαναγκασμένη ταλάντωση το καροτσάκι;

Συνέχεια:

Ράβδος εν γωνία άρα ταλαντεύεται

Το ραβδί έχει μάζα 10kg και μήκος 5m.

Τα ροδάκια έχουν αμελητέες μάζες και κυλίονται μια χαρά στον τοίχο και το πάτωμα, ότι και να γίνει.

Το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και σταθερά 100Ν/m.

Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι «ασκησιακή».

1. Σε ποια θέση θα ακινητοποιηθεί στιγμιαία;

2. Ποια είναι η θέση ισορροπίας;

3. Ποια η περίοδος της ταλάντωσης;

Συνέχεια:

Το παράδοξο του, έχοντος μάζα, ελατηρίου

Κρατώ το σώμα μάζας Μ έτσι ώστε το ελατήριο μάζας m και σταθεράς k να είναι τεντωμένο κατά Α.

Προφανώς ασκώ δύναμη μέτρου k.A.

Το ελατήριο ασκεί δύναμη στο σώμα μέτρου επίσης k.A και αφού ισορροπεί δέχεται από τον τοίχο δύναμη ίδιου μέτρου.

Μόλις αφήνω το σώμα, το ελατήριο έχει παραμόρφωση Α.

Ποιες είναι οι δυνάμεις που το ελατήριο ασκεί στο σώμα και ο τοίχος στο ελατήριο;

Είναι πάλι k.A διότι το ελατήριο έχει ίδια παραμόρφωση;

Συνέχεια:

Η δύναμη που ασκεί το λάστιχο στο καρφί

Έχουμε ένα λάστιχο μάζας m, μήκους L και σταθεράς k.

Το τεντώνουμε κατά Α και το αφήνουμε.

Ποια είναι η δύναμη που δέχεται ο τοίχος όταν η παραμόρφωση του λάστιχου είναι x;

Συνέχεια:

Το κυκλικό μπιλίαρδο

Έχ 

Έχουμε ένα κυκλικό μπιλιάρδο.

Η κόκκινη μπίλια κινείται χωρίς τριβές στην ιδανική τσόχα του.

Οι κρούσεις με την σπόντα του είναι ελαστικές και απαλλαγμένες τριβών.

Πως πρέπει να χτυπήσουμε την μπίλια ώστε να ξαναγυρίσει στο σημείο εκκίνησης;

Προφανώς μία λύση είναι να κινηθεί κατά την διάμετρο στην οποία ανήκει και να χτυπήσει δυο φορές στην σπόντα.

         Άλλες λύσεις υπάρχουν;

Συνέχεια:

Βρείτε τις δύο περιόδους

Βρείτε τις δύο περιόδους.

Το σώμα μάζας M είναι ομογενής δίσκος.

Κυλίεται συνεχώς χωρίς να παρατηρείται ολίσθηση κατά την διάρκεια του πειράματος.

Το νήμα και η τροχαλία έχουν ασήμαντες μάζες.

Βρείτε τις περιόδους των ταλαντώσεων των δύο σωμάτων.

Θεωρήσατε ότι ο δίσκος δεν συγκρούεται με το νήμα.

Απάντηση:

Μια ταλάντωση, κατά προσέγγισιν αρμονική.

Δείξατε ότι αν το κεντρικό σώμα εκτραπεί ελάχιστα από την θέση ισορροπίας του εκτελεί, κατά προσέγγισιν, αρμονική ταλάντωση.

Υπολογίσατε την περίοδο.

Οι κρεμασμένες μάζες είναι τέτοιες ώστε το σώμα να μην ανασηκωθεί κατά την κίνησή του.

Συνέχεια:

Δυο μπαλάκια και ένας κρίκος

Δυο ολόιδια μπαλάκια, μάζας m, είναι δεμένα με αβαρή νήματα σε αβαρή κρίκο, όπως στο σχήμα. Οι ακτίνες τους είναι αμελητέες προ του μήκους των νημάτων.

Ο κρίκος δέχεται σταθερή δύναμη, κάθετη αρχικά στα δύο νήματα.

Θέλουμε να βρούμε τις ταχύτητες των μπαλακίων και του κρίκου, την στιγμή που αυτά συγκρούονται.

Θέλουμε επίσης να βρούμε ποια στιγμή συγκρούονται, πόσο έχει μετακινηθεί ο κρίκος και ότι άλλο μπορούμε να βρούμε.

Θέλουμε επίσης να κουραστούμε όσο λιγότερο γίνεται.

Επιτρέπεται χρήση υπολογιστή.

Συνέχεια:

Η σφαίρα ανηφορίζει

Υπάρχει ένα παιγνίδι ονομαζόμενο «πυροβολήσατε το φεγγάρι».

Όταν οι ράβδοι της φωτογραφίας είναι παράλληλοι τότε η σφαίρα κατηφορίζει, ως ανεμένετο.

Όταν όμως οι ράβδοι σχηματίζουν γωνία αυτή ανηφορίζει, μέχρι να πέσει στην τρύπα που επιδιώκει ο παίκτης.

Μια γιγαντιαία εκδοχή φαίνεται στο παρακάτω βίντεο:

http://ozmalul.com/?p=138

Η εξήγηση δεν είναι δύσκολη. Αν προσέξουμε θα δούμε ότι σε κάθε περίπτωση το κέντρο μάζας «κατεβαίνει» και η δυναμική ενέργεια μειώνεται.

Ποια ταχύτητα θα έχει όταν θα έχει διανύσει απόσταση x πάνω στις ράγες;

Συνέχεια:

Μια απρόσμενη αύξηση ταχύτητας.

Χρειάζεστε ένα καρούλι σαν αυτό του σχήματος και ένα λεπτό κομμάτι κόντρα πλακέ.

Ο άξονας κυλίεται στο ξύλο και πέφτει από κάποιο ύψος στο πάτωμα όπως φαίνεται στο σχήμα.

Θα παρατηρήσουμε σημαντική αύξηση της ταχύτητας του καρουλιού.

Η εξήγηση και η μελέτη της περίπτωσης ακολουθεί.

Έστω 1kg η μάζα του καρουλιού, αμελητέα η μάζα του άξονα και οι ακτίνες ας είναι 10cm και 1cm.

Έστω επίσης ότι ημφ=0,6 και συνφ=0,8.

Επεξεργασία:

Οι ορμές δύο σωμάτων συνδεδεμένων με ελατήριο.

Το ελατήριο του σχήματος έχει το φυσικό του μήκος (90cm) όταν, με κάποιο τρόπο, το πράσινο σώμα αποκτά ταχύτητα 8m/s.

Το κόκκινο σώμα είναι την στιγμή εκείνη ακίνητο. Το δάπεδο λείο και οριζόντιο.

Να υπολογισθεί η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου.

Απαντήσεις:

Στήστε μια άσκηση εξαναγκασμένης ταλάντωσης.

Είναι κάτι σχετικά εύκολο. Όσο για την λύση της, άλλοτε εύκολη και άλλοτε όχι, δεν απαιτείται παρά η σχέση F=m.α. Η ποικιλία των ασκήσεων μεγάλη.

Όμως αν θέλουμε ακέραια αποτελέσματα, γνωστές γωνίες κ.λ.π. πρέπει να το φροντίσουμε.

Στα εναλλασσόμενα ήταν κάτι σχετικά απλό. Ζωγραφική και στήσιμο ενός βολικού ορθογωνίου τριγώνου. Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο. Μας το επιτρέπει η μαθηματική ομοιότητα.

Συνέχεια:

Η μεταφορά ορμής.

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα Σ μάζας Μ. Τη χρονική στιγμή t₀=0 στο σώμα ασκείται μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=2Ν.

i)  Ποια η ορμή του σώματος Σ τη στιγμή t₁=10s;

ii) Αν στη θέση του σώματος Σ, είχαμε δυο σώματα Α και Β με μάζες m και 3m, τα

οποία συνδέονται με αβαρές νήμα και ασκούσαμε την ίδια δύναμη στο σώμα Β, να βρεθεί η ορμή κάθε σώματος τη στιγμή t₁.

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα έχουμε τα σώματα Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁=1kg και m₂=4kg,τα οποία συνδέονται με ιδανικό ελατήριο, όπως στο τρίτο σχήμα. Ασκούμε ξανά την ίδια δύναμη στο σώμα Σ₂, οπότε τη στιγμή t₁ το σώμα Σ₂, έχει ταχύτητα μέτρου υ₂=3m/s. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Σ₁ την ίδια χρονική στιγμή t₁.

iv) Τη στιγμή t₁ σταματά να ασκείται η δύναμη F.  Μια επόμενη χρονική στιγμή t₂ η ταχύτητα του σώματος Σ₁ μηδενίζεται στιγμιαία. Να βρεθεί η ταχύτητα του Σ₂ τη στιγμή αυτή.

Απάντηση:

ή

    Η μεταφορά ορμής.

Η μεταφορά ορμής.

 

Πόσο θα συμπιεσθεί το ελατήριο;

Η καρότσα του φορτηγού του σχήματος είναι εντελώς λεία.

Το όχημα κινείται με ταχύτητα 9 m/s.

Το όχημα φρενάρει.

Η επιτάχυνση έχει μέτρο 3m/s²

Πόσο θα συμπιεσθεί το ελατήριο;

Πόσο θα συμπιεσθεί το ελατήριο αν η ταχύτητα του οχήματος είναι  π/3 m/s;

Απάντηση:

Ποια είναι η μεγαλύτερη γωνία εκτροπής του νήματος;

Η πλατφόρμα του σχήματος έχει μάζα 1 kg.

Ίδια μάζα έχει και το σημειακό κίτρινο σφαιρίδιο.

Ασκούμε στην πλατφόρμα σταθερή οριζόντια δύναμη

20/3 N.

Πόση είναι η μέγιστη τιμή της γωνίας εκτροπής του νήματος.

Το νήμα έχει μήκος 1 m.

Το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο.

Απάντηση:

Πότε και που σταματάει το σώμα;

Το ελατήριο του σχήματος έχει σταθερά 200 Ν/m.

Η μάζα του σώματος είναι 2 kg.

Ο συντελεστής τριβής είναι 0,5.

Τεντώνω το ελατήριο κατά 0,15 m και το αφήνω.

Σε ποια θέση θα σταματήσει και σε πόσο χρόνο;

Απάντηση:

Ένα Χρονοκύκλωμα με πηνίο.

Στο κύ­κλω­μα του σχή­μα­τος δί­νο­νται: Ε=40V, R₁=4Ω, R₂=4Ω,  L=0,2H. Τη χρονική στιγμή t₀=0 κλείνουμε το διακόπτη και τη στιγμή t₁=0,5s, τον ανοίγουμε.

i)  Να βρεθεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει κάθε κλάδο του κυκλώματος για t=0⁺ (αμέσως μετά το κλείσιμο του διακόπτη) καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της έντασης.

ii) Να γί­νουν οι γρα­φι­κές πα­ραστάσεις των εντάσεων των ρευμάτων, σε συνάρτηση με το χρόνο.

iii) Να γίνουν επίσης οι γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με το χρόνο, των τάσεων V_ΓΔ, V_ΒΖ και V_ΒΚ.

Απάντηση:

ή

Ένα Χρονοκύκλωμα με πηνίο

Ένα χρονοκύκλωμα με πυκνωτή.

Στο κύ­κλω­μα του παραπάνω σχή­μα­τος, δίνονται ότι R₁=R₂=10KΩ, C=50μF και Ε=100V. Τη στιγμή t₀=0, με τον πυκνωτή αφόρτιστο, κλεί­νου­με το δια­κό­πτη Δ και τη  στιγμή t₁=3s τον α­νοί­γου­με.

i)  Να γί­νουν οι γρα­φι­κές πα­ρα­στά­σεις των ε­ντά­σε­ων των ρευ­μά­των που διαρ­ρέ­ουν τους κλά­δους του κυ­κλώ­μα­τος σε συ­νάρ­τη­ση με το χρό­νο και να υ­πο­λο­γιστούν τα εμ­βα­δά των χω­ρί­ων που σχη­μα­τί­ζο­νται από τις γραφικές παραστάσεις και τον άξονα των χρόνων.   

ii) Να βρεθεί η ολική ενέργεια που παρέχει η πηγή στο κύκλωμα.

iii) Ποι­ος ο ρυθ­μός με­τα­βο­λής της έ­ντα­σης του ρεύ­μα­τος που διαρ­ρέ­ει την α­ντί­στα­ση R₂, τη χρο­νι­κή στιγ­μή t₂  που η τά­ση στα ά­κρα της εί­ναι ίση με 40V.    

Απάντηση:

ή

Ένα χρονοκύκλωμα με πυκνωτή.

Σχετική και απόλυτη στροφορμή - Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής

Μια προσπάθεια κωδικοποίησης των εννοιών της σχετικής, της απόλυτης στροφορμής και του ρυθμού μεταβολής της, για ένα σύστημα υλικών σημείων.

Η συνέχεια ΕΔΩ.

Μια αντιστρεπτή και μια μη αντιστρεπτή μηχανή.

Σχετίζεται η απόδοση μιας ψυκτικής μηχανής με την κλασική απόδοσή της;

Συνέχεια:

4 ασκήσεις με δεξαμενές, βρύσες, νερά.

Ένα παιγνίδι με θέμα το άδειασμα δεξαμενών.

Συνέχεια:

Διάφορα περί ρευστών

Μια δεξαμενή τροφοδοτεί μία άλλη.
Σε πόσο χρόνο θα ολοκληρωθεί η μεταφορά;


Συνέχεια:

Θα πλεύσει ή θα πιάσει πάτο;

Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα 2kg και εμβαδόν βάσης 200cm².

Το ύψος του είναι 20cm. Όγκος επομένως 4L.

Θέλουμε να πλεύσει σε νερό αλλά το μόνο δοχείο που διαθέτουμε είναι κυλινδρικό ύψους 20cm και με εμβαδόν πάτου 202cm³. Ρίχνουμε στο δοχείο μας 40cm³ νερό.

Θα πλεύσει ο κύλινδρός μας ή πάτον θα πιάσει;

Συνέχεια:

Στιγμιαίος άξονας με ελάχιστα Μαθηματικά.

Η χρήση του στιγμιαίου άξονα θέλει κάποια προσοχή.
Το θέμα αντιμετωπίζεται χωρίς πολλά Μαθηματικά.

Συνέχεια:

Πως πρέπει να χτυπήσουμε τη μπίλια;

Οι μπίλιες απέχουν απόσταση 30cm.

Ο συντελεστής τριβής μεταξύ τσόχας και μπίλιας είναι 0,5.

Οι τριβές μεταξύ μπίλιας και μπίλιας να αμεληθούν.

Θέλουμε η κόκκινη να «αναχωρήσει» με ταχύτητα 1m/s , ενώ η πικέ να παραμείνει ακίνητη.

Πως πρέπει να χτυπήσουμε την πικέ;

Το χτύπημα να γίνει στο ίδιο ύψος με το κέντρο.

Μην βιαστείτε και απαντήσετε ότι όπως και να χτυπήσουμε την πικέ θα έχουμε ανταλλαγή ταχυτήτων.

Αν η πικέ περιστρέφεται κατά την κρούση θα δράσει επ’ αυτής δύναμη τριβής και αυτή θα κινηθεί προς τα εμπρός ή προς τα πίσω.

Συνέχεια:

Γιατί το «να κόβεις δρόμο» είναι καλό…

Αρκεί να μην χαθεί το μονοπάτι…

Μόνο για Καθηγητές.

Μια ράβδος ΑΒ κινείται οριζόντια σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή το άκρο Α, έχει ταχύτητα μέτρου υ₁=1m/s, όπως στο σχήμα. Την ίδια στιγμή το σημείο Β, το οποίο απέχει από το Α κατά (ΑΒ)=1m, έχει ταχύτητα υ₂ η οποία σχηματίζει γωνία 45^ο με τον άξονα της ράβδου.

Να βρεθεί η ταχύτητα, τη στιγμή αυτή, του σημείου Γ, αν (ΑΓ)=3m;

Απάντηση:

ή

	Γιατί το «να κόβεις δρόμο» είναι καλό…

Κεντρομόλος και επιτρόχιος επί ράβδου

Η λεπτή ομογενής ράβδος του σχήματος έχει μάζα 12 kg και μήκος 2m.

Βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συνδέεται με αβαρείς ράβδους με το σημείο Ο περιστρέφεται περί αυτό με γωνιακή ταχύτητα 2 rad/s.

Βρείτε τις δυνάμεις που οι αβαρείς ράβδοι ασκούν στην ράβδο.

Αυτές έχουν ίδιο μήκος και είναι κάθετες μεταξύ τους.

Είναι προφανές το ότι το Ο απέχει από το κέντρο μάζας της ράβδου απόσταση όση το μισό της υποτείνουσας-ράβδου, δηλαδή 1m.

Συνέχεια:

Η πίεση και οι εκδοχές της. Από τον Galileo στον Einstein.

Η πίεση και οι εκδοχές της. Από τον Galileo στον Einstein.
Η συνέχεια στο Εδώ.

Χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο ταχυτήτων με τον νόμο Bernoulli εν ισχύ

Μια κυλινδρική δεξαμενή έχει εμβαδόν βάσης Α₁ και ύψος H. Κοντά στην βάση της υπάρχει μικρή τρύπα εμβαδού Α₂, η οποία φράσσεται με τάπα. Η δεξαμενή είναι γεμάτη με ιδανικό ασυμπίεστο υγρό πυκνότητας ρ. Κάποια στιγμή απομακρύνουμε την τάπα αφήνοντας το υγρό ελεύθερο να κινηθεί.

1)      Να υπολογίσετε την ταχύτητα του υγρού αμέσως έξω από την οπή σε συνάρτηση με την απόσταση που έχει κατέβει η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού.

2)      Να συγκρίνετε το αποτέλεσμα με το θεώρημα Torricelli

3)      Να εξετάσετε αν η ροή μπορεί να θεωρηθεί μόνιμη καθ’ όλη την διάρκεια της εκροής.

Η λύση σε Word και σε pdf.

Πεδία ταχύτητας και πιέσης σε κόλουρο κώνο

Θεωρούμε ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης, το οποίο έχει σχήμα κόλουρου κώνου. Οι βάσις του έχουν ακτίνες R₁ και R₂ και το ύψος του είναι H. Θεωρούμε επίσης ότι η ροή είναι αστρόβιλη. Έστω υ₁ και p₁ η ταχύτητα και η πίεση του υγρού στο κέντρο της μικρής βάσης. Ζητάμε να υπολογίσουμε την πίεση και την ταχύτητα σε όλη την έκταση του υγρού. Για λόγους απλότητας θεωρούμε ότι η ροή παρουσιάζει συμμετρία στροφής ως προς τον άξονα συμμετρίας του κώνου.

Απάντηση σε Word και pdf

Σε πόσο χρόνο θα αδειάσει η σύριγγα;

Η σύριγγα του σχήματος έχει μήκος L και εμβαδόν διατομής Α και περιέχει ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ.

Το άνοιγμα έχει εμβαδόν διατομής A/λ  και το έμβολο έχει αμελητέα μάζα.

Προκειμένου να αδειάσουμε την σύριγγα, ασκούμε στο έμβολο σταθερή οριζόντια δύναμη F.

Να υπολογίσετε:

         i.            i)Την ταχύτητα του εμβόλου ως συνάρτηση της μετατόπισης του.

       ii.            ii) Tο χρονικό διάστημα που απαιτείται για να αδειάσει η σύριγγα.

      iii.            iii)Tην κατανομή πιέσεων κατά μήκος της σύριγγας.

     iv.            iv) Tην δύναμη που ασκεί το τοίχωμα της σύριγγας στο υγρό.

llsss  Θεωρήστε ότι η σύριγγα βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας.

          Θεωρήστε επίσης αμελητέα την κύρτωση των ρευματικών γραμμών κοντά στο τοίχωμα που βρίσκεται το άνοιγμα.

H      Η απάντηση σε word και σε pdf