Η ταλάντωση ενός συστήματος

 Στην προηγούμενη ανάρτηση «Μια κρούση και δυο «κρούσεις» …» υπήρχε ένα ερώτημα για καθηγητές.

Ώρα να απαντηθεί σε μια ανεξάρτητη εκδοχή … 

Η Άσκηση:

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο σώματα Α και Β, με μάζες m1=1kg και m2=2kg, δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=24Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του l0=0,6m. Σε μια στιγμή t=0, λόγω κρούσης το σώμα Α αποκτά ταχύτητα μέτρου υ=1,8m/s, με κατεύθυνση προς το σώμα Β.

i) Να μελετηθεί η κίνηση του συστήματος.

ii) Να βρεθούν οι  συναρτήσεις υ=f(t) για τις ταχύτητες των δύο σωμάτων σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις.

iii) Να βρεθεί η μετατόπιση του σώματος Α, τη χρονική στιγμή t1=61π/36 s.

Απάντηση:

ή

Η ταλάντωση ενός συστήματος

Η ταλάντωση ενός συστήματος

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

 

Η διαφορική εξίσωση στο κύκλωμα LC, όπως αυτό της ανάρτησης «Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή», είναι: 

Η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα:

Η εξίσωση αυτή είναι 2ης  τάξης, μη ομογενής, αφού έχει μη μηδενικό 2ο μέλος.

Λύνουμε την αντίστοιχη ομογενή…

Διαβάστε τη συνέχεια:

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή.

  

Σαν συνέχεια της ανάρτησης «φόρτιση  πυκνωτή», ας αντικαταστήσουμε τον αντιστάτη από ένα πηνίο, αρχικά ιδανικό και στη συνέχεια με ένα πηνίου που έχει κάποια αντίσταση R.

Εφαρμογή 1^η:

Στο διπλανό κύκλωμα το ιδανικό πηνίο έχει αυτεπαγωγή L=2mΗ και ο αφόρτιστος πυκνωτής χωρητικότητα C=20μF, ενώ η ιδανική πηγή έχει ΗΕΔ Ε=10V. Σε μια στιγμή κλείνουμε το διακόπτη. 

Να βρεθούν σε συνάρτηση με το χρόνο:

   i)    Το φορτίο του πυκνωτή.

   ii)   Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.

 Ποιες οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις;

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή.

Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή.

Geo

Πάμε να αλλάξουμε ξανά την πηγή;

 

Επανερχόμαστε στο κύκλωμα της ανάρτησης «Δύο χρονοκυκλώματα μαζί!» αλλά τώρα η πηγή τροφοδοσίας είναι ένας εναλλακτήρας η στιγμιαία τάση του οποίου δίνεται από την εξίσωση υ=80√2ημ(1000t) (S.I.). Δίνονται για το κύκλωμα R₁=R₂=R=40Ω, C=25μF, ενώ το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,04Η.

i)  Να βρεθεί η εξίσωση i=f(t) της έντασης του ρεύματος που διαρρέει κάθε κλάδο του κυκλώματος.

ii) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς του ηλεκτρικού ρεύματος, που διαρρέει το κύκλωμα.

iii) Να υπολογιστούν η μέγιστη ενέργεια που αποθηκεύεται στον πυκνωτή και στο πηνίο.

iv) Υποστηρίζεται η άποψη ότι «τη στιγμή που η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι μέγιστη, η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι μηδενική και αντίστροφα». Να εξετάσετε την ορθότητα της άποψης αυτής.

Απάντηση:

ή

Αλλάζουμε ξανά την πηγή

Αλλάζουμε ξανά την πηγή

Δύο χρονοκυκλώματα μαζί!

