Μια τριγωνική πλάκα κινείται.

 

Σε μια παγωμένη λίμνη κινείται μια οριζόντια τριγωνική πλάκα. Σε μια στιγμή t_ο η κορυφή Α έχει ταχύτητα με κατεύθυνση προς την κορυφή Γ, μέτρου υ_Α=1m/s και επιτάχυνση με κατεύθυνση προς την κορυφή Β, μέτρου α_Α=2m/s². Αν η πλάκα έχει κατακόρυφη γωνιακή ταχύτητα, όπως στο σχήμα, μέτρου ω=2rad/s και γωνιακή επιτάχυνση μέτρου
α_γων=1rad/s², αντίθετης φοράς από την γωνιακή ταχύτητα, να βρεθούν για την στιγμή t_ο:

i) Η ταχύτητα της κορυφής Β.

ii) Η επιτάχυνση του Β.

Δίνεται το μήκος της πλευράς (ΑΒ)=x=0,5m και η γωνία ΒΑΓ=θ=30°.

Απάντηση:

 Μια τριγωνική πλάκα κινείται.

 Μια τριγωνική πλάκα κινείται.

Το δοκάρι φτάνει σε τραχύ έδαφος

  

Ένα ομογενές δοκάρι μήκους l=4m κινείται, όπως στο σχήμα, σε λείο οριζόντιο επίπεδο Α με σταθερή ταχύτητα υ_ο. Σε μια στιγμή (έστω t=0) το άκρο Κ του δοκαριού, εισέρχεται σε οριζόντιο επίπεδο Β, με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,1. Το αποτέλεσμα είναι το δοκάρι να επιβραδύνεται και να σταματά την στιγμή που ολοκληρώνεται η είσοδός του στο επίπεδο Β.

i)  Να υπολογιστεί η αρχική ταχύτητα υ_ο του δοκαριού καθώς και το χρονικό διάστημα που διαρκεί η είσοδός του στο επίπεδο Β.

ii)  Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα το δοκάρι κινείται με ταχύτητα υ₁=1m/s, στο επίπεδο Α. Να βρεθεί το μήκος l₁ του δοκαριού, που μπαίνει στο επίπεδο Β. Πόσο χρόνο επιβραδύνεται τώρα το δοκάρι;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Το δοκάρι φτάνει σε τραχύ έδαφος

  Το δοκάρι φτάνει σε τραχύ έδαφος

Μαγνητικές δυνάμεις μεταξύ κινουμένων φορτίων

  

Δύο σημειακά θετικά φορτία q1 και q2 κινούνται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο π με ταχύτητες υ1 και υ2 αντίστοιχα. Κάποια στιγμή τα φορτία βρίσκονται στις θέσεις Α και Γ απέχοντας κατά r, με την ταχύτητα υ1 κάθετη στην ΑΓ και την υ2 να σχηματίζει γωνία θ=30° με την ΑΓ,  όπως στο σχήμα.

1. Να σχεδιάσετε την μαγνητική δύναμη F2 που δέχεται το φορτίο στο Γ, εξαιτίας του μαγνητικού πεδίου που δημιουργεί το κινούμενο φορτίο q1. Πόσο είναι το μέτρο της δύναμης αυτής;
2. Να σχεδιάσετε αντίστοιχα την δύναμη F1 που ασκείται στο φορτίο q1 από το μαγνητικό πεδίο του φορτίου q2. Η δύναμη αυτή έχει ή όχι το ίδιο μέτρο με την δύναμης F2;
3. Αν το φορτίο q1 στο σημείο Α είχε ταχύτητα υ1, κάθετη στο επίπεδο π, όπως στο παρακάτω σχήμα, ποιες θα ήταν οι αντίστοιχες απαντήσεις σας;

Απάντηση

ή

Μαγνητικές δυνάμεις μεταξύ κινουμένων φορτίων

Ο νόμος Biot-Savart και εφαρμογές του

 

Ας ακολουθήσουμε μια πορεία αναλογίας για να καταλήξουμε στον γνωστό νόμο Biot-Savart ξεκινώντας από τον γνωστό μας νόμο Coulomb.  Τι ακριβώς μας λέει ο νόμος αυτός;

 Αν στα σημεία Α και Γ έχουμε δύο ακίνητα σημειακά ηλεκτρικά φορτία Q₁ και Q₂, έστω θετικά. Τότε το φορτίο Q₂ απωθείται με δύναμη μέτρου...

Διαβάστε τη συνέχεια...

ή

 Ο νόμος Biot-Savart και εφαρμογές του

Ένας … καλός μετασχηματιστής!

 

Έστω ένας μετασχηματιστής, που οι μόνες απώλειες που παρουσιάζει είναι οι αντιστάσεις r₁=5Ω και r₂=1Ω στα δύο πηνία, όπου στο πρωτεύον έχουμε 1.000 και στο δευτερεύον 200 σπείρες. Τροφοδοτούμε το πρωτεύον με Ε.Τ. ενεργού τιμής V₁=31V και θέτουμε στο δευτερεύον αντιστάτη με R=5Ω. Οι απώλειες στον πυρήνα θεωρούνται αμελητέες. Να βρεθούν:

i) Οι ενεργές εντάσεις πρωτεύοντος δευτερεύοντος

ii) Η απόδοση του μετασχηματιστή.

Απάντηση:

ή

Ένας … καλός μετασχηματιστής!

Δημήτρης Νανόπουλος: Πολυ-Σύμπαν αποσπάσματα από 1 έως 7

Η ταχύτητα του κυλίνδρου

Στη διπλανή διάταξη ο κύλινδρος συνδέεται με σχοινί το οποίο περνά από το κέντρο του κυλίνδρου Κ μέσω κατάλληλου μηχανισμού. Το σχοινί περνά από τροχαλία αμελητέων διαστάσεων και το άλλο άκρο του είναι δεμένο με σώμα Σ όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αρχικά τα σώματα συγκρατούνται ακίνητα και κάποια χρονική στιγμή που θεωρείται ως t=0 αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν. Τότε:

α. Ο κύλινδρος θα απογειωθεί.

β. υ_Κ>υ_Σ, όπου υ_κ η ταχύτητα του κυλίνδρου και υ_Σ η ταχύτητα του σώματος.

γ. υ_Κ<υ_Σ, όπου υ_κ η ταχύτητα του κυλίνδρου και υ_Σ η ταχύτητα του σώματος.

Απάντηση

Μέτρηση του συντελεστή ιξώδους άγνωστου υγρού

Η παραπάνω ανάρτηση απευθύνεται μόνο για καθηγητές - φοιτητές. Έγινε στα πλαίσια του εργαστηρίου του μαθήματος Μηχανική των Ρευστών του τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών του Α.Τ.Ε.Ι. Κρήτης. Υπεύθυνος μαθήματος Τζιράκης Κώστας

Εκφώνηση

Λύση διαφορικής 

Κύριος ή πρωτεύων άξονας στερεού.

 Ο ομογενής, πολύ λεπτός, δίσκος του σχήματος, μπορεί να στρέφεται σε επαφή με λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από σταθερό (πραγματικό άξονα) z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Κ όπως στο σχήμα, με γωνιακή ταχύτητα ω .

Τότε ο δίσκος έχει στροφορμή ως προς το κέντρο μάζας Κ, με μέτρο L_z=Ι_cm∙ω και με διεύθυνση του άξονα, ίδια δηλαδή με τη διεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας ω . Μπορούμε δηλαδή να γράψουμε:

   

Κάποια στιγμή αφαιρούμε τον άξονα z (φανταστείτε ένα καρφί στο έδαφος, το οποίο βγάζουμε). Ο δίσκος θα  συνεχίσει την περιστροφή του, σαν να μην άλλαξε κάτι, απλά τώρα η περιστροφή θα πραγματοποιείται γύρω από έναν νοητό, φανταστικό, ελεύθερο άξονα z΄, ο οποίος θα έχει πάρει τη θέση του πραγματικού άξονα z.

Διαβάστε τη συνέχεια σε pdf.

ή

Κύριος ή πρωτεύων άξονας στερεού.

Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο

Το πρόβλημα της δημιουργίας στάσιμου κύματος, πάνω σε μια χορδή με πακτωμένο το ένα της άκρο, όταν το άλλο άκρο τίθεται σε εγκάρσια ταλάντωση, είναι ίσως ένα από τα θέματα που μας έχουν απασχολήσει περισσότερο τα χρόνια ύπαρξης του δικτύου μας. Με πάμπολλες μελέτες αλλά κυρίως συζητήσεις και αντεγκλήσεις. Δημιουργείται πάντα στάσιμο κύμα ή όχι; Είναι σωστές οι εξισώσεις του σχολικού ή χρειάζονται τροποποιήσεις; Τι δημιουργείται στη θέση της πηγής; Δεσμός ή κοιλία; Ή κάτι άλλο;

Ο Γιάννης Κυριακόπουλος έχει επιμείνει (μέχρι και που ο ίδιος μίλησε για εμμονή…), σε πάμπολλες αφορμές, ότι έχουμε πάντα δημιουργία στάσιμου κύματος και μάλιστα το πλάτος του στάσιμου δεν έχει να κάνει καθόλου με αυτό που  διδάσκουμε, δηλαδή ότι στις κοιλίες έχουμε πλάτος 2 Α, όπου Α το πλάτος της πηγής.

Έτσι για παράδειγμα μπορείτε να  διαβάσετε εδώ τις θέσεις του και να δείτε εικόνες με στάσιμα, που τον επιβεβαιώνουν.

Προβλήματα στην διδασκαλία και κατανόηση των στασίμων κυμάτων.

Το προηγούμενο καλοκαίρι, ξεκίνησα μια σειρά άρθρων με πρώτο το «Ενέργεια – ορμή κύματος» στηριζόμενος στις παραδόσεις του Κωνσταντίνου Ευταξία στο ΕΚΠΑ. Ας πιάσουμε λοιπόν το νήμα από εκεί που το αφήσαμε, κάνοντας μια προσπάθεια να ξεδιαλύνουμε κάποια σημεία στα στάσιμα κύματα, μιλώντας όσο γίνεται, λιγότερο για μαθηματικά και περισσότερο  για Φυσική. Ας δούμε λοιπόν κάποιες όψεις, καλοκαίρι έχουμε, μπορούμε να …ασχοληθούμε λίγο!

Κύμα και στάσιμο κύμα σε χορδή. Ποια η διαφορική εξίσωση;

Αναφερόμενοι στα κύματα σε χορδή, συναντάμε τη διαφορική εξίσωση:

Και συνήθως το μυαλό μας την συνδέει με το τρέχον κύμα σε χορδή, πράγμα όχι σωστό. Η παραπάνω εξίσωση αναφέρεται σε ένα στοιχειώδες τμήμα της χορδής, συνδέοντας την καμπυλότητα του τμήματος, με την εγκάρσια επιτάχυνση που αποκτά. Η σωστή γραφή της είναι:

Όπου στην περίπτωση του τρέχοντος κύματος η ποσότητα υ=√(Τ/μ)  μας δίνει την (φασική) ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής (ταχύτητα κύματος). Σε κάθε άλλη περίπτωση μένει μια ποσότητα εξαρτώμενη από την αδράνεια και την ελαστικότητα της χορδής, χωρίς να «λειτουργεί» ως ταχύτητα ενός ανύπαρκτου κύματος.

Αλλά τότε η ίδια διαφορική εξίσωση περιγράφει και το τρέχον κύμα σε χορδή (υποτίθεται απείρου μήκους) και το στάσιμο κύμα ή την ταλάντωση μιας χορδής με σταθερά ή μη άκρα.

Δεν υπάρχει δηλαδή κάποια  διαφορά (στο 2^ο  νόμο του Νεύτωνα…), για την επιτάχυνση ενός τμήματος χορδής, ανάλογα με το τι ακριβώς συμβαίνει στη χορδή ή πόσο είναι το μήκος της…

Διαβάστε τη συνέχεια...

ή

 Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο

Παράλληλες δυνάμεις, η άνωση και η πλεύση.

Ας δούμε τώρα αν μια ισορροπία είναι ευσταθής ή όχι.

Παράδειγμα 5^ο:

Στην επιφάνεια ενός υγρού ισορροπεί μια ανομοιογενής σφαίρα κέντρου μάζας C, μισοβυθυσμένη και έστω Κ, το κέντρο άνωσης. Η παραπάνω ισορροπία είναι ευσταθής, ασταθής ή αδιάφορη;

Απάντηση:

Και στις τρεις παραπάνω περιπτώσεις η σφαίρα ισορροπεί. Για να χαρακτηρίσουμε την ισορροπία, ας υποθέσουμε ότι οι τρεις σφαίρες, εκτρέπονται λίγο προς τα δεξιά. Η περιστροφή έγινε ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο της σελίδας, που περνά από το κέντρο μάζας C και προφανώς προκλήθηκε από κάποια ροπή.

Διαβάστε τη συνέχεια....
ή

 Παράλληλες δυνάμεις,  η άνωση και η πλεύση.

Κυματικά φαινόμενα στο περιθώριο της λυκειακής διδασκαλίας

Κυματικά φαινόμενα στο περιθώριο της λυκειακής διδασκαλίας

Κυκλική κίνηση και συντονισμός;

Με αφορμή ένα ερώτημα που μου έθεσε ο συνάδελφος Κωστής από την Κύπρο.

Το ελατήριο έχει φυσικό μήκος l₀ και έχει προσδεθεί σε σταθερό σημείο Α, ενώ στο άλλο το άκρο έχει προσδεθεί μια σφαίρα. Όταν η σφαίρα ισορροπεί με το ελατήριο κατακόρυφο, προκαλεί επιμήκυνση του ελατηρίου κατά y₁. Θέτουμε σε περιστροφή τη σφαίρα σε οριζόντιο επίπεδο, οπότε διαγράφει κύκλο κέντρου Ο, ενώ ο άξονας του ελατηρίου σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη.

i) Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής σε συνάρτηση με τη γωνία θ.

ii) Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα που μπορεί να αποκτήσει η σφαίρα διαγράφοντας με τον παραπάνω τρόπο κάποια οριζόντια κυκλική τροχιά.

iii) Ποιο ακριβώς είναι το φυσικό περιεχόμενο της μέγιστης γωνιακής ταχύτητας;

Απάντηση

ή

Κυκλική κίνηση και συντονισμός;

Οι ενέργειες σε ένα στάσιμο κύμα.

Έστω ότι σε ένα ελαστικό μέσο, μια χορδή, έχει δημιουργηθεί ένα στάσιμο κύμα με εξίσωση:

Όπως αυτό που μελετά το σχολικό βιβλίο.

Κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής θα έχει κινητική ενέργεια, εξαιτίας της ταχύτητας ταλάντωσης και μια δυναμική ενέργεια, εξαιτίας της παραμόρφωσης που υπόκειται.

Με βάση την αντίστοιχη μελέτη πάνω σε ένα τρέχον κύμα, που έγινε στην ανάρτηση «Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα», για τις ενέργειες αυτές θα έχουμε:

Κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής μήκους dx και μάζας m₁=dm=μdx έχει κινητική ενέργεια:

Διαβάστε τη συνέχεια...

ή

Οι ενέργειες σε ένα στάσιμο κύμα.

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε ένα παλμό

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου (μιας χορδής), το οποίο ταυτίζεται με τον άξονα x και από αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ο παλμός του διπλανού σχήματος με ταχύτητα υ.

i) Για τις ταχύτητες στη διεύθυνση y των σημείων Α και Β ισχύει:

α) u_Α < u_Β,    β)  u_Α = u_Β,    γ)  u_Α > u_Β.

ii) Για το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Β ισχύει:

α) u_Β < υ,     β)  u_Β=υ,     γ)  u_Β > υ.

iii) Να σημειώστε πάνω στο σχήμα τις επιταχύνσεις των σημείων Α, Β, Γ και Δ.

iv) Να εξετασθεί αν μπορεί να υπάρξει διάδοση των παρακάτω παλμών, κατά μήκος μιας χορδής.

Δίνεται ότι σε όλες τις περιπτώσεις έχουμε μικρές εγκάρσιες απομακρύνσεις στη διεύθυνση y, με αποτέλεσμα να ισχύει η διαφορική εξίσωση του κύματος.

Απάντηση:

ή

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε ένα παλμό

Η ενέργεια ενός παλμού.

Στην προηγούμενη ανάρτηση «Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.» ασχοληθήκαμε με το τι συμβαίνει με την ενέργεια κατά την διάδοση ενός αρμονικού κύματος σε μια χορδή.

Ας δούμε τώρα τι διαφορετικό έχουμε, αν κατά μήκος μιας τεντωμένης χορδής, η οποία τείνεται με δύναμη F, διαδίδεται ένας τριγωνικό παλμός με ταχύτητα υ=√F/μ.

Για ευκολία στις πράξεις, έστω ότι ο παλμός είναι αυτός του διπλανού σχήματος, ο οποίος διαδίδεται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ=2m/s, ενώ η γραμμική πυκνότητα της χορδής είναι ίση με μ=0,05kg/m, πράγμα που σημαίνει ότι η τάση της χορδής είναι F=μυ²=0,2Ν.

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Η ενέργεια ενός παλμού

Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.

Έστω ότι κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, μιας χορδής, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με εξίσωση:

y=Α∙ημ2π(t/Τ-x/λ)

Η χορδή τείνεται με δύναμη F, έχοντας γραμμική πυκνότητα μ, με αποτέλεσμα η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, κατά μήκος της, να δίνεται από την γνωστή εξίσωση υ=√F/m.

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.

Υπολογίσατε την απόσταση από τον ήλιο.

Θεωρήσατε ότι γνωρίζουμε την μάζα του ήλιου.

Μετράμε τις γωνιακές ταχύτητες «περιφοράς του ήλιου» στο περιήλιο και στο αφήλιο.

Ας βρούμε τις αποστάσεις ημών από τον ήλιο.

Συνέχεια:

Θέλουμε να βομβαρδίσουμε τον Ισημερινό

Ένα σώμα βρίσκεται πάνω από τον βόρειο πόλο σε ύψος μιας γήινης ακτίνας.

Με ποια οριζόντια ταχύτητα πρέπει να βληθεί ώστε να φτάσει στον Ισημερινό;

Με ποια ταχύτητα θα φτάσει εκεί;

Με ποια γωνία θα πέσει στο έδαφος.

Ας θεωρήσουμε ότι η γη δεν διαθέτει ατμόσφαιρα.

Δεν μας απασχολεί το αν περιστρέφεται ή όχι.

Θεωρούμε γνωστό το ότι η τροχιά που επιθυμούμε είναι έλλειψη της οποίας η μία εστία είναι το κέντρο της γης.

Ας προσδιορίσουμε την άλλη.

Απάντηση:

Το ιξώδες και ο τανυστής εσωτερικής τριβής

Το σχόλιο του Ανδρέα Κασσέτα επιβεβαίωσε την σχεδόν πλήρη άγνοια που είχα για την έννοια ιξώδες. Το μόνο που ήξερα ήταν ότι το ιξώδες σημαίνει ύπαρξη εσωτερικής τριβής στα ρευστά. Η παρέμβαση του Ανδρέα ήταν μια πρόκληση να κατανοήσω καλύτερα την έννοια.

Στην προσπάθειά μου να καταγράψω το προσωπικό μου διάβασμα προέκυψε κείμενο 22 σελίδων σε word και σε pdf