  

Για το διπλανό κύκλωμα δίνονται Ε=20V, C=5μF, ενώ ο διακόπτης δ είναι ανοικτός. Κλείνουμε το διακόπτη για t=0 και παρατηρούμε ότι το αμπερόμετρο δείχνει σταθερή ένδειξη Ι=0,2Α.

i)  Να σχεδιάστε δύο ποιοτικά διαγράμματα για τις εντάσεις των ρευμάτων που διαρρέουν τις δυο αντιστάσεις, σε συνάρτηση με το χρόνο.

ii) Να υπολογίσετε τις αντιστάσεις R₁ και R₂.

iii) Σε μια στιγμή t₁ ο πυκνωτής φέρει φορτίο q₁=40μC. Για τη στιγμή αυτή:

α) Να βρεθούν οι εντάσεις των ρευμάτων που  διαρρέουν τους κλάδους του κυκλώματος.

β) Πόση είναι η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή που αναπτύσσεται στο ιδανικό πηνίο;

iv) Αν ο χρόνος φόρτισης του πυκνωτή είναι (πρακτικά) ίσος με 5R₁C, ενώ ο χρόνος σταθεροποίησης του ρεύματος στο πηνίο, είναι (πρακτικά) ίσος με 5 L/R₂, να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο τη στιγμή t₁.

Απάντηση:

ή

Δύο χρονοκυκλώματα μαζί!

Δύο χρονοκυκλώματα μαζί!

files  και  yl2

Ίδιο κύκλωμα, διαφορετική πηγή.

 Σαν συνέχεια της πρόσφατης ανάρτησης «Αντί για ένα πηνίο, ένας πυκνωτής», όπου μελετήθηκε το πρώτο κύκλωμα αριστερά, όταν τροφοδοτείται από μια πηγή συνεχούς τάσης, ας δούμε το ίδιο κύκλωμα, δεξιά, όταν συνδέεται με μια εναλλασσόμενη τάση.       

Έστω λοιπόν ότι για το κύκλωμα του σχήματος δίνονται R₁=5Ω, R₂=10Ω, ο πυκνωτής έχει εμπέδηση Ζ_c=5√3Ω, ενώ η τάση του εναλλακτήρα δίνεται από την εξίσωση υ=20ημ(400t)  (μονάδες στο S.Ι.).

i)  Να βρεθεί η εξίσωση i=f(t) της έντασης του ρεύματος που διαρρέει κάθε κλάδο του κυκλώματος.

ii) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς του ηλεκτρικού ρεύματος, που διαρρέει το κύκλωμα.

iii) Να υπολογιστεί η στιγμιαία ισχύς του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t₁=13π/1200 s.

Απάντηση:

ή

Ίδιο κύκλωμα, διαφορετική πηγή.

Ίδιο κύκλωμα, διαφορετική πηγή.

geo docx

Μια τριγωνική πλάκα κινείται.

 

Σε μια παγωμένη λίμνη κινείται μια οριζόντια τριγωνική πλάκα. Σε μια στιγμή t_ο η κορυφή Α έχει ταχύτητα με κατεύθυνση προς την κορυφή Γ, μέτρου υ_Α=1m/s και επιτάχυνση με κατεύθυνση προς την κορυφή Β, μέτρου α_Α=2m/s². Αν η πλάκα έχει κατακόρυφη γωνιακή ταχύτητα, όπως στο σχήμα, μέτρου ω=2rad/s και γωνιακή επιτάχυνση μέτρου
α_γων=1rad/s², αντίθετης φοράς από την γωνιακή ταχύτητα, να βρεθούν για την στιγμή t_ο:

i) Η ταχύτητα της κορυφής Β.

ii) Η επιτάχυνση του Β.

Δίνεται το μήκος της πλευράς (ΑΒ)=x=0,5m και η γωνία ΒΑΓ=θ=30°.

Απάντηση:

 Μια τριγωνική πλάκα κινείται.

 Μια τριγωνική πλάκα κινείται.

Το δοκάρι φτάνει σε τραχύ έδαφος

  

Ένα ομογενές δοκάρι μήκους l=4m κινείται, όπως στο σχήμα, σε λείο οριζόντιο επίπεδο Α με σταθερή ταχύτητα υ_ο. Σε μια στιγμή (έστω t=0) το άκρο Κ του δοκαριού, εισέρχεται σε οριζόντιο επίπεδο Β, με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,1. Το αποτέλεσμα είναι το δοκάρι να επιβραδύνεται και να σταματά την στιγμή που ολοκληρώνεται η είσοδός του στο επίπεδο Β.

i)  Να υπολογιστεί η αρχική ταχύτητα υ_ο του δοκαριού καθώς και το χρονικό διάστημα που διαρκεί η είσοδός του στο επίπεδο Β.

ii)  Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα το δοκάρι κινείται με ταχύτητα υ₁=1m/s, στο επίπεδο Α. Να βρεθεί το μήκος l₁ του δοκαριού, που μπαίνει στο επίπεδο Β. Πόσο χρόνο επιβραδύνεται τώρα το δοκάρι;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Το δοκάρι φτάνει σε τραχύ έδαφος

  Το δοκάρι φτάνει σε τραχύ έδαφος

Μαγνητικές δυνάμεις μεταξύ κινουμένων φορτίων

  

Δύο σημειακά θετικά φορτία q1 και q2 κινούνται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο π με ταχύτητες υ1 και υ2 αντίστοιχα. Κάποια στιγμή τα φορτία βρίσκονται στις θέσεις Α και Γ απέχοντας κατά r, με την ταχύτητα υ1 κάθετη στην ΑΓ και την υ2 να σχηματίζει γωνία θ=30° με την ΑΓ,  όπως στο σχήμα.

1. Να σχεδιάσετε την μαγνητική δύναμη F2 που δέχεται το φορτίο στο Γ, εξαιτίας του μαγνητικού πεδίου που δημιουργεί το κινούμενο φορτίο q1. Πόσο είναι το μέτρο της δύναμης αυτής;
2. Να σχεδιάσετε αντίστοιχα την δύναμη F1 που ασκείται στο φορτίο q1 από το μαγνητικό πεδίο του φορτίου q2. Η δύναμη αυτή έχει ή όχι το ίδιο μέτρο με την δύναμης F2;
3. Αν το φορτίο q1 στο σημείο Α είχε ταχύτητα υ1, κάθετη στο επίπεδο π, όπως στο παρακάτω σχήμα, ποιες θα ήταν οι αντίστοιχες απαντήσεις σας;

Απάντηση

ή

Μαγνητικές δυνάμεις μεταξύ κινουμένων φορτίων

Ο νόμος Biot-Savart και εφαρμογές του

 

Ας ακολουθήσουμε μια πορεία αναλογίας για να καταλήξουμε στον γνωστό νόμο Biot-Savart ξεκινώντας από τον γνωστό μας νόμο Coulomb.  Τι ακριβώς μας λέει ο νόμος αυτός;

 Αν στα σημεία Α και Γ έχουμε δύο ακίνητα σημειακά ηλεκτρικά φορτία Q₁ και Q₂, έστω θετικά. Τότε το φορτίο Q₂ απωθείται με δύναμη μέτρου...

Διαβάστε τη συνέχεια...

ή

 Ο νόμος Biot-Savart και εφαρμογές του

Ένας … καλός μετασχηματιστής!

 

Έστω ένας μετασχηματιστής, που οι μόνες απώλειες που παρουσιάζει είναι οι αντιστάσεις r₁=5Ω και r₂=1Ω στα δύο πηνία, όπου στο πρωτεύον έχουμε 1.000 και στο δευτερεύον 200 σπείρες. Τροφοδοτούμε το πρωτεύον με Ε.Τ. ενεργού τιμής V₁=31V και θέτουμε στο δευτερεύον αντιστάτη με R=5Ω. Οι απώλειες στον πυρήνα θεωρούνται αμελητέες. Να βρεθούν:

i) Οι ενεργές εντάσεις πρωτεύοντος δευτερεύοντος

ii) Η απόδοση του μετασχηματιστή.

Απάντηση:

ή

Ένας … καλός μετασχηματιστής!

Δημήτρης Νανόπουλος: Πολυ-Σύμπαν αποσπάσματα από 1 έως 7

Η ταχύτητα του κυλίνδρου

Στη διπλανή διάταξη ο κύλινδρος συνδέεται με σχοινί το οποίο περνά από το κέντρο του κυλίνδρου Κ μέσω κατάλληλου μηχανισμού. Το σχοινί περνά από τροχαλία αμελητέων διαστάσεων και το άλλο άκρο του είναι δεμένο με σώμα Σ όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αρχικά τα σώματα συγκρατούνται ακίνητα και κάποια χρονική στιγμή που θεωρείται ως t=0 αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν. Τότε:

α. Ο κύλινδρος θα απογειωθεί.

β. υ_Κ>υ_Σ, όπου υ_κ η ταχύτητα του κυλίνδρου και υ_Σ η ταχύτητα του σώματος.

γ. υ_Κ<υ_Σ, όπου υ_κ η ταχύτητα του κυλίνδρου και υ_Σ η ταχύτητα του σώματος.

Απάντηση

Μέτρηση του συντελεστή ιξώδους άγνωστου υγρού

Η παραπάνω ανάρτηση απευθύνεται μόνο για καθηγητές - φοιτητές. Έγινε στα πλαίσια του εργαστηρίου του μαθήματος Μηχανική των Ρευστών του τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών του Α.Τ.Ε.Ι. Κρήτης. Υπεύθυνος μαθήματος Τζιράκης Κώστας

Εκφώνηση

Λύση διαφορικής 

Κύριος ή πρωτεύων άξονας στερεού.

 Ο ομογενής, πολύ λεπτός, δίσκος του σχήματος, μπορεί να στρέφεται σε επαφή με λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από σταθερό (πραγματικό άξονα) z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Κ όπως στο σχήμα, με γωνιακή ταχύτητα ω .

Τότε ο δίσκος έχει στροφορμή ως προς το κέντρο μάζας Κ, με μέτρο L_z=Ι_cm∙ω και με διεύθυνση του άξονα, ίδια δηλαδή με τη διεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας ω . Μπορούμε δηλαδή να γράψουμε:

   

Κάποια στιγμή αφαιρούμε τον άξονα z (φανταστείτε ένα καρφί στο έδαφος, το οποίο βγάζουμε). Ο δίσκος θα  συνεχίσει την περιστροφή του, σαν να μην άλλαξε κάτι, απλά τώρα η περιστροφή θα πραγματοποιείται γύρω από έναν νοητό, φανταστικό, ελεύθερο άξονα z΄, ο οποίος θα έχει πάρει τη θέση του πραγματικού άξονα z.

Διαβάστε τη συνέχεια σε pdf.

ή

Κύριος ή πρωτεύων άξονας στερεού.

Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο

Το πρόβλημα της δημιουργίας στάσιμου κύματος, πάνω σε μια χορδή με πακτωμένο το ένα της άκρο, όταν το άλλο άκρο τίθεται σε εγκάρσια ταλάντωση, είναι ίσως ένα από τα θέματα που μας έχουν απασχολήσει περισσότερο τα χρόνια ύπαρξης του δικτύου μας. Με πάμπολλες μελέτες αλλά κυρίως συζητήσεις και αντεγκλήσεις. Δημιουργείται πάντα στάσιμο κύμα ή όχι; Είναι σωστές οι εξισώσεις του σχολικού ή χρειάζονται τροποποιήσεις; Τι δημιουργείται στη θέση της πηγής; Δεσμός ή κοιλία; Ή κάτι άλλο;

Ο Γιάννης Κυριακόπουλος έχει επιμείνει (μέχρι και που ο ίδιος μίλησε για εμμονή…), σε πάμπολλες αφορμές, ότι έχουμε πάντα δημιουργία στάσιμου κύματος και μάλιστα το πλάτος του στάσιμου δεν έχει να κάνει καθόλου με αυτό που  διδάσκουμε, δηλαδή ότι στις κοιλίες έχουμε πλάτος 2 Α, όπου Α το πλάτος της πηγής.

Έτσι για παράδειγμα μπορείτε να  διαβάσετε εδώ τις θέσεις του και να δείτε εικόνες με στάσιμα, που τον επιβεβαιώνουν.

Προβλήματα στην διδασκαλία και κατανόηση των στασίμων κυμάτων.

Το προηγούμενο καλοκαίρι, ξεκίνησα μια σειρά άρθρων με πρώτο το «Ενέργεια – ορμή κύματος» στηριζόμενος στις παραδόσεις του Κωνσταντίνου Ευταξία στο ΕΚΠΑ. Ας πιάσουμε λοιπόν το νήμα από εκεί που το αφήσαμε, κάνοντας μια προσπάθεια να ξεδιαλύνουμε κάποια σημεία στα στάσιμα κύματα, μιλώντας όσο γίνεται, λιγότερο για μαθηματικά και περισσότερο  για Φυσική. Ας δούμε λοιπόν κάποιες όψεις, καλοκαίρι έχουμε, μπορούμε να …ασχοληθούμε λίγο!

Κύμα και στάσιμο κύμα σε χορδή. Ποια η διαφορική εξίσωση;

Αναφερόμενοι στα κύματα σε χορδή, συναντάμε τη διαφορική εξίσωση:

Και συνήθως το μυαλό μας την συνδέει με το τρέχον κύμα σε χορδή, πράγμα όχι σωστό. Η παραπάνω εξίσωση αναφέρεται σε ένα στοιχειώδες τμήμα της χορδής, συνδέοντας την καμπυλότητα του τμήματος, με την εγκάρσια επιτάχυνση που αποκτά. Η σωστή γραφή της είναι:

Όπου στην περίπτωση του τρέχοντος κύματος η ποσότητα υ=√(Τ/μ)  μας δίνει την (φασική) ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής (ταχύτητα κύματος). Σε κάθε άλλη περίπτωση μένει μια ποσότητα εξαρτώμενη από την αδράνεια και την ελαστικότητα της χορδής, χωρίς να «λειτουργεί» ως ταχύτητα ενός ανύπαρκτου κύματος.

Αλλά τότε η ίδια διαφορική εξίσωση περιγράφει και το τρέχον κύμα σε χορδή (υποτίθεται απείρου μήκους) και το στάσιμο κύμα ή την ταλάντωση μιας χορδής με σταθερά ή μη άκρα.

Δεν υπάρχει δηλαδή κάποια  διαφορά (στο 2^ο  νόμο του Νεύτωνα…), για την επιτάχυνση ενός τμήματος χορδής, ανάλογα με το τι ακριβώς συμβαίνει στη χορδή ή πόσο είναι το μήκος της…

Διαβάστε τη συνέχεια...

ή

 Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο

Παράλληλες δυνάμεις, η άνωση και η πλεύση.

Ας δούμε τώρα αν μια ισορροπία είναι ευσταθής ή όχι.

Παράδειγμα 5^ο:

Στην επιφάνεια ενός υγρού ισορροπεί μια ανομοιογενής σφαίρα κέντρου μάζας C, μισοβυθυσμένη και έστω Κ, το κέντρο άνωσης. Η παραπάνω ισορροπία είναι ευσταθής, ασταθής ή αδιάφορη;

Απάντηση:

Και στις τρεις παραπάνω περιπτώσεις η σφαίρα ισορροπεί. Για να χαρακτηρίσουμε την ισορροπία, ας υποθέσουμε ότι οι τρεις σφαίρες, εκτρέπονται λίγο προς τα δεξιά. Η περιστροφή έγινε ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο της σελίδας, που περνά από το κέντρο μάζας C και προφανώς προκλήθηκε από κάποια ροπή.

Διαβάστε τη συνέχεια....
ή

 Παράλληλες δυνάμεις,  η άνωση και η πλεύση